一类双稳态复合材料层合板的簇发振荡现象分析

钱有华 杨园

摘要： 针对一类参数激励下的双稳态复合材料层合板非线性系统，考虑了一个参数激励频率是另一个的整数倍的情形，并将参数激励视为慢变参数，利用“快慢分析方法”得到了多频参数激励系统的快子系统和慢子系统，分析了快子系统的分岔行为。在平衡点分岔分析中，分析出单模和双模平衡点下快子系统的 Hopf 和 fold 分岔条件；利用双参数分岔集，相图、时间历程曲线图、转换相图与平衡分支的叠加图，分析了不同参数下簇发振荡的产生机理及其动力学行为，观察到不同的参数条件下其簇发振荡现象可能与叉形分岔点无关。

关键词： 簇发振荡；快慢分析方法；叉形分岔；转换相图；慢变参数

中图分类号： O322 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2023）03-0612-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2023.03.003

引 言

多时间尺度效应通常表现为大幅振荡与微幅振荡的交替出现，这种现象称为簇发振荡。簇发振荡通常表现为两种方式：一种是时域上的耦合；另一种是频域上的耦合［1］。本文考虑频域上的耦合，即外激励频率与系统固有频率有一个量级上的差异。对于频域上的簇发振荡已经有许多学者进行了研究。比如：张晓芳等［2］以一类典型的混沌系统为例，引入参外联合激励，考虑了两激励频率在严格共振和非共振两种情形下的动力学特性 。夏付兵等[3］以非自治Duffing？van der Pol振子为例，討论了频域上不同尺度的快慢耦合效应，揭示了不同形式的簇发振荡行为。Wei等［4］报告了在一个参数和外部激励机械系统中复杂的簇发振荡动力学行为，研究结果丰富了复合簇发振荡的动力学途径。夏雨等［5］以修正的四维 Chua 电路为例，通过引入两个频率不同的周期电流源，建立了双频 1∶2 周期激励两尺度动力学模型，当两激励频率之间存在严格的共振关系时，分析了两尺度下的耦合行为。吴天一等［6］以经典的 Chua系统为例，构建存在频域两尺度耦合的非对称动力系统模型，重点分析了三种不同周期激励幅值下典型的非对称簇发振荡及吸引子结构，揭示其相应的产生机理。

文献［7？8］引入了快慢分析方法，将不同尺度耦合系统分解为相互耦合的快慢两子系统，即快子系统（FS）和慢子系统（SS），并将慢变量视为分岔参数，可以清楚地解释其簇发机理。当所有变量表现出小振幅振荡或保持不变时，快子系统处于静止状态（QS），当所有变量表现出大振幅振荡时，快子系统对应于一个尖峰状态（SP），当慢子系统影响快子系统在静止态和尖峰态之间转换时，产生簇发振荡。

