液池深度对水滴撞击水面后形态特征影响的实验研究

徐多广，许婉，袁德奎

天津大学 机械工程学院，天津 300354

0 引 言

液滴撞击液面是一个复杂的气液界面现象，普遍存在于自然界、工农业领域及日常生活中，例如：雨滴撞击液面、燃油喷射、喷灌、喷墨印刷等。液滴撞击液面问题因其普遍性与重要性，长期以来一直被广泛关注和研究。

关于液滴撞击液面现象的实验研究最早可追溯到一个多世纪以前。1876 年，Worthington[1]利用瞬时摄影技术首次研究了液滴撞击固体壁面时的飞溅现象，在实验中捕捉了水银与牛奶液滴撞击烟熏玻璃后的铺展形状，并通过改变液滴下落高度与液滴直径探索其内在规律。之后，Worthington 等[2]又进行了牛奶液滴撞击液面的实验，研究了液坑、液冠和中心液柱等的形态及运动特征。Saha 等[3]利用激光摄像技术对涡环形态的演变过程进行了研究，将涡环运动分为线性、非单调和减速运动3 个阶段，发现惯性、毛细和黏性效应分别在这3 个阶段中起主导作用。Okawa 等[4]通过实验研究了从冠状边缘产生的次生液滴的数量，指出次生液滴与初始液滴总数之比在0～1 之间。Roisman[5]和Van Hinsberg[6]等专注于液坑的变形过程：Roisman 等测量了液坑的水平直径并给出了水平直径随时间的变化曲线；Van Hinsberg 等进一步测量了液坑的垂直深度，分析了液坑底部到壁面的剩余液膜厚度随时间的变化过程。Manzello[7]和Castillo-Orozco[8]等通过实验研究液滴撞击液面后产生的中心射流：Manzello 等研究了中心射流夹断次生液滴的临界韦伯数（We），并指出该临界We 取决于液池的深度；Castillo-Orozco等通过实验发现，较大的初始液滴撞击速度或较高的中心射流高度更有可能生成次生液滴。马慧敏[9]和郭通[10]等对不同We 下的液滴撞击液面现象进行了实验，发现液坑的最大垂直深度和最大水平直径随We 增大呈线性增长趋势，且We 越大，液坑的运动形态变化越快。徐明俊[11]研究了单个液滴撞击受热或着火液体的动态过程，考虑了包括油池温度、油池尺寸、液滴韦伯数、燃料种类、燃料有/无火焰、燃料高/低沸点等因素对实验结果的影响，在前人研究的基础上加入了对液体理化性质的分析，指出在固定We 深液池中，液坑最大深度主要取决于液池中液体的物理化学性质，其中主要的影响因素包括表面张力、黏性力和密度等。上述研究工作取得了丰硕的成果，但缺乏对次生液滴（从中心射流的尖端产生）和次级中心射流（由次生液滴撞击液体表面时从液体表面产生）的研究。

关于液滴撞击液面后的能量转化规律，前人也开展了广泛的研究。Engel[12]对液坑的能量转化过程进行了研究，给出了液坑最大深度时的重力势能、表面能和黏性耗散能的公式。Fedorchenko[13]和Xu[14]等给出了液坑直径最大时液坑的重力势能方程和表面能方程；Xu 等[14]假设中心射流的形状为圆柱体，推导了中心射流最高时中心射流的重力势能方程和表面能方程。Macklin[15-16]和Engel[12]等给出了液坑体积最大（即最大液坑）时液冠的重力势能方程。Pumphrey 和Elmore[17]指出液坑体积最大时初始液滴动能被完全转换为重力势能，而Leng[18]提出液坑体积最大时只有1/4 的初始液滴动能被转换为重力势能，并在半球形液坑及最大液坑周围液体没有动能的假设下，建立了用于计算最大液坑能量的能量守恒方程。

