位移激励下含负刚度的惯容减振系统参数优化解析研究

王珏 张莹 黄愫 叶会然 周叮

摘要： 为抑制位移激励下主结构的振动，提出了三种含有负刚度的惯容减振系统（N‐ISD），推导了各系统分别在 H∞和 H2优化准则下设计参数的解析解，探究了不同形式 N‐ISD 系统振动控制的特点。建立位移激励下减振系统的动力学方程，得到结构的传递函数。针对简谐位移激励下的振动幅值，采用固定点理论推导了以 H∞范数为优化准则的设计参数解析解；针对随机激励下位移均方值，采用极值理论推导了以 H2范数为优化准则的设计参数解析解。通过与基于遗传算法的数值优化解对比，验证了上述最优设计参数解析解的有效性及优越性。对最优状态下的减振系统进行减振效果分析，结果表明：负刚度的引入能有效降低主结构的振幅放大因子和均方值，简谐激励下N‐SPIS‐Ⅱ型惯容系统反共振峰值更低，共振峰值间距更大，减振效果及稳定性更好；随机激励下 N‐SPIS‐Ⅰ和N‐SPIS‐Ⅱ型惯容系统位移均方值均小于 N‐SIS 型惯容系统，表现出更好的减振性能。

关键词： 惯容减振；位移激励；随机激励；负刚度； H∞优化； H2优化

中图分类号： TB535；TU352.1 文獻标志码： A 文章编号： 1004-4523（2023）03-0804-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2023.03.023

引 言

随着人们对结构安全性、舒适性要求的提高，结构振动控制已经成为机械和土木工程界的核心问题之一。作用在减振结构上常见的外部激励有源自机械振动引起的激振力，源自地震引起的加速度激振，源自地面或轨道不平顺引起的底部位移激励等。动力吸振器（Dynamic Vibration Absorber，DVA）可以通过大量消耗这些外部激励作用在结构上产生的能量，实现对主结构振动的被动控制。Den Hartog［1］提出了在弹簧‐质量吸振器上加入阻尼元件的调谐质量阻尼器（Tuned Mass Damper，TMD），进一步降低了主结构的振幅且拓宽了减振频带，同时提出了力激振下 TMD 减振结构 H∞优化的固定点理论。Warburton［2］提出了随机白噪声激励下 TMD 减振结构基于 H2优化的设计参数解析解。在此基础上，由弹簧、阻尼器和质量元件构成的不同形式的 DVA得到了发展，如将阻尼元件替换为黏弹性元件的三要素型 DVA［3］，将阻尼器接到固定结构上的接地式DVA［4］等。由于主结构在力激励、底部位移激励的情况下，参数优化设计并不等价［5］，因此研究者们对不同振源下含 TMD 的结构开展了 H∞或 H2优化准则下设计参数的解析或数值求解，取得了丰硕的成果［6‐8］。尽管这些 TMD 型动力吸振器都获得了不错的减振效果，但是为达到较好的减振效果，一般需要较大的附加质量，再加上质量块的单端点特性，使得其在结构中的安装受到限制。

与传统的质量块不同，最早用于赛车减振中的惯容器是一种双端点机械元件［9］，它可将质量块的直线运动等效为惯容器中飞轮的旋转运动，从而用很小的物理质量实现了千倍级参振质量的动力特性［10］，因而惯容‐弹簧‐阻尼（Inerter‐Spring‐Damper，ISD）减振系统得到了关注和发展［11‐12］。Hu 等［13］推导了三种典型的惯容系统（混联 Ⅰ 型惯容系统（Series‐Parallel‐Ⅰ Inerter System， SPIS‐Ⅰ）、混 联Ⅱ型惯容系统（SPIS‐Ⅱ）和串联型惯容系统（SeriesInerter System，SIS）在 H∞或 H2 优化准则下的设计参数解析解。李壮壮等［14］、隋鹏等［15］提出了含有不同结构形式的 ISD 减振系统，并基于固定点理论推导了集中力激振下主结构在 H∞优化下的解析解，取得了很好的减振效果。潘超等［16］、Pan 等［17‐18］提出了含不同 ISD 减振系统的单自由度及多自由度动力学模型，基于数值优化法求解了地震激励下主结构在H2优化下的数值解，并拟合成了适用于工程的经验公式。文永奎等［19］、陈政清等［20］采用不同的数值优化算法提出了将多个并联惯容系统用于单自由减振的 H∞优化，以及将两类典型惯容系统用于桥梁减震的 H2优化。因此，惯容减振系统为工程减振（震）提供了更大的发展空间。