近年来，许多学者研究了非光滑领域中的簇发振荡现象。比如 Bi等［9］研究了在激励频率与固有频率之间有间隙的参数激励动力系统中簇发振荡的演化。Zhang 等［10？11］在典型 Chua系统的基础上，建立了一个具有两个时间标度的非光滑动力系统，探讨簇发振荡现象及其机理。Qu等［12］探讨了具有参数和外部周期激励的 filippov型系统的簇发振荡和非光滑动力学行为的模式。Zhang 等［13］在混沌磁场模型的基础上，引入非光滑因子来研究多时间尺度系统的复杂动力学行为。Peng 等［14］研究了频域含两个时间尺度的 filippov 型系统的混合模式振荡和分岔机理。Wang等［15］以典型 Chua电路为基础，通过引入非线性分段电阻和谐波变源，建立了频域两尺度耦合的修正非光滑模型，探讨两个尺度的耦合对非光滑动力系统动力学的影响。Huang 等［16］提出了一种多吸引子共存的三维混沌系统，其中不同的常数控制参数可以使混沌行为由单涡吸引子演化为双涡吸引子，当控制项被激励频率远小于固有频率的周期谐波激励所取代时，混沌运动可能会消失，而发生周期性的振荡。Mao 等［17］对非自治 Murali？Lakshmanan？Chua （MLC）电路的振荡行为进行了详细的研究，在 MLC电路中，分岔值的确定与非光滑的两个边界有关。Wang等［18］以一个典型的 Chua电路为研究对象，研究了分段光滑动力系统中簇发振荡的动力学机制。Shen 等［19］通过在四维激光系统中引入非光滑项和周期外部激励，得到一个两尺度 filippov型系统，并研究了这个系统的复杂动力学行为和机理。近年来，对簇发振荡的模式和路径的研究也得到了很多学者的关注。比如 Yu 等［20］研究了多时滞控制振荡器中一些新的簇发模式的产生，给出了周期激励项缓慢变化的对称余维 1 和余维 2 爆 破 图 。Han 等［21］基 于 参 数 驱 动 的 Lorenz 系 统 ，提 出 了 一种混沌簇发路径。Yu 等［22］证明了经典的受控 Lu系统中周期性和混沌簇发的新路径。Han 等［23］针对多频率参数激励的 Duffing 系统，提出了两种爆破模式 ，探讨了两种爆破方式之间的关系 。 Han等［24］发现平衡环和极限环都能表现出与系统参数变化相关的脉冲型急剧定量变化，即脉冲型爆破（PSE）。 Wang 等［25］从解析和数值两方面研究了双参数机械振子在振幅调制力作用下的 Melnikov阈值转换和相应的快慢动力学。Han 等［26］报道了一种近似方法—— 频率截断快慢分析 ，用于分析参数和外部激励系统的快慢动力学与两个慢不适应激励频率。Wei 等［27］研究了多频率慢激励下的Rayleigh 振子的动力学，得到了与双稳脉冲型爆炸有关的两种不同的爆破模式。Ma 等［28］基于一个带有两个慢变周期激励的修正 Rayleigh？Duffing 系统 ，研究了系统解趋近于无穷的机理。Jiang 等［29］提出了一种 2∶1 内共振来扩大振动能量采集的频带宽度。Wei 等［30］提出了一种基于外部激励和参数激励的 Rayleigh 系统进行 PSE 的方法。

本文基于一类两自由度双稳态复合材料层合板进行研究。第 1节对系统的平衡点进行分岔分析，得到了 Hopf和 fold分岔的条件；第 2节主要对不含有叉形分岔点的参数进行簇发振荡分析，得到了不同参数条件下的簇发振荡类型；第 3节主要在叉形分岔参数条件下对系统进行簇发振荡分析，得到了不同参数下的簇发振荡类型；第 4节对全文进行总结。

本文研究参数和外激励同时作用下的系统［31］：

2 不含有“叉形分岔点”的簇发振荡现象分析

在这一节中用固定参数 m1 = -1 来研究其簇发 振 荡 机 理 。 如 图 1 所 示 ，考 虑 系 统 在 慢 变 参 数cos （ Ω2 t ）= δ 作用下，不同 μ1 所产生的不同的簇发振荡行为。由图 1 可知，系统在 μ1 ∈ （ 0，1 ） 时，会产生有效的簇发振荡行为。系统在 μ1 = 0.35 时可能存在两个 Hopf 点以及两个 fold 点，如图 2 所示。在μ1 = 0.5时也有可能 存在三个 Hopf 点以及两个 fold点共存的行为，如图 3 所示。同时还发现了一种特殊的簇发振荡模式，虽然系统在 μ1 = 0.1 时存在两个 Hopf 点以及两个 fold 点共存的行为，但事实上，真正起到作用的只有两个 fold 点，如图 4 所示。

2. 1 “ 延 迟 Hopf/fold/Hopf/fold”型 簇 发 振 荡 现 象分析

在 μ1 = 0.35 时 ，存 在 两 个 Hopf 点 记 为H1（ 0.6913，-0.3816 ），H2（ 0.4609，0.1295 ），也 存 在两 个 折 叠 点 ，记 为 LP1（-0.06833，-0.8872 ） 和LP2 （-4.556-9，4.903-5 ），如图 2 所示。 在文中的转换相图和平衡分支叠加图中，红色实线代表稳定的平衡点，黑色实线代表不稳定的平衡点，绿色实心圆 表 示 稳 定 极 限 环 ，蓝 色 空 心 圆 表 示 不 稳 定 极限环。