除了实验和理论分析方法，数值模拟方法因具有便于获取全场信息和便捷、经济的优点，在液滴撞击液面的研究中也得到了日益广泛的应用。1990年，Oguz 等[19]用边界元法（BEM）开展了数值模拟，发现在液滴撞击液面的过程中，液坑壁反向移动时可能会出现气泡卷吸现象。Nikolopoulos 等[20-21]利用耦合流体积法（VOF）建立了液滴撞击液膜过程的三维模型，得到了液冠周边液体的流场信息，分析出了液冠边缘分离出次生液滴的机理及次生液滴产生数量、平均直径随时间的变化关系。马慧敏等[22]采用VOF 方法模拟了液滴撞击液面过程，研究了撞击过程中的速度场和压强分布，并通过数值积分计算了能量转化情况，发现整个撞击过程的能量损耗随We 的增大而增大。

综上所述，虽然研究者针对液滴撞击液面问题已开展了大量研究，但液池深度对液滴撞击过程的影响仍需进一步的探讨。本文通过实验研究了不同液池深度下液滴撞击液面后的形态特征及发展演化规律。

1 实验装置及实验方法

如图1 所示，液滴撞击液面的实验装置包括高速摄像机（NAC Memrecam HX–6）、透明玻璃方形水箱（400 mm × 400 mm × 400 mm）、LED 照射灯、蠕动泵、3 种针头规格（23、19 和14 G）、金属支架、标定板、计算机、温度计等。其中，蠕动泵和针头通过导管连接，组成液滴发生装置，蠕动泵可精确控制液体输送量，不同规格的针头可控制初始液滴的大小。玻璃水箱侧边缘贴有标度尺，便于控制液池的深度。高速摄像机分辨率为1280 像素×1280 像素，采样频率为1000 帧/s，可清晰记录液滴撞击液面的完整过程。LED 照射灯与摄像机相对放置，提供高速摄像所需的光强。计算机与摄像机相连，存储图像数据。

图1 实验装置示意图Fig. 1 Experimental setup

已有的研究表明，液滴撞击液面的过程与初始液滴的韦伯数（We）密切相关，We 的表达式如下：

式中：ρ为液体介质（本文中采用的介质为水）密度；σ为液体表面张力系数；l 为特征长度；v 为速度。本实验中，特征长度l 为初始液滴直径d，速度v 为初始液滴撞击液面速度。

在表面张力作用下，液滴的直径比针头的直径更大，因此无法直接得到初始液滴直径d。本实验采用图像像素换算的方法计算液滴直径，即利用计算机视觉算法获取图像中液滴轮廓的周长，进一步计算出液滴直径及其他数据。采用类似的方法，在液滴接触液面前的几张图像中逐帧（相邻2 帧时间间隔为1 ms）分析液滴的位移，再基于运动学分析计算得到初始液滴撞击液面速度。

为考察We 对液滴撞击液面过程的影响，采用控制变量分组实验的方法，对针头规格、液滴下落高度h 与液池深度D 等3 个变量进行组合。实验中，设置3 种针头规格、8 个液滴下落高度和5 个液池深度不同组合的共计120 组实验方案。为排除偶然误差，每组实验重复3 次。实验参数如表1 所示。