除了惯容，负刚度装置也因具有较大的承载能力、能在一定条件下降低系统的固有频率［21］等特点，成为了近年来的研究热点。与传统正刚度元件不同，负刚度元件的荷载变化量与变形量方向相反，表现为对结构的推力，从而辅助系统的运动。Wang等［22］系统地比较和评估了分别含惯容和含负刚度的减振系统在基于 H∞优化下对主结构的能量耗散能力和在地震动下的抗震性能。刘海平等［23］利用序列二次规划算法提出了简谐力激振下一种非接地负刚度动力吸振器 H∞优化设计的数值解。邢昭阳等［24］将放大机构应用于含负刚度弹簧元件的动力吸振器，基于 H∞优化推导出了力激励下的解析解。近期，范舒铜等［25］基于 Maxwell 模型，提出了一种含有惯容和接地负刚度的动力吸振器，推导了力激励下基于 H∞优化的解析解。Baduidana 等［26］对含负刚度的混联 I 型惯容系统的最优参数进行了推导，证明了含有负刚度元件的惯容减振模型会表现出更好的减振性能。Islam 等［27］利用固定点理论推导了加速度激励下含负刚度的惯容减振系统在 H∞优化下的设计参数，并验证了含该参数减振系统的结构在地震响应下的减振效果。由此可见，将惯容和负刚度联合应用具有令人满意的减振效果，可为研究人员提供一种思路，为工程应用提供一种有益的选择。

含有负刚度的惯容减振系统的研究仍处于初步阶段，近期文献主要针对主结构受力激振或者加速度激振下的减振问题，且大多基于 H∞准则进行参数优化。但是对于一些由地面或轨道不平顺引起的结构振动问题，从简谐位移激励和随机位移激励两方面对含负刚度的惯容减振系统分别基于 H∞和 H2准则进行参数优化，得到便于工程应用的设计参数解析解十分有必要，但目前这方面的研究较少。因此，本文将负刚度元件引入三种典型的SPIS‐Ⅰ ，SPIS‐Ⅱ和SIS型惯容减振系统，提出了三种N‐ISD减振系统。求解了简谐位移激励下的主结构幅频函数以及随机激励下的主结构位移均方值，分别基于H∞优化和H2优化准则推导了三种 N‐ISD 减振系统相应的最优设计参数解析表达式，并与基于遗传算法的数值最优解进行了对比验证，最后通过算例分析评价了三个 N‐ISD 系统的减振效果。

1 动力学建模及求解

本文将负刚度元件 kn與惯容元件并联，提出了三种典型的含负刚度的混联Ⅰ型惯容系统N‐SPIS‐Ⅰ（如图1（a）所示），含负刚度的混联Ⅱ型惯容系统N‐SPIS‐Ⅱ（如图1（b）所示）以及含负刚度的串联型惯容系统N‐SIS（如图1（c）所示）。其中，m为主结构的质量；b为惯容系数；c为阻尼系数；k，k1和kn分别为主结构刚度系数、惯容系统刚度系数和负刚度系数；x1为主结构位移；x2和x3分别为弹簧‐阻尼‐惯容三种元件间的端点位移。当kn=0时可退化为典型的SPIS‐Ⅰ，SPIS‐Ⅱ和SIS型惯容减振系统。

当主结构在地面位移激励u（t）作用下，根据达朗贝尔原理可建立上述三种含有负刚度的惯容减振系统的主结构运动控制方程如下：

2 参数优化

2. 1 基于 H∞准则的参数优化

根据三种含负刚度的惯容减振系统的主结构传递函数，定义其振幅放大因子Gi=│H（is）│，则N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ，N‐SIS型减振系统的振幅放大因子均可整理为如下形式：

