对函数极限教学的探究

王明伟 朱亚培 温晓楠 冯鑫鑫

摘 要：求解函数极限的方法多种多样，需要掌握使用各种方法的技巧。本文主要介绍高等数学中求函数极限的三种方法及其应用。

关键词：高等数学；函数极限；泰勒公式；导数

中图分类号：G4     文献标识码：A      doi：10.19311/j.cnki.16723198.2023.08.077

高等数学的主要研究对象是函数，极限是建立相关理论和方法的基础。利用极限定义出了连续、导数、积分等一些很重要的概念，因此我们要深刻理解极限的概念，牢牢掌握求极限的各种方法。函数极限的求解方法有很多，比如等价无穷小代换、两个重要极限、无穷小的性质、无穷小和无穷大之间的关系、洛必达法则等。本文针对“部分函数求极限”、利用泰勒公式求极限以及利用导数定义求极限这三种方法做了详细的介绍。

1 “部分函数求极限”方法

“部分函数求极限”即“极限非零的乘积因子可以先把极限算出来”。这个方法可以简化求极限的过程，尤其是使用洛必达法则求极限，要涉及分子、分母分别求导，使用这个技巧就可以先把函数的形式化简，进而再利用洛必达，这样求解过程就得到了极大的简化。对于这个方法同学们都会用，也喜欢用，但是为什么可以这样做，还是心存疑虑的。本文将对这个方法进行详细的介绍。下面先给出几个相关的性质：

提前声明，在下面的讨论中，记号“lim”下边没有标注自变量的变化过程，实际上结论对于x→x0及x→SymboleB@

都是成立的。

性质1 若limf（x）不存在，limg（x）=C≠0（C为常数），则limf（x）g（x）不存在。

证明：反证法。假设limf（x）g（x）=A（A为常数），则根据极限商的运算法则有

limf（x）=limf（x）g（x）g（x）=limf（x）g（x）limg（x）=AC，

与条件“limf（x）不存在”矛盾，则假设不成立，证得limf（x）g（x）不存在。

性质2 设limf（x）=SymboleB@

，limg（x）=C≠0（C为常数），则limf（x）g（x）=SymboleB@

。

证明：1f（x）g（x）=1f（x）·1g（x），等号两边同时取极限，利用无穷大与无穷小之间的关系可以得到

lim1f（x）g（x）=lim1f（x）·1g（x）=lim1f（x）·lim1g（x）=0·1C=0.

从而f（x）g（x）为无穷大，即limf（x）g（x）=SymboleB@

。

下面以定理的形式来说明“极限非零的乘积因子”为什么可以先把极限算出来。

定理设F（x）=f（x）g（x），其中limg（x）=C≠0（C为常数），

（1）若limf（x）=A（A为常数），则limF（x）=AC.

（2）若limf（x）=SymboleB@

，则limF（x）=SymboleB@

.

（3）若limf（x）不存在（非无穷大的情况），则limF（x）不存在.

根据极限乘积的运算法则，定理的结论（1）成立，根据性质1和性质2，结论（2）和（3）成立。这个定理说明，当有极限非零的乘积因子时，原极限的结果取决于剩余部分函数的极限结果。所以在计算时，可以先把极限非零的乘积因子的极限算出来，最后求得的结果就是原极限的结果。

注：在使用这个方法的时候，要注意分子、分母中加、减项不可以先求出极限。一定得是“极限非零”的“乘积因子”才可以使用这个方法。否则，容易出现错误。

例1 求limx→02e2x－ex－3x－1exxsinx

解：原式=limx→02e2x－ex－3x－1x2      =limx→04e2x－ex－32x      =limx→08e2x－ex2=72

这个极限是00型的未定式，若直接使用洛必达法则，过程会比较繁琐。这里limx→0ex=1，那么当x→0时，1ex就是极限非零的乘积因子，先把这个极限算出来，剩余部分函数利用等价无穷小代换进一步化简，之后，利用两次洛必达法则，即可更简便地求出极限。这个方法也可以结合其他求极限的方法一起使用。

例2 求limx→03sinx+x2cos1x（1+cosx）ln（1+x）。

解：原式=limx→03sinx+x2cos1x2x=12limx→03sinxx+xcos1x=12（3+0）=32

這里limx→0（1+cosx）=2，也就是说当x→0时，11+cosx就是极限非零的乘积因子，先把其极限算出来，再根据重要极限以及有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小，得出剩余部分极限。

2 利用泰勒公式求极限

经常利用泰勒展开式来求00型未定式的极限，通常用到的是一些初等函数的带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式。比如ex、sinx、cosx、ln（1+x）、（1+x）m等。这类方法使用的前提是需要牢牢掌握并熟记这些公式，所以学生经常避开使用这类方法。但是对于有的题目，这类方法用起来也是比较方便的。应用时需要用到无穷小的运算性质，下面先来了解一下：

性质3 设m，n∈R+，m>n，则当x→0时，有如下的结论

（1）o（xm）±o（xn）=o（xn）;（2）xm·o（xn）=o（xm+n）;（3）o（xm）·o（xn）=o（xm+n）.

例3求limx→0ex2+2cosx－3x4.

解：∵ex2=1+x2+12！x4+o（x4），cosx=1－x22！+x44！+o（x4）

∴ex2+2cosx－3=（12！+2·14！）x4+o（x4）

原式=limx→0712x4+o（x4）x4=712.

本题中因为分母是x的4阶无穷小，所以分子上只需要将函数展开到4阶无穷小的项就足以定出所给的极限了。一般地，若函数为f（x）xk或xkf（x）的形式，只需要将f（x）展开到x的k次方那一项即可。此题利用洛必达法则也可以求解，但是过程会很繁琐。

例4求limx→0tanx－sinxx3.

解：∵tanx=x+x33+o（x3），sinx=x－x33！+o（x3），

∴tanx－sinx=x32+o（x3），原式=limx→0x32+o（x3）x3=12.

本题说明当x→0时，函数tanx－sinx与x32是等价无穷小，因此在做等价无穷小替换时，只能用x32来替换tanx－sinx，而不能用（x－x）来替换。

3 利用导数求极限

导数是利用极限定义出来的，反过来，根据一点处导数的定义，也可以求极限。当函数的形式满足导数的定义式时，就可以利用此方法很方便地求出极限。下面先来回顾一下导数的定义。

定义设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx时（点x0+Δx仍在该邻域内），函数y相应的取得增量Δy=f（x0+Δx）－f（x0）.

如果极限

limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）－f（x0）Δx

存在，则称函数在这一点处可导，这个极限就是函数y=f（x）在点x0处的导数。

例5设函数f（x）有一阶连续导数，f（1）=0，f′（1）=1，求极限limx→SymboleB@

xf（xx+2）.

解：limx→SymboleB@

xf（xx+2）=limx→SymboleB@

f（1－2x+2）－f（1）－2x+2·－2xx+2=f′（1）·（－2）=－2.

注：这是0·SymboleB@

型的未定式，也可以利用洛必达法则求解。

参考文献

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