在图 2 中，系统一共受到四个不稳定平衡点的影响。系统在右上方沿着平衡点曲线图运动，首先碰到 H1，但并未直接开始大幅振荡，继续向前运动一段时间后，才开始进行簇发振荡，随着大幅振荡现象渐渐消退，由于 LP2 的吸引，系统跳跃到上分支，并沿着上分支前进了一段时间，渐渐转移到了稳定平衡点分支，一直沿着稳定平衡点分支移动至最小值-1 后，开始反向运动；同样地，系统先遇到 H2 之后，进行簇发振荡，随着大幅振荡现象的渐渐消退，系统沿着不平衡点曲线运动，逐渐被 LP1 吸引，跳跃到下分支，沿着下分支运动。至此，系统的一个周期已完全进行，称这种簇发振荡现象为“延迟 Hopf/fold/Hopf/fold”型。对应到实际的模型中，会观察到双稳态层合板在这组参数下产生“延迟 Hopf/fold/Hopf/fold”型簇发振荡。

2. 2 "Hopf/fold/Hopf/Hopf/fold"型 簇 发 振 荡 现 象分析

在图 3 中 μ1 = 0.5 时，系统存在三个 Hopf 点，分别 为 H1（ 0.7474，-0.3307 ），H2（-0.5315，0.1017 ），H3（-0.7317，-0.01579 ），还存在两个 fold 点，分别为 LP1（ 0.1146，0.782 ），LP2（ 2.272-10，-2.186-5 ）。

在图3中 ，系统受到五个不稳定平衡点的影响。系统在右上方沿着平衡点曲线图运动，碰到H1之后，开始进行簇发振荡，大幅振荡现象渐渐消退之后，由于LP2的吸引，系统跳跃到上分支，沿着上分支前进了一段时间后，遇到了分岔点H2，也发生了簇发振荡现象，随着大幅振荡的逐渐消退，继续向左边前进，紧接着遇到了分岔点H3，也开始出现簇发振荡现象，大幅振荡渐渐消退后，系统继续沿着不稳定平衡点分支向左边运动，直至到达最左边的最小值-1，隨后开始反向运动；同样地，系统先遇到H3之后，进行簇发振荡，随着大幅振荡现象的渐渐消退，系统沿着稳定平衡点曲线运动，随后碰到了分岔点H2，也进行簇发振荡，随着大幅振荡的逐渐消退，系统逐渐被LP1吸引，跳跃到下分支，一直沿着下分支运动，遇到了分岔点H1，类似地，发生了簇发振荡现象，直至系统到达最右边1处才完成了一个完整的运动轨迹。称这种簇发振荡现象为“Hopf/fold/Hopf/Hopf/fold”型。对应到实际的模型中，会观察到双稳态层合板在这组参数下产生“Hopf/fold/Hopf/Hopf/fold”型簇发振荡。

2.3“fold/fold”型簇发振荡现象分析

图4中μ1=0.1时，系统存在两个Hopf点，分别为H1（0.04058，-0.9249），H2（-0.1999，0.1785），还存在两个fold点，分别为LP1（-0.1409，-0.5971）和LP2（-7.42-10，3.265-5）。

在图4中，虽然系统中存在四个不稳定平衡点，但事实上，真正起到作用的只有两个折叠点，即LP1，LP2。系统在右上方沿着平衡点曲线图运动，虽然遇到了 H1，但并未发生分岔行为，系统继续运动遇到了 LP1，并跳跃到上分支，开始了簇发振荡，随着尖峰态的减弱，系统继续沿着稳定平衡点曲线向左移动，直至最小值-1 处，开始反向运动；同样地，系统先遇到 H2，也并未发生簇发振荡现象，继续运动，碰到了 LP2，跳跃到下分支，进行了簇发振荡，随着大幅振荡现象的渐渐消退，系统沿着稳定平衡点曲线运动，直至系统到达最右边 1 处才完成了一个完整的运动轨迹。称这种簇发振荡现象为“fold/fold”型。对应到实际的模型中，会观察到双稳态层合板在这组参数下产生“fold/fold”型簇发振荡。

3 含有“叉形分岔点”的簇发振荡现象分析

在这一节中用固定参数 m1 = 1 来研究其簇发振荡机理 。 如图5所示，考虑系统在慢变参数cos （ Ω2 t ）= δ 作用下，不同 μ1 可能会产生不同的簇发振荡行为。根据图 5 可知，系统在不同 μ1 作用时，系统会产生不同的簇发振荡行为，与第 2 节不同的是，这里的簇发振荡行为受到叉形分岔的影响。具体可以分为以下几种情形。

3. 1 “BP/fold”型簇发振荡现象分析

在图 6 中 μ1 = -0.1 时，系统存在两个 fold 点，分 别 为 LP1（ 0.1353，0.7113 ），LP2（-0.117，1.299 ），还存在一个 BP 点，为 BP （ 0.00022，0.01072 ）。

