采用总荷载不变法的非静水压隧道摄动拓展解

张常光,李宗辉,关港辉,孙 松

(1.长安大学 建筑工程学院,西安 710061;2.地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室(成都理工大学),成都 610059)

在水利、交通、油气等设施建设中存在大量隧道工程,实际又以水平地应力与竖向地应力存在明显差异的非静水应力场为主,研究非静水压力下非圆塑性区边界线、塑性区位移分布及围岩特征曲线对隧道支护设计具有重要意义。当围岩塑性区完全包围隧道时,非静水压力下圆形隧道的塑性区应力可联立围岩屈服条件和平衡微分方程获得,进而围岩弹性区应力计算成为确定隧道塑性区半径和位移的关键。基于Mohr-Coulomb准则和理想弹-塑性模型,已有学者采用Kastner法[1-7]、复变函数法[8-12]、摄动法[13-15]和总荷载不变法[16-18],探讨了非静水压力下圆形隧道的弹性区应力和非圆塑性区边界线。

Kastner[1]将非静水压圆形隧道纯弹性状态时的应力基尔希公式,直接代入Mohr-Coulomb准则建立隧道非圆塑性区的边界线方程。赵志强等[2-6]基于Kastner法提出隧道的蝶形塑性区理论,于学馥等[7]考虑应力重分布改进了Kastner法。需指出的是,Kastner法不计围岩弹塑性发展,也不顾非静水压隧道的塑性区边界线不是圆形,而使用内边界要求为圆形孔洞的应力基尔希公式。Detournay等[8-12]借助复变函数法将非圆形的隧道塑性区边界保角映射为圆形,难点在于如何有效确定隧道弹性区的应力复变函数形式及众多系数。魏悦广等[13-15]依据摄动法将隧道非圆塑性区边界和弹性区应力求解转化为泰勒级数展开式,获得了精度较高的围岩弹性区应力和类椭圆塑性区边界。严克强等[16-18]选择基尔希公式作为围岩弹性区应力表达式,由总荷载不变法推导隧道水平轴和竖向轴处的塑性区半径方程,并由几何相似原理给定其他方位角处的,但弹性区应力基尔希公式的内边界非圆问题依然存在。

总荷载不变法从基本的力平衡原理出发,理论基础简单,易于被工程接受及实用推广,同时,以简洁公式表达的围岩弹性区应力摄动解可逐阶逼近真实结果达到高精度。此外,峰后岩石强度常有一定跌落,弹-脆-塑性模型相比理想弹-塑性模型更适合描述岩石真实强度变化。因此,针对非静水压力作用下的圆形隧道,基于Mohr-Coulomb准则和弹-脆-塑性模型并引入围岩弹性区应力的摄动解,首先采用总荷载不变法建立水平轴与竖向轴处的塑性区半径方程,继而利用几何相似原理拓展至其他方位角处,对比文献总荷载不变法(以应力基尔希公式为基础)、Kastner法和复变函数法进行合理性与正确性验证,结合非关联流动法则推导塑性区位移解析解,探讨侧压力系数和脆性软化对隧道塑性区边界线、塑性区位移分布以及围岩特征曲线的影响规律。

1 总荷载不变法

假定围岩为均匀、连续的各向同性材料,图1为非静水压力下圆形隧道的平面应变力学模型,洞壁处作用均匀支护力pi,无穷远处作用竖向地应力q、水平地应力λq,λ为侧压力系数。另外,a为隧道半径;Rp为塑性区半径;r为某点到隧道中心的距离;θ为方位角,以水平右半轴为起点、逆时针旋转为正。

图1 非静水压隧道力学模型(λ<1)

对于非静水压力下圆形隧道的弹性区和塑性区,由地应力的双轴对称性知在水平轴和竖向轴处反对称的切应力恒为0[16-18],进而可对隧道开挖前/后的围岩环向正应力进行积分。总荷载不变法依据最基本的力平衡原理,对非静水压圆形隧道分为开挖前/后围岩的竖向总荷载不变、开挖前/后围岩的水平向总荷载不变,由方位角θ=0°处(θ面,存在环向正应力,切应力为零)围岩竖向总荷载不变可获得水平轴处塑性区半径RH的求解方程,同理,由方位角θ=90°处(θ面,存在环向正应力,切应力为零)围岩水平向总荷载不变可获得竖向轴处塑性区半径Rv的求解方程,下文将以沿水平轴的竖向总荷载不变为例分析。

依据竖向总荷载不变,得式(1a)中隧道开挖前沿水平轴的围岩竖向总荷载Q0与式(1b)中隧道开挖后的围岩竖向总荷载Q1相等。

Q0=qL

(1a)

(1b)

