指向深度学习的教学实践与思考
——以指数函数与对数函数教学为例

北京理工大学附属中学 (100089) 金永涛

深度学习,是在教师引导下,学生围绕着具有挑战性的学习主题,全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习活动[1].深度学习强调教师主导下的学生主动参与、积极建构、强调学生的教育性发展.在这一过程中,学生通过掌握学科核心知识,把握学科本质和思想方法,理解学习过程,形成积极的内在学习动机并获得发展.

数学教学是思维的教学,罗增儒教授指出:数学家创造了数学知识,数学教师创造了对数学知识的理解.只有教师具有深度教研的意识、能力和素养,在日常教学中一贯坚持指向深度学习的教学设计与实践,才能更好地培养和提升学生的数学思维能力和思维品质,落实数学核心素养.

1 问题提出

2 指数相关函数的对称性探究

学生的解答过程如下:

图1

2.1 学生的困惑与疑问

虽然得到了f(x)的图像,但学生并不能理解,为何指数函数不具有对称性,而f(x)却具有对称性;指数函数存在渐近线,f(x)是否存在渐近线.

2.2 指向深度学习的教学设计

为了引导学生深入探究f(x)的函数性质及其内在联系,提出如下思考问题.

引导思考1 你知道哪些与指数函数有关的奇函数、偶函数?

学生回顾并给出形如y=2|x|、y=2x+2-x是偶函数,y=2x-2-x、y=2-x-2x是奇函数.引导学生梳理已有知识储备和学习经验,为进一步发现、探究指数相关函数的对称性做好铺垫和准备.

引导思考2 上面的奇函数和偶函数与f(x)有什么关系呢?怎么探究它们之间的关系呢?

引导思考3f(x)是否存在渐近线?

引导学生回顾指数函数的渐近线,不仅在函数图像上有所呈现,也可以借助解析式从数量关系上给出描述,启发学生借助f(x)的解析式研究渐近线的数量关系.

图2

2.3 教学反馈与评价

为了巩固、强化学生的认识和理解,教师提出下列问题.

图3

学生尝试1 判断f(x)的图像是否关于点(0,f(0))成中心对称,等价于验证函数是否满足f(-x)+f(x)=1恒成立,整理可得上述结论是成立的.

3 对数相关函数的奇偶性探究

3.1 学生的困惑与尝试

虽然问题给出完整解答,但学生不能准确理解f(x)为何是奇函数,函数的什么性质是使其成为奇函数的核心因素;既然f(x)是奇函数,能否进一步研究函数的性质,尝试作出函数的图像.

图4

尝试2 系统研究f(x)的其他性质(单调性、零点、渐近线等),尝试作出f(x)的图像.

(1)函数的单调性:由u(x)在(-2,2)上递减;根据单调性的定义,对任意的x1,x2∈(-2,2)且x1u(x2),进而一定有f(x1)>f(x2),所以f(x)在区间(-2,2)上单调递减.

(2)函数零点:易知x=0是函数唯一的零点.

(3)渐近线:当x>-2且x→-2时,u(x)→+∞则f(x)→+∞;当x<2且x→2时,u(x)>0且u(x)→0则f(x)→+∞.可知,x=-2和x=2是f(x)的两条渐近线.

根据f(x)性质可作出函数的图像(图5).

图5

3.2 指向深度学习的教学设计

基于上述尝试,引导学生从“数”与“形”两个方面,探究、思考f(x)成为奇函数的影响因素.

引导思考1 观察函数u(x)、f(x)的图像(图6),你能从u(x)的取值分布判断出f(x)的奇函数性质吗?

图6

观察图像后,学生很难由u(x)判断出f(x)为奇函数.教师指出,函数图像固然直观,但有时很难呈现函数性质的深层次信息,要借助解析式从数量上给出精准的刻画.

引导思考2 对于函数关系式f(-x)=-f(x),真数u(x)具有什么性质?

3.3 教学反馈与评价

为了巩固、强化学生的认识和理解,教师提出下列问题.

思考问题1 你能给出一个与对数有关的函数且为奇函数的例子吗?

有了前面的经验积累,学生能够有意识地研究函数性质,得到函数为奇函数这一结论.

(1)定义域为(-∞,+∞).

(4)取值趋势与渐近线:当x→+∞时,u(x)→+∞,u(x)→2x且u(x)>2x,则f(x)→+∞;当x→-∞时,u(x)→0且u(x)>0,则f(x)→-∞.从上述分析可得y=2x与y=0是u(x)的两条渐近线.

基于上述分析,作出u(x)的图像(图7),在绘制f(x)图像时,很多学生参考u(x)的图像作出f(x)的图像(图8).此时,教师进一步引导学生思考:①这样作图的根据是什么?②绘制f(x)图像时,我们可使用的信息有哪些?学生思考后发现,由y=2x是u(x)的一条渐近线,当x→+∞时,f(x)→lg2x,从而判断出图8中f(x)的图像是错误的;当x<0时,由f(x)是奇函数,作出f(x)的图像(图7).

图7

图8

4 教学反思

4.1 发现问题和提出问题是开展深度学习的最佳支点

问题是数学的心脏.发现和提出问题,是自主学习与深度学习的最佳支点.对题目1和题目2的教学,都是在学习过程中发现并提出了学生普遍存在的一个共性问题,对学生有一定的挑战性,学生通过解决问题实现了对知识与思维的深刻理解,有助于学生形成科学、规范的研究方式.好的数学问题,不仅可以激发学生的学习兴趣,还能启迪学生的思维,促进学生对数学的深层次理解.创设恰当的情境,鼓励学生发现和提出问题,有利于提升数学思维能力,有利于提升学生的研究能力和创新意识,有利于培育学生的批判思维和理性精神.

4.2 深度教研是深度学习的根本前提

深度学习开展的效率与质量,究其根本取决于教师的深度教研意识、能力和素养.只有教师不断践行指向深度学习的教学设计与实践,以学生的认知发展规律为基础,以实现知识理解的系统性和深刻性、探究和把握数学知识本质为根本,以揭示知识蕴含的数学思维、灵活运用数学思想方法创造性地分析和解决问题为核心,才能更好地培养学生的高阶思维能力,落实数学核心素养.

4.3 学法指导是深度学习的根本保障

教师不仅要研究教学,还要研究学法,站在学生的视角审视数学学习.在题目1中,学生习惯于“就题论题”,通过设置有梯度、有层次的思考问题,引导学生将思考不断引向深入,逐步探究问题的本源,有助于培养学生的理性精神与批判思维.引导学生有效开展观察与分析、数学运算与逻辑推理、交流与反思,提升学生的数学综合能力.培养学生深度学习的意识,提升高阶思维能力;培养学生的探究意识,努力揭示知识的本质和问题的本源;培养学生的多元思维,提升迁移能力、发散思维和创新意识.