在图 6 中，虽然系统中存在三个不稳定平衡点，但真正起作用的只有一个 fold 和一个叉形分岔点，即 LP1 和 BP。系统在左上方和右上方同时沿着平衡点曲线图运动，遇到了点 BP，并跳跃到上分支，开始了簇发振荡，随着尖峰态的减弱，系统继续沿着稳定平衡点曲线向左移动，直至最小值-1 处，开始反向运动；系统遇到 LP2，但并未发生簇发振荡现象，继续运动，碰到了 LP1，跳跃到下分支，进行了簇发振荡，随着大幅振荡的渐渐消退，系统沿着稳定平衡点曲线运动，直至到达最右边 1 处才完成了一个完整的运动轨迹，称这种簇发振荡现象为“BP/fold”型。对应到实际的模型中，能观察到双稳态层合板在这组参数下产生“BP/fold”型簇发振荡。

3. 2 “BP/fold/Hopf”型簇发振荡现象分析

在图 7 中 μ1 = 0.05 时，系统存在两个 fold 点，分 别 为 LP1（ 0.1353，0.7113 ） 和 LP2（-0.117，1.299 ），一 个 BP 点 ，为 BP （ 0.00022，0.01072 ），以 及一个 Hopf点，为 H1（ 0.3609，-0.114 ）。

在图 7 中，虽然系统中存在四个不稳定平衡点，但真正起作用的只有一个 fold 点、一个叉形分岔点和一个 Hopf 点，即 LP1，BP 和 H1。系统在左上方和右上方同时沿着平衡点曲线运动，遇到了点 BP，并跳跃到上分支，开始了簇发振荡，随着尖峰态的减弱，系统继续沿着稳定平衡点曲线向左移动，直至最小值-1 处，系统开始反向运动；系统遇到 LP2，但并未发生簇发振荡现象，继续运动，碰到了 LP1，跳跃到下分支，进行簇发振荡，随着大幅振荡的渐渐消退，系统又遇到了 H1，进行簇发振荡运动，随着尖峰态的逐渐消退，系统继续沿着稳定平衡点曲线运动，直至到达最右边 1 处才完成了一个完整的运动轨迹。称这种簇发振荡现象为“BP/fold/Hopf”型。对应到实际的模型中，可以观察到双稳态层合板在这组参数下产生“BP/fold/Hopf”型簇发振荡。

3. 3 “BP/Hopf/Hopf/fold/Hopf”型 簇 发 振 荡 现 象分析

在图 8 中 μ1 = 0.08 时，系统存在两个 fold 点，分别为 LP1（ 0.1353，0.7113 ） 和 LP2（-0.1351，1.285 ），一 个 BP 点 ，为 BP （ 0.00022，0.01072 ），以 及 四 个Hopf 点 ，分 别 为 H1（ 0.05746，1.179 ），H2（-0.354，0.9216 ） 和 H3（-0.6845， 0.4561 ）， H4 （-0.354，-0.9393 ）。

在图 8 中，虽然系统中存在七个不稳定平衡点，但真正起作用的只有一个 fold 点、一个叉形分岔点和三个 Hopf 点，即 LP1，BP 和 H1，H2，H4。系统在左上方和右上方同时沿着平衡点曲线图运动，遇到了点 BP，并跳跃到上分支，立即遇到了 H1，开始簇发振荡，随着尖峰态的减弱，系统继续沿着稳定平衡点曲线向左移动，遇到 LP2，但并未发生簇发振荡，其次遇到了 H2，开始大幅振荡，又碰到了 H3，并未產生簇发振荡现象，直至最小值-1 处，系统开始反向运动；系统继续运动，碰到了 LP1，跳跃到下分支，进行簇发振荡，随着簇发振荡现象的渐渐消退，系统又遇到了 H4，进行簇发振荡运动，随着尖峰态的逐渐消退，系统继续沿着稳定平衡点曲线运动，直至到达最右边 1 处才完成了一个完整的运动轨迹。称这种簇发振荡现象为“BP/Hopf/Hopf/fold/Hopf”型。对应到实际的模型中，会观察到双稳态层合板在这组 参 数 下 产 生“BP/Hopf/Hopf/fold/Hopf”型 簇 发振荡。