2 应力解答

2.1 塑性区

采用Mohr-Coulomb准则描述围岩强度的弹-脆-塑性特征,其中式(2)对应围岩初始强度,式(3)对应围岩峰后强度。

σ1=Aiσ3+Bi

(2)

σ1=Arσ3+Br

(3)

式中:σ1为第一主应力,σ3为第三主应力,并以压应力为正;Ai、Bi、Ar、Br为方程参数;ci、φi为围岩初始的黏聚力和内摩擦角(用于弹-塑性交界处弹性区一侧的围岩强度);cr、φr为围岩峰后的黏聚力和内摩擦角(用于隧道塑性区内的围岩强度)。

式(4)表示围岩主应力与各应力分量之间的关系[19],其中,σr、σθ、τrθ分别为径向正应力、环向正应力和切应力。

(4a)

(4b)

将式(4)分别代入式(2)和(3)得非静水压力下隧道围岩初始/峰后的强度关系式为

(5)

(6)

平衡微分方程为

(7a)

(7b)

联立式(6)和(7),并结合图1隧道洞壁处的应力边界条件,即r=a时,σr=pi、τrθ=0,求得围岩塑性区的应力为[20]

(8a)

(8b)

(8c)

2.2 弹性区

(9a)

(9b)

(9c)

需注意的是,非静水压圆形隧道的塑性区并非圆形,这与基尔希公式要求的圆形内边界不一致。

魏悦广等[13,15]基于Mohr-Coulomb准则和理想弹-塑性模型,设摄动参数ε=1-λ,并采用摄动法将非圆塑性区边界求解转化为泰勒级数展开式,以逐阶逼近方式得到精度较高的围岩弹性区应力摄动解,又因2阶摄动解满足精度要求且表达较3阶简洁,引入式(10)表示的非静水压圆形隧道弹性区应力2阶摄动解,其中,(1-λ)、(1-λ)2项分别代表ε1阶摄动增量、ε2阶摄动增量。

(10a)

(10b)

(10c)

对于弹-脆-塑性模型,弹-塑性交界处弹性区一侧采用围岩初始强度参数,塑性区采用围岩峰后强度参数,重新推导得非静水压力下弹-脆-塑性圆形隧道弹性区应力的2阶摄动解为

(11a)

(11b)

(11c)

3 塑性区半径

3.1 水平轴和竖向轴

将式(8b)和(11b)代入式(1b),并令θ=0°得

(12)

依据沿水平轴的围岩竖向总荷载不变,将式(1a)和(12)代入Q1=Q0,化简得非静水压力下圆形隧道水平轴处的塑性区半径(RH)方程为

(13)

(14)

(15)

同理,根据沿竖向轴的围岩水平向总荷载不变,求得非静水压力下圆形隧道竖向轴处的塑性区半径(RV)方程为

(16)

(17)

(18)

3.2 塑性区拓展

蔡晓鸿等[21]基于Mohr-Coulomb准则和理想弹-塑性模型,根据弹-塑性交界处应力连续获得非静水压力下圆形隧道的非圆塑性区边界线,结果具有一般性,但理想弹-塑性模型难以反映围岩强度的脆性变化。董海龙等[17]基于Mohr-Coulomb准则和弹-脆-塑性模型,选择基尔希公式作为围岩弹性区应力表达式,依据总荷载不变法拓展了文献[21]的塑性区边界线方程。

(19a)

(19b)

Rp=αRC

(19c)

式中:RC(θ=0°)、RC(θ=90°)为文献[21]非静水压力下圆形隧道水平轴和竖向轴处的塑性区半径。

1)RC(θ=0°)和RC(θ=90°)均不小于隧道半径a时,可按式(19)拓展,且λ<1的塑性区短轴为RC(θ=90°),λ>1的塑性区短轴为RC(θ=0°),对应如下判定条件:

当λ≤1时

(20)

当λ>1时

(21)

3.3 拓展比较

采用总荷载不变法拓展建立的非静水压力下圆形隧道塑性区半径解析解即式(19),引入了精度较高的围岩弹性区应力2阶摄动解,同时考虑了围岩强度的脆性软化,理想弹-塑性模型解答为其特例,具有一定的理论意义和工程应用前景。此外,所得解析解对侧压力系数λ<1、λ=1和λ>1均适用,下文将针对λ<1进行讨论,并对比λ=1时静水压力的结果。

为说明本文解析解和文献[17]对文献[21]的拓展不同,以及总荷载不变法下2阶摄动解即式(11)与基尔希公式即式(9)作为弹性区应力表达式时塑性区边界线的差异,表1和图3给出了本文与文献[17,21]的结果比较,其中,文献[17]以水平轴和竖向轴处的拓展分别记为文献[17]a和[17]b。隧道算例的参数为[17]:a=2.43 m,pi=0 MPa,q=21.78 MPa,L=∞;弹-脆-塑性围岩ci=4.8 MPa、φi=32°,cr=1.8 MPa、φr=20°;理想弹-塑性围岩cr=ci=4.8 MPa,φr=φi=32°。

