一个完全对称函数的复合函数Schur 凸性的简单证明

梁赛男 ,孙明保 ,陈南博

(1.湖南理工学院 数学学院,湖南 岳阳 414006;2.桂林电子科技大学 数学与计算科学学院,广西 桂林 541004)

0 引言

对x=(x1,x2,…,xn)∊,完全对称函数Cn(x,r)定义如下:

其中Cn(x,0)=1,r∊,i1,i2,…,in是非负整数.完全对称函数是一类重要的对称函数,许多作者对此进行研究,并获得了一些有趣的结果[1～8].Guan[1]讨论了Cn(x,r)的Schur 凸性,建立了下面的命题1.

命题1[1]Cn(x,r)在上递增且Schur 凸.

Chu 等[2]讨论了Cn(x,r)的Schur 乘性凸性和Schur 调和凸性,证明了下面的命题2.

命题2[2]Cn(x,r)在上Schur 乘性凸和Schur 调和凸.

而Shi 等[3]进一步讨论了Cn(x,r)在上的Schur 凸性,证得如下命题3.

命题3[3]若r为偶数(奇数),则Cn(x,r)在上递减Schur 凸(递增Schur 凹).

关于完全对称函数的复合函数Schur 凸性的研究可见文[3,9～13].对x=(x1,x2,…,xn)∊[0,1)n∪(1,+∞)n,r∊,孙明保等[13]研究了Cn(x,r)的如下复合函数

的Schur 凸性、Schur 乘性凸性和Schur 调和凸性(其中i1,i2,…,in是非负整数),利用Schur 凸函数、Schur乘性凸函数和Schur 调和凸函数的判定定理,分别证得了下面的定理1～3.

定理1[13]对于x∊[0,1)n∪(1,+∞)n,r∊,

(1)函数Fn(x,r)在[0,1)n上Schur 凸;

(2)若r为偶数(奇数),则Fn(x,r)在 (1,+∞)n上Schur 凸(凹).

定理2[13]对于x∊(0,1)n∪(1,+∞)n,r∊,

(1)函数Fn(x,r)在(0,1)n上Schur 乘性凸;

(2)若r为偶数(奇数),则Fn(x,r)在(1,+∞)n上Schur 乘性凸(凹).

定理3[13]对于x∊(0,1)n∪(1,+∞)n,r∊,

(1)函数Fn(x,r)在(0,1)n上Schur 调和凸;

(2)若r为偶数(奇数),则Fn(x,r)在(1,+∞)n上Schur 调和凸(凹).

本文分别利用Schur 凸函数、Schur 乘性凸函数和Schur 调和凸函数的有关性质,给出了上述3 个定理的简单证明.

1 定义及引理

先引入如下定义和引理.

定义1[14,15]设x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)∊,将x,y的分量递减重排得x[1]≥x[2]≥…≥x[n],y[1]≥y[2]≥…≥y[n].若x和y满足:

则称x被y所控制,记作x≺y.

定义2[14,15]设 Ω⊂,f:Ω→,若对任意的x,y∊Ω,当x≺y时,有f(x)≤f(y),则称f是Ω 上的Schur 凸函数.若 -f是Ω 上的Schur 凸函数,则称f是Ω 上的Schur 凹函数.

定义3[16,17]设E⊂,f:E→,若对任意的x,y∊E,当lnx≺lny时,有f(x)≤f(y),则称f是E上的Schur 乘性凸函数.若 -f是E上的Schur 乘性凸函数,则称f是E上的Schur 乘性凹函数.

定义4[18,19]设……