表1 实验方案及参数Table 1 Experimental scheme and parameters

2 典型实验现象

图2 为典型的液滴撞击液面全过程（d =3.16 mm，h = 1300 mm，D = 13 mm）。以液滴接触液面的瞬间为初始时刻，记为0 ms。1 ms 时，液面下形成1 个小液坑，液面上形成了液冠的雏形；1～3 ms 液冠继续发展，3 ms 时已经具备液冠显著特征；10 ms 时液冠达到最大高度，而此时液坑仍在继续扩大，并伴随液滴飞溅现象；26 ms 时液坑体积达到最大，液坑的轮廓接近于半球形，此后液坑与液冠均开始收缩；35 ms 时液冠已完全降落至液面，液坑形态已有较大变化；44 ms 时中心射流开始出现，56 ms时中心射流已具有显著形状；67 ms 时次生液滴逐渐形成，并于78 ms 时与中心射流分离，此后中心射流开始回退，而次生液滴继续上升；102 ms 时中心射流明显出现第二个次生液滴，但尚未从中心射流分离；114 ms 时中心射流继续回退，而第一个次生液滴开始降落；142 ms 时中心射流在液面下形成1 个小液坑且达到最大深度；178 ms 时该小液坑收缩至液面，而次生液滴仍未落至液面；随后次生液滴再次在液面砸出1 个小液坑，197 ms 时小液坑达到最大深度；230 ms 时液面恢复平静。需要指出，图2 中10 和26 ms 时图像底部的阴影为液坑的反影，由于摄像机拍摄方向与液池底部不可能完全平行，液坑的反影难以避免，与液滴撞击过程无关（下文同）。

图2 液滴撞击液面后的发展过程Fig. 2 Process of liquid droplet impact on liquid surface

需要注意的是：中心液柱达到最大高度后开始回退，回退至液面后还会在液面下形成1 个小液坑；若产生了次生液滴，其降落至液面后同样会砸出液坑，但与初始液滴形成的液坑不同，由于能量较小，次生液滴砸出的液坑收缩后液面很快恢复平静。本文中，将液坑收缩后引起向上运动的流体的发展全过程称为“中心射流”，而对某时刻具体的尺寸分析用“中心液柱”来反映其特征形状。

为便于提取特征几何尺寸（液冠高度、液坑尺寸等），本文基于计算机视觉算法，首先使用加权平均法对原始图像做灰度处理，并对灰度图像进行高斯模糊，然后使用磁滞阈值法检测图像的边缘，最终基于轮廓层级的概念提取轮廓，并将其绘制为新的图像，如图3 所示。图像处理算法保证了数据的可靠性，为后续研究液滴撞击液面后的形态特征及发展演化规律提供了基础数据。

图3 原始图像（左）与轮廓提取图像（右）Fig. 3 Original image(left) and contour-extractioned image(right)

3 实验结果分析与讨论

通过对120 组实验的观察与分析，发现除了第2 节所述的典型现象，液滴撞击液面后的发展演化过程与液池深度直接相关。因此，有必要将液池分为深液池和浅液池进行研究。

在现有的许多研究液滴撞击液面问题的文章中，对无量纲液池深度有不同的定义。Vander Wal等[23]定义D/d > 10 为深油池，0.1 < D/d < 10 为中等深度油池，D/d ≈ 0.1 为薄膜油池；Cole[24]根据被撞击燃料厚度δ与d 的比值对油池进行划分：δ/d≫1为深油池，δ/d ≈ 1 为浅油池，δ/d≪1 为薄膜油池。

本文将液坑能够充分发展的液池称为“深液池”，液坑不能充分发展的液池称为“浅液池”，其中液池深度小于初始液滴直径的液池又称为“极浅液池”。在本文的实验条件下，D≪7 mm 的液池对于所有初始液滴直径与液滴下落高度均为浅液池，其中D = 3 mm、d = 3.71 mm 时为极浅液池；D =13 mm 时为深液池；而对于D = 10 mm 的情况，则需要根据不同初始液滴直径和液滴下落高度条件下的实验现象进行判定。

3.1 不同液池深度下液坑与液冠的形态特征

为研究液池深度对液坑与液冠形态的影响，选取h = 940 mm、d = 3.71 mm 的实验组次，以液冠最高的时刻作为特征时刻进行分析，实验现象如图4所示。由式（1）可知，该组试验中液滴We 为定值。