表1 塑性区半径的比

图3 塑性区边界线的不同拓展

由表1可知,本文水平轴处的塑性区半径是文献[21]的1.68～1.88倍,竖向轴处为1.68～1.99倍,这是由于文献[21]基于理想弹-塑性模型未考虑围岩强度的峰后下降。

3.4 对比验证

Kastner[1]直接将隧道纯弹性状态时的应力基尔希公式代入围岩强度准则,得到了非静水压力下圆形隧道塑性区半径的近似方程;吕爱钟等[10]推导了非静水压圆形隧道塑性区半径的复变函数解答。这2种方法均基于Mohr-Coulomb准则,且假定围岩为理想弹-塑性材料,即cr=ci、φr=φi,图4为不同方法的隧道塑性区边界线对比。隧道算例的参数为[10]a=2 m,pi=0 MPa,q=15 MPa,L=∞,ci=cr=1 MPa,φi=φr=30°。

图4 不同方法的塑性区边界线对比

由图4可以看出,本文式(19c)与文献[10]的高精度复变函数解答吻合良好,验证了本文结果的正确性;Kastner法未考虑开挖后围岩的弹塑性发展与分区,简单地使用了纯弹性状态时的应力基尔希公式,使得文献[1]的塑性区范围小1.45～1.84 m。

3.5 实测验证

文献[15]对TBM开挖的圆形煤矿巷道扰动范围开展现场实测,相关参数为a=2.25 m,pi=0 MPa,q=14.3 MPa,λ=1.33,ci=9 MPa,cr=3 MPa,φi=45°,φr=42°,方位角θ=5°、90°、162°处围岩的实测扰动区深度为2.98、3.31和2.89 m。

本文由理想弹-塑性模型所得塑性区范围为4.33～4.49 m,对应方位角θ=5°、90°、162°处围岩的计算塑性区深度为2.08、2.24和2.09 m,小于实测的扰动区深度;然而,由弹-脆-塑性模型所得塑性区范围为5.28～5.52 m,对应方位角θ=5°、90°、162°处围岩的计算塑性区深度为3.03、3.27和3.05 m,与实测的扰动区深度非常接近,表明弹-脆-塑性模型更适合求解此巷道的扰动范围。

文献[22]对淮南矿区某千米深井巷道松动圈范围进行了现场实测,相关参数为a=2.95 m(等效半径),pi=0.75 MPa,q=21.86 MPa,λ=0.8,ci=5.58 MPa,cr=0.72 MPa,φi=φr=27.83°,围岩帮部、顶部和底板中部的实测松动圈深度为2.80、2.39和3.84 m。

本文在弹-脆-塑性模型下所得塑性区范围为5.56～6.69 m,对应围岩帮部、顶部和底板中部的计算塑性区深度为4.15、2.61和4.06 m,可见计算塑性区深度稍大于实测松动圈深度而在其外侧,这符合深井巷道的开挖扰动规律。相反,由理想弹塑性模型计算所得围岩帮部、顶部和底板中部的计算塑性区深度为1.35、0.46和2.16 m,明显小于实测松动圈深度而不合理。

4 位移解答

4.1 弹性区

弹性区围岩的几何方程为

(22a)

(22b)

式中:εr、εθ、γrθ为弹性区的径向线应变、环向线应变和切应变,ur、uθ为对应的径向线位移和环向线位移。

将图1中的水平/竖向初始地应力场转换为径向/环向初始地应力场[19],得初始径向正应力σr0、初始环向正应力σθ0和初始切应力τrθ0为

(23)

在平面应变状态下扣除初始地应力即式(23),由广义Hooke定律得弹性区围岩的物理方程为

(24a)

(24b)

(24c)

式中E、ν为围岩的弹性模量和泊松比。

联立式(11)、(22)～(24)得围岩弹性区位移为

(25a)

(25b)

4.2 塑性区

(26)

在围岩塑性区内,将应变分解为式(27)中的弹性应变分量(对应于上标e)和塑性应变分量(对应于上标p),即

(27)

采用非关联流动法则即式(28)描述围岩的剪胀特性[23]:

(28)

式中β为剪胀参数。

(29)

将r=a代入式(29),得隧道洞壁位移u0为

(30)

通过式(30)可构建围岩特征曲线即洞壁位移u0随支护力pi的变化,进而基于收敛约束法由围岩特征曲线(GRC)和支护特征曲线(SRC)的交点纵/横坐标确定支护压力和围岩稳定变形。

