立足认知经验，发展空间观念

钱建军

“线段、直线、射线”这部分知识在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中的内容要求只有一句话：“结合实例认识线段、射线和直线。”这节课难点是线的抽象性，特别是射线与直线，很难找到与之完全匹配的生活原型。有些学生将射线举例为“射灯”，但灯光终究有尽头；有些学生将直线举例为太阳光线，但光线这样的例子并没有增加多少直观可感性。教育家杜威认为：教育是经验的不断改组或改造。认知心理学家奥苏伯尔也有一句名言：“如果我不得不把全部教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的唯一的最重要的因素是学习者已经知道了什么。”这两个教育论断充分说明了认知经验的重要性。那么在本课中有哪些认知经验可供学生进行认知迁移呢？

在《义务教育数学课程标准（2011年版）》之后，人教版小学数学教材四年级上册将“线段、直线、射线”这部分内容放在“大数的认识”单元之后，学生通过整个单元的学习活动（特别是“亿以上数的认识”），积累了“数无限多”的认知经验。因此用“数无限多”去对应并理解“线无限长”可以成为一种新的教学构想。在此，还要讨论一个问题：数与形哪个更直观？一般认为形是具体，数是抽象。但我们对事物的理解不能绝对化。在教材编排体系中，学生对大数的学习感知在前，对“三线”的学习安排在后。由此抽象的“数认知”、较形象的“线认知”反而具备了直观性或者是可依靠性。

此外，笔者认为“方向”也是本课知识学习的一个迁移点。对于方向的认知，学生在四年级之前就有丰富的学习经验了。“方向”具有一种不可阻挡的穿透性。比如你指向东，不会因为东面（近处或远处）设置了某种障碍而可以忽略障碍物背后的空间，它会一直穿透，一直延伸下去。而这正好可以迁移到射线的一个重要特征。

综上所述，笔者认为，教学“线段、直线、射线”这节课不能仅限于到最后整理一张表格让学生区分“三线”的异同，因为那样可能会沦为一种记忆性学习。本课重要的是立足认知经验，沟通“数领域”与“形领域”的联系，通过“以数解形”与“方向迁移”，发展学生的空间观念。

一、直观表达，把握线段的本质

1.任务

（1）画一条指定长度的线段，比较不同的画法，认识其相同的意义。

（2）在实物中理解线段的意义。

2.教学过程

师：请大家在作业纸上画一条长度为10厘米的线段。

（学生操作）

师（收集学生作品如图1）：比较一下这两种画法你们有什么发现？

生：他们画得有点不一样，左边线段两头是用小短竖，右边线段两头用的是小圆点。

师（追问）：你们认同这是两种不同的画法吗？

生：这样画都可以的，它们都表示了起点与终点，长度都是10厘米。

师：是的，这两种不同的画法意义是一样的，小短竖与小圆点都表示了线段的两个端点，这里的10厘米指的是两端之间的距离。

师（出示新华字典、笔直马路、一捆牙签、一口水井4幅实物图，如图2）：在这些图示中，你们能想到线段吗？请上来指一指。

（学生指新华字典长的部分、宽的部分与高的部分，课件显示）

师：哦，你指的实际上是这本字典的长、宽、高，是的，它们都可以看成一条线段。

（学生指马路中的白实线，课件显示）

师：你指的这一条线段可以看成是这条马路的长。

（学生指出牙签两头之间的一段，课件显示）

师：你指的是一根牙签的长，这也是整捆牙签的长。

（学生指出从井口到井底的一条线，课件显示）

师：这里可以看成是水井的深。

师：从图示中抽象出线段，如图3，同桌讨论一下，这些线段之间有什么相同的地方与不同的地方？

生：它们都是直直的，都有两个端点，都可以测量长度。不同的地方是这些线段有长有短，它们的方向也不一样，有竖的、横的、斜的。

师：不论方向如何、长短如何，只要是直直的，有两个端点，这样的线我们就叫作线段。

【设計意图】学生对线段并不陌生，在二年级学厘米的认识时就表征过线段。事实上不管物体长成何种形状，当考虑物体长度、宽度、高度或深度时，我们都将它抽象成一条线段。把线段看成是两点之间距离的一种直观表达，是对线段长度属性的本质认识。