图4 不同液池深度下的最高液冠形态Fig. 4 The highest crown for different liquid depths

由图4 可知，在浅液池（D = 3、5、7 mm）中，液坑底部接触液池底部后，其形状将从半球形发展成鼓形，液冠则可充分发展。特别是在极浅液池（D =3 mm）中，液冠尺寸较大，最大高度约为液池深度的3～4 倍，而液坑发展空间有限，呈现出“平底锅”形状。在深液池（D = 10、13 mm）中，液坑与液冠均可以充分自由发展，但液坑在发展过程中会受到液池底部液体触底反弹的影响，且由于液坑底部与液池底部的距离不同，触底反弹的影响程度不同，因此液坑形状略有不同。

经统计，图4 中的现象均出现在液滴撞击液面之后的15～16 ms，可以推断，在一定范围内，液池深度对液冠发展至最高状态的时间无明显影响。除极浅液池（D = 3 mm）之外，形成的液冠最大高度几乎相同，而这与We 为定值的条件相契合，由此可以判定：当初始液滴的We 一定时，在深液池中，由于液坑可以充分发展，液池深度对液冠最大高度无显著影响；在浅液池中，由于液池底部的约束作用，液坑无法充分发展，因此液池深度对液冠最大高度有一定影响，且在极浅液池中这种影响更为显著。Cossali 等[25]在研究液滴撞击薄膜的实验中发现，无量纲液冠高度对冲击速度（与We 相关）有很强的依赖性，对薄膜厚度的依赖性很弱，这与本文结论一致。本文在此基础上进一步发现，从极浅液池向深液池过渡过程中，液冠最大高度会产生显著变化。

3.2 不同液池深度下液冠–液坑高度比与We 的关系

为研究液坑和液冠的形态特征与We 的关系，选取液池深度为3、7 和13 mm 的实验组次，分别测量不同液滴直径和液滴下落高度条件下的液冠最大高度及其对应的液坑深度，得到液冠–液坑高度比（简称冠坑高度比）随We 的变化关系，如图5 所示（液冠高度标准差为0.19 mm）。图5（a）、（b）和（c）分别为大液滴（d = 3.71 mm）、中液滴（d = 3.16 mm）和小液滴（d = 2.67 mm）撞击不同深度液池的情况，图5（d）为总实验结果。

图5 不同液池深度下的液冠–液坑高度比与We 的关系Fig. 5 Relationship between crown-pit height ratio and We for different liquid depths

从图5（a）中可以看出：当初始液滴为大液滴时，撞击D = 3 mm 液池（后文简称3 mm 液池）产生的冠坑高度比随着We 增大而迅速增大，最高可达到4 以上；而在大液滴撞击D = 7 mm 液池（后文简称7 mm 液池）的情况中，该比值也在We ≈ 600 时超过了1，且增大也较为迅速，但其值始终远小于3 mm液池的情况；在大液滴撞击D = 13 mm 液池（后文简称13 mm 液池）的情况中可以发现，冠坑高度比曲线上升相对平缓，且在本文实验条件下We 达到最大时，冠坑高度比也未超过1，但十分接近1。

横向对比图5（a）、（b）和（c）可以看到，不同液滴直径对应的冠坑高度比曲线相对位置十分相似：3 mm 液池对应的曲线远高于另外2 条曲线，且冠坑高度比随We 增大得更快；7 mm 液池对应的曲线夹于另外2 条曲线之间，增速较13 mm 液池快但与3 mm 液池差距较大；13 mm 液池对应的曲线冠坑高度比最小，上升最缓慢，且在3 种直径的液滴撞击下冠坑高度比均未超过1。

综合来看（图5（d）），当We 相同时，液滴撞击3 mm 液池产生的液冠最大高度明显大于撞击13 mm液池或7 mm 液池。其原因可能是：在3 mm 液池中，液坑的发展受到极大的限制，导致液滴的初始能量大部分转化为液坑横向发展所需的能量及液冠和飞溅液滴的势能与动能，因此液冠的最大高度较大；在7 mm 液池中，液坑发展也会受限，导致液坑最大深度不会超过液池深度，在We 较大时液冠高度可以超过甚至明显超过液坑深度；在13 mm 液池中，液坑能够充分发展，液滴的初始能量大部分耗散于液坑的扩张过程，小部分转化为液冠的势能，液冠最大高度通常小于液坑深度。