3. 4 “BP/Hopf/fold/Hopf”型簇发振荡现象分析

在图 9 中 μ1 = 0.1 时，系统存在两个 fold 点，分别 为 LP1（ 0.1353，0.7113 ），LP2（-0.2049，1.2 ），一个 BP 点，为 BP （ 0.001271，0.02644 ），以及三个 Hopf点 ，分 别 为 H1（ 0.4495，-0.07972 ），H2（-0.2682，1.091 ）和 H3（-0.7213，0.4265 ）

在图9中，虽然系统中存在六个不稳定平衡点，但真正起作用的只有一个 fold 点、一个叉形分岔点和两个 Hopf 点，即 LP1，BP 和 H1，H2。系统在左上方和右上方同时沿着平衡点曲线图运动，遇到了点 BP，并跳跃到上分支，遇到了 LP2，系统并未受到 LP2 的影响，继续向左运动遇到了 H2，由于不稳定极限环的影响，系统也进行大幅振荡，随着尖峰态的减弱，系统继续沿着稳定平衡点曲线向左移动遇到 H3，并未产生簇发振荡现象，直至最小值-1 处，系统开始反向运动；系统继续运动后，碰到了 LP1，跳跃到下分支，进行簇发振荡，随着大幅振荡的渐渐消退，系统又遇到了 H1，进行簇发振荡运动，随着尖峰态的逐渐消退，系统继续沿着稳定平衡点曲线运动，直至到达最右边 1 处才完成了一个完整的运动轨迹。称这种簇发振荡现象为“BP/Hopf/fold/Hopf”型 。 对 应 到 实 际 的 模 型 中 ，会 观察到双稳态层合板在这组参数下产生“BP/Hopf/fold/Hopf”簇发振荡。

3. 5 “fold/fold/Hopf/fold//fold/Hopf”型 簇 发 振 荡现象分析

与之前几种情况不同的是，在图 10 中 μ1 = 0.2时，系统不存在 BP 点，是由于 BP 点已转化为 fold点，所以在这种情况下，系统存在三个 fold 点，分别为 LP1（ 0.005077，-0.4583 ），LP2（ 0.1353，0.7113 ），LP3（-0.1888，1.223 ） 以 及 两 个 Hopf 点 ，分 别 为H1（ 0.8308，0.3555 ），H2（ 0.817，0.3598 ）。

在图 10 中，系统中一共存在 5 个不稳定平衡点。系统在右上方沿着平衡点曲线图运动，遇到了点LP1，并跳跃到上分支，开始簇发振荡，随着尖峰态的减弱，系统继续沿着平衡点曲线向左移动遇到LP3，也发生簇发振荡现象，其次遇到了 H2，开始大幅振荡，随着尖峰态的逐渐减弱，系统继续沿着平衡点曲线想左边运动，直至最小值-1 处开始反向运动；系统继续运动，再次遇到 LP3，开始大幅振荡，并碰到了 LP2，跳跃到下分支，进行簇发振荡，随着大幅振荡的渐渐消退，系统又遇到了 H1，进行簇发振荡运动，随着尖峰态的逐渐消退，系统继续沿着稳定平衡点曲线运动，直至到达最右边 1 处才完成了一个完整的运动轨迹。称这种簇发振荡现象为“fold/fold/Hopf/fold/fold/Hopf”型。对应到实际的模型中，会观察到双稳态层合板在这组参数下产生“fold/fold/Hopf/fold/fold/Hopf”型簇发振荡。

4 结 论

本文结合快慢动力学分析方法和分岔理论，把外激励项视为系统的慢变量，从双参数分岔集出发，从理论上分析了不同的参数下可能得到的簇发振荡现象类型，结合数值模拟，通过分析平衡点曲线与转换相图的叠加图，研究了双稳态复合材料层合板结构在不同参数下的簇发振荡现象及其机理 .数值模拟结果表明：

（1）在不含“叉形分岔点”情形下，会产生三种簇发 振 荡 类 型 ，分 别 为“ 延 迟 Hopf/fold/Hopf/fold”，“Hopf/fold/Hopf/Hopf/fold”和“fold/fold”；

（2）在含“叉形分岔点”情形下，会产生五种簇发振 荡 类 型 ，分 别 为“BP/fold”，“BP/fold/Hopf”，“BP/Hopf/Hopf/fold/Hopf”，“BP/Hopf/fold/Hopf”和“fold/fold/Hopf/fold/ fold/Hopf”。

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