二、数形结合，理解射线的特征

1.任务

（1）增加自然数列，思考对应的图示方法。（2）画不同方向的射线，认识射线与方向之间的关联。

2.教学过程

师：课开始的时候，我们用尺子画了一条长10 cm的线段，我们现在再将这些数与线段对应起来（如图4），我们知道10的后面还有哪些数？

生：11，12，13……

师：如果图4这条线段要与上面的数相对应，那么这条线段要怎么处理？

生：向右边延长。

（教师课件演示）

师：13后面还有多少自然数？大家再数一些出来。

生：14，15，16，17……后面还有很多很多，数不完的。

师：请你们想一想，往这个方向上，这条线段要怎么画才能对应上从0开始的所有的数，请你们试着把它画到作业纸上。

（作品展示如图5所示）

师：请大家说一说为什么这么表示？

生：第1幅图，因为纸只有这么大，所以只能画到边上。

师：你的意思是如果纸有足够大，你还会继续不断地画下去？

生：是的。

师：我再给你一些纸，请你来画。

（教师贴纸，学生画线，直至贴、画到黑板边上，如图6）

师：你这样画完了吗？

生：没画完，因为后面的数还有很多很多。

师：其他同学有什么想说的？

生：这样是永远画不完的，而且不管怎么画，实际上都只画了它的一部分。

生：这样画很浪费纸。

师：我们请这个同学来说一下，你为什么这么画？

生：因为这条線很长很长，画不完的，所以我用省略号表示它。

师：现在如果我们把前面增加的纸从右往左逐一撤除掉，再把最后一张纸右侧部分向前折一块（操作），不管画得有多长，还是画得再短一些，实际上都只画了它的一部分，既然怎么都画不完，所以我们就用它的一部分来代表这个整体。像这样的线在数学上叫作射线。

师：生活中有些事物跟我们现在学习的射线有点像。

（课件呈现射灯等图片）

师：现在请你们在作业纸上从一个点出发画两条射线。

（学生操作）

师：这两条射线有什么异同？

生：它们都是从同一个点出发的。方向不同，一条是向右延伸的，一条是向上方延伸的。

师：如图7，为了区分这两条射线，需要给它们分别起个名字。起始的点，我们给个名字，叫作O点，再往一个方向上取一点，标上一个字母A，向A方向的无限延伸的射线叫作射线OA；那么从O点出发，向B方向无限延伸的射线叫什么名字？

生：射线OB（课件出示）。

【设计意图】学生学过“万以内数的认识”与“大数的认识”，对自然数的无限多有比较充分的认知感受。“数的无限多”与“线的无限长”类比相通，学生的想象有了比较可靠的依托。而且在认数的一般过程中教材也往往结合着“数线”让学生把握数的大小，更何况在直尺上表示刻度的数与尺的边线的对应本就互为一体。

在这个教学环节中，通过对不同表示方法的比较，重在感受符号化思想，体会数学符号语言的简洁性，它甚至可以把“省略号”都省略了，这对学生来说是一种很好的认知体验。线段的属性是长度，射线的属性是方向。给射线取名且将命名的不同与方向对接起来（“A方向与B方向”，从O点出发向A方向无限延伸，从O点出发向B方向无限延伸），一方面体现了这种区别的实际意义，另一方面也让射线真正归结为一种“方向”属性，因为只有方向才具备了不可阻挡的穿透性，进而帮助学生理解射线无限长。

三、迁移类比，建构直线概念

1.任务

（1）根据特征描述想象不同的线。（2）对应整数数列与直线。

2.教学过程

教师出示表1。

师：如果把线段描述为有始有终，那么射线可以对应哪个词语？

生：有始无终。

师：你们知道无始无终的线是长什么样的吗？请在作业纸上画一画。

（教师呈现直线多种方向的变式）

师：如图8，我们已经知道线段AB对应着一组数，射线AB对应着一列无限多的数，那么A的另一边会有哪些数呢？

生：-1，-2，-3……

师：你们是怎么想到这些数的？

生：我们家电梯里就有负数，天气温度也有负数。

师：那么还有更小的负数吗？

生：-1000，-10000，-999999……

师：这样“负”得完吗？

生：“负”不完。

师：是的，负数也是无限多的。把线段向两个方向无限延长得到一条直线，正好与这些负数、正数完整对应起来。数的无限多与直线的无限长道理是一样的。

【设计意图】由线段到射线是一种知识的生长。给线段配上一组自然数，体现的是一一对应；给射线配上数列，实现了线段向一个方向的突破；由射线到直线（由向一个方向无限延伸到向两个方向无限延伸）是一种认知的迁移。给直线配上整数序列，利用学生生活经验（如地下层，零下气温等）去理解负数，用正数“无最大”，负数“负不完”解释直线的无限性，由此“数线”模型真正合二为一，数的无限多与线的无限长又一次相互映衬。

四、延伸拓展，深化知识体系

1.任务

判断两条直线是否会相交，并说明理由。

2.教学过程

师：屏幕上出现了两条直线（如图9），这两条直线会相交吗？

生：会，它们可以延长。

师（动态演示向上延长）：没有相交啊。

生：向下延长就会相交。

师（动态演示向下延长至屏幕底边上）：没有相交啊。

生：还可以继续延长，再往下它们就相交了。

师：哦，它们在我们脑子里相交了。

【设计意图】以后学生要学习“同一平面内两条直线的位置关系不相交即平行”，它的数学解释正是直线可以无限延长，这种延长也有方向性。教师利用课件呈现两条直线逐渐延长至屏幕底边而并未相交，引导学生想象两条直线相交在屏幕外面，在我们的脑子里相交，从而培养学生的空间观念。

（作者单位：浙江省绍兴市柯桥区教师发展中心）