3.3 不同液池深度下中心射流的形态特征

由液滴撞击液面后的实验现象（图2）可知，当液坑还未收缩完全时，中心射流会由液坑中心产生并发展。考虑到中心射流是液坑与液冠运动形态的后续发展，且根据上文的分析，液坑与液冠的形态特征与液池深度紧密相关，因此推测液池深度同样会影响中心射流的形态特征。本文选取了不同液池深度下的实验组次进行研究，中心射流的发展过程如图6 所示，图6（a）工况为D = 5 mm（浅液池）、h =1300 mm、d = 2.67 mm，图6（b）工况为D = 13 mm（深液池）、h = 1300 mm、d = 2.67 mm。

图6 不同液池深度下的中心射流发展过程Fig. 6 Development of central jet for different liquid depths

从图中可以看到，在深液池中相比，中心射流的发展在浅液池中与：1）尺寸更小。浅液池中中心液柱最大高度为4.9 mm，而在深液池中为11.6 mm，中心液柱的高度相差较大。2）过程更简单。浅液池中，仅形成一个小中心液柱，之后小中心液柱便开始回退消失；深液池中，不仅中心液柱在上升阶段分离出次生液滴，且在下落阶段又分离生成第二个次生液滴。3）时间更短。前者从产生中心液柱到中心液柱完全回退所用时间约为43 ms，而后者从中心液柱产生到次生液滴落入液面共用156 ms，时间相差较大。

观察中心液柱生成前的现象发现：在浅液池中，液坑底部在空间上明显受到限制，液坑底部与液池底部之间只有一层薄薄的液膜；在深液池中，液坑得以充分发展，其底部与液池底部之间存在大量液体。由此可以推测：在液坑回退过程中，液坑底部以下的液体对液坑的作用力直接影响中心射流的发展过程；此外，中心液柱本身就是液坑底部及周围的液体向上运动形成的，且液坑底部的液体占主要成分，浅液池中液坑底部的液体过少，也就没有足够体积的液体形成大尺寸的中心液柱。综合上述2 点原因，中心射流在浅液池与深液池中的发展过程差别较大。

3.4 不同液池深度下中心液柱最大高度–液滴直径比与We 的关系

Hallett 和Christensen[26]用水开展了中心射流和次生液滴的实验研究，得出产生次生液滴的阈值是We ≈ 84，指出只有在We > 180 时才会形成液冠。下面将进一步讨论产生次生液滴的条件及中心射流高度与We 的关系。

中心射流的运动过程可能伴随次生液滴的分离，不同实验组次分离次生液滴的情况如表2 所示。可以发现：当液池深度一定时，下落高度越大、液滴直径越大，越容易产生次生液滴；当液滴直径和下落高度一定时，相较于浅液池，在深液池中更容易产生次生液滴，即液池深浅对是否产生次生液滴有很大影响；此外，D = 5 mm 可近似视作形成次生液滴的临界液池深度，在该临界液池深度下，形成次生液滴的概率随着We 的增大而增大。

表2 不同实验组次分离次生液滴的情况Table 2 Separation of secondary droplets in different groups

为了定量研究中心液柱的最大高度与We 的关系，分别选取液池深度为3、5、7、10 和13 mm 的实验组次，测量不同液滴直径和液滴下落高度条件下的中心液柱最大高度，得到中心液柱最大高度–液滴直径比和We 的关系，如图7 所示（中心液柱高度标准差为0.82 mm）。本文中，中心液柱高度为中心液柱顶部与液面的距离；由于部分实验组次中心液柱顶部会分离出次生液滴，对此类中心液柱的最大高度的判定方法为：次生液滴与中心液柱分离前仍算作中心液柱的一部分，分离后则不计入中心液柱的高度。