4.3 结果与讨论

隧道算例同3.3节,并取λ=0.8。图5、6给出了本文、文献[17](竖向轴拓展)和[21]的塑性区位移分布与收敛约束分析,其中,讨论塑性区位移分布时令支护力pi=0 MPa(下同),以虚线标出塑性区半径与隧道半径的比值。在收敛约束分析时,假定支护为均质等厚的圆环结构,并在u0/a=2%处施作。

图5 塑性区位移分布

由图5、6可以看出,本文的塑性区半径、塑性区位移、支护压力和围岩稳定变形均最大,最小的是文献[21](塑性区半径、洞壁位移比本文的分别小1.89～2.26、0.059～0.128 m),文献[17]的支护压力和围岩稳定变形稍大于文献[21],但明显小于本文的。在图6(a)中本文对应的支护已到达承载极限,需提高支护承载能力或推后施作位置,而根据文献[17]或[21]所做的隧道设计将存在安全隐患。

图6 收敛约束分析

5 影响因素分析

结合本文采用总荷载不变法建立的隧道塑性摄动拓展解答即式(19c)、(29)和(30),探讨侧压力系数和脆性软化对塑性区边界线、塑性区位移分布和收敛约束分析的影响规律。

5.1 侧压力系数

隧道算例同3.3节,并取E=2 GPa,ν=0.2,β=2,图7为两种材料模型的塑性区边界线比较,其中,侧压力系数λ=0.6、0.8和1。可以看出,弹-脆-塑性模型的塑性区范围明显大于理想弹-塑性模型的,水平轴处的塑性区半径相差1.41～2.44 m,宜采用弹-脆-塑性模型分析隧道塑性发展。

图7 塑性区边界线比较

图8、9给出了λ=0.6、0.8和1时弹-脆-塑性围岩的塑性区位移分布与收敛约束分析。

图8 不同λ时塑性区位移分布

由图8(a)、(b)可以看出,λ=0.6、0.8时,在第Ⅰ象限内塑性区位移最大在θ=0°处,最小在θ=90°处,洞壁位移相差0.099 m;在λ=0.6的图9(a)中,不同方位角处的围岩特征曲线及收敛约束存在显著差异,在θ=90°处施作支护时围岩位移已全部释放,支护将不再受荷与变形,而在θ=0°和45°处仍存在较大的支护压力,故非静水压力下需针对具体方位角进行收敛约束分析与支护设计;在λ=0.8的图9(b)中,3个方位角处的支护压力和围岩稳定变形都明显不同,在θ=0°处支护已达到承载极限,这与静水压力λ=1的图9(c)不同,依据理想静水压力条件开展的均匀支护设计将影响实际隧道后续施工和正常运维。

图9 不同λ时收敛约束分析

5.2 脆性软化

隧道算例同3.3节,并取λ=0.8,E=2 GPa,ν=0.2,β=2,图10～12给出了围岩不同峰后强度下的塑性区边界线和收敛约束分析。

图10 脆性软化对塑性区边界线的影响

由图10可以看出,脆性软化幅度越大即围岩峰后强度越低,塑性区范围越大。峰后黏聚力cr每减小0.1 MPa,水平轴处的塑性区半径平均增加0.18 m、竖向轴处的增加0.15 m;峰后内摩擦角φr每减小1°,水平轴处的塑性区半径平均增加0.16 m、竖向轴处的增加0.14 m。

由图11、12可以看出,支护压力和围岩稳定变形随峰后强度的增加明显减小,相应的支护可由达到承载极限过渡到安全储备充足,通过注浆、预应力锚杆等主动加固提高围岩的峰后强度,以改变支护类型或减小支护截面尺寸。

图11 不同cr时收敛约束分析

图12 不同φr时收敛约束分析

6 结 论

1)采用总荷载不变法并引入围岩弹性区应力的2阶摄动解,所推导并由几何相似原理拓展建立的非静水压圆形隧道塑性区半径与塑性区位移的解析解,考虑了围岩强度的脆性软化,理想弹-塑性模型解答为其特例,结合收敛约束法可有效指导隧道支护初步设计,具有一定的理论意义和工程应用前景。

2)弹性区应力表达式对非静水压圆形隧道的塑性区范围影响显著,通过对比文献总荷载不变法、Kastner法、复变函数法和实测数据,验证了本文按插值系数拓展解答的正确性与弹性区应力2阶摄动解的合理性;Kastner法的塑性区范围过小,采用应力基尔希公式所得支护压力和围岩稳定变形都偏小。

3)非静水压力下不同方位角处的塑性区半径、塑性区位移分布与围岩特征曲线存在较大差异,需根据收敛约束法确定沿洞周最大的支护压力和围岩稳定变形,这有别于静水压力下圆形塑性区时的均匀支护设计;围岩峰后强度全面而明显地影响隧道塑性发展,可使支护处于承载极限、安全储备等状态。