图7 不同液池深度下的中心液柱最大高度–液滴直径比与We 的关系Fig. 7 Relationship of ratio of the maximum central jet height to droplet diameter and We for different liquid depths

对比图7 中散点的分布情况可以发现：当We 相同时，在D = 13 mm 的深液池中的中心液柱最大高度–液滴直径比明显大于D = 3、5、7 mm的浅液池。其原因在于：中心液柱是液坑的后续发展形态，与浅液池相比，深液池中的液坑吸收了初始液滴更多的能量，此后液坑的大部分能量又转化为中心液柱的能量，因此深液池中的中心液柱最大高度更大。此外还可以看到，当液池深度相同时，中心液柱最大高度–液滴直径比随着We 的增大而增大，这是由于初始液滴的能量越大，中心液柱吸收的能量也越多。

观察图7 中D = 5 mm、d = 3.71 mm 对应的曲线可以发现：在We 较小时，其分布于D = 7 mm 与D = 3 mm 液池对应的散点之间；在We 较大时，其有较快的增长趋势，靠近D = 7 mm 液池对应的散点而偏离D = 3 mm 液池对应的散点，与D = 3 mm液池对应的散点之间形成一个空白区，这与前文提到的形成次生液滴的临界液池深度相对应。根据表2 的实验结果，该实验组次在We 较大时更易分离出次生液滴，说明次生液滴的产生与中心液柱高度有关，中心液柱的最大高度越大，越容易分离出次生液滴。由此可见，D = 5 mm、d = 3.71 mm 曲线对应的高度可近似视作能够分离出次生液滴的临界中心液柱高度，曲线上方的区域为能够分离次生液滴的区域，曲线下方的空白区则可视作分离次生液滴的过渡区。

图8 为本文实验（D = 13 mm 深液池）与马慧敏等[22]的实验（D = 163 mm）给出的中心液柱最大高度–液滴直径比与We 的关系的数据点分布及线性拟合图。综合来看，2 次实验的参数不同，但研究所得数据分布规律相近，线性拟合曲线的斜率与偏移量差距较小，这较好地体现了中心液柱最大高度–液滴直径比与We 的关系的一般规律。

图8 本文实验与马慧敏等[22]的实验中液柱最大高度–液滴直径比与We 的数据点分布及线性拟合Fig. 8 The data point distribution and linear fitting of the ratio of the maximum central jet height to droplet diameter and We in the experiment of this paper(deep liquid pool) and Ma's experiment

4 结 论

本文通过实验，讨论了液滴撞击液面后产生的液坑、液冠、中心射流和次生液滴等特征现象，分析了液池深度D、韦伯数We、液滴直径d 和液滴下落高度h 等因素对这些现象的影响。主要结论如下：

1） 相同We 下，液滴撞击深夜池和浅液池，在液坑、液冠、中心射流和次生液滴等特征现象上存在较大的差异。液坑及中心射流在浅液池中不能充分发展，液冠在深液池及浅液池中均能充分发展，在极浅液池中液冠高度最大。

2） 在不同液池深度下，液冠–液坑高度比均随着We 增大而增大；在相同We 下，极浅液池中的液冠–液坑高度比明显大于深液池和浅液池；在深液池中，液冠最大高度通常小于对应的液坑深度，而随着We 增大，二者的值逐渐接近。

3） 液池深度对于是否生成次生液滴有十分重要的影响。在形成次生液滴的临界液池深度下，We 越大，生成次生液滴的概率越大。

4） 在相同We 下，深液池中的中心液柱最大高度–液滴直径比明显大于浅液池；在相同深度的液池中，中心液柱最大高度随We 增大而增大；次生液滴的产生与中心液柱高度有关，中心液柱的最大高度越大，越容易分离出次生液滴。