简谐位移激励下基于H∞范数的优化目标是使主结构的最大振幅放大系数最小，即Gimax最小。下面以N‐SPIS‐Ⅱ型惯容系统为例，简述其参数优化过程。根据已推导出的N‐SPIS‐Ⅱ型惯容系统的振幅放大因子，可绘制出N‐SPIS‐Ⅱ型惯容系统的幅频曲线如图2所示。当阻尼比ξ取不同值时，曲线均通过两个与阻尼比ξ无关的定点P和Q（假定λP<λQ）。因此，根据固定点理论，将 P，Q 两点调整到同一高度并使得这两点处于曲线最大位置，即可得到系统 H∞优化下的设计参数。

由于定点 P 和 Q 与阻尼比 ξ 的取值无关，根据固定点理论，要使这两点等高，只需使这两点在阻尼比 ξ→0 和 ξ→∞时的响应值相等，即：

定点等高后，若要使 N‐SPIS‐Ⅱ型惯容系统的振幅放大因子最小，还需使 P，Q 两点处于幅频曲线的最大极值点。根据极值条件，只需 P，Q 两点处振幅放大因子的一阶偏导数都等于零，即：

将式（9）和式（11）代入上式，可直接求得 P，Q两定点处所对应的阻尼比平方值 ξ 2P 和 ξ 2Q。取二者均值的算术平方根为系统的最优阻尼比，则N‐SPIS‐Ⅱ型惯容减振系统的最优阻尼比为：

将求得的最优刚度比和最优阻尼比的解析解代入振幅放大因子表达式，即可求得 N‐SPIS‐Ⅱ型惯容减振系统固定点处对应的峰值为：

同理，可分别求得 N‐SPIS‐Ⅰ和 N‐SIS 型惯容减振系统固定点处对应的峰值如下：

含负刚度的 N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ和 N‐SIS 型惯容系统在上述最优振幅放大因子状态下对应的最优刚度比和最优阻尼比的解析解如表 1 所示。

2. 2 基于 H2准则的参数优化

在实际工程中，系统受到的激励大多为随机激励。因此，有必要对上述三种惯容减振系统在随机激励下的响应进行讨论。假设主结构受功率谱密度为 S（ω）=S0的白噪声位移激励。则三种减振系统的主结构位移均方值都可表示为：

随机激励下基于 H2范数的优化目标是使主结构响应曲线下的面积最小化，即主结构的位移均方值最小。同样以 N‐SPIS‐Ⅱ型惯容系统为例，简述其参数优化过程。上述含负刚度的惯容减振系统的位移均方值表达式均可整理成如下形式：

可得 N‐SPIS‐Ⅱ型惯容系统的最小位移均方值和最优阻尼比表达式如下：

二者均是关于刚度比的表达式，即要想求解位移均方值和阻尼比的最优解析解，只需求解出N‐SPIS‐Ⅱ型惯容系统在主结构位移均方值最小状态下对应的最优刚度比。根据极值理论，建立方程：

解式（22）可得 N‐SPIS‐Ⅱ型惯容系统的最优刚度比，则相应的最优阻尼比和最小位移均方值解析解分别为：

表 2 为上述三种含负刚度的惯容减振系统在其位移均方值最小时对应的刚度比和阻尼比解析解。

3 算例验证

3. 1 H∞优化下解析解与数值解对比

为验证基于 H∞优化准则下含负刚度的三种惯容减振系统最优参数解析解的正确性，采用遗传算法 （Genetic Algorithm， GA） 在 优 化 目 标max δ，κ，α，ξ{max （ Gi ）}下 ，分 别 对 N‐SPIS‐Ⅰ ，N‐SPIS‐Ⅱ和 N‐SIS 型惯容系统的刚度比和阻尼比进行数值优化，并将数值优化结果与解析解进行对比，结果如图3 和图 4 所示。遗传算法是一种通过模拟自然进化过程来寻找最优解的随机搜索算法。相比传统优化算法，其通用性更强，不需要辅助信息就能求出优化问题的最优解。与传统优化算法相比，其全局搜索能力更强，计算精度更高，具有较强的鲁棒性。对N‐SPIS‐Ⅰ和 N‐SPIS‐Ⅱ型惯容系统，其最优刚度比和阻尼比的解析解与数值解几乎完全吻合，而N‐SIS型减振系统在惯质比较小时，其解析解与优化数值解有一定的差异。为此，图5给出了三种含负刚度的惯容减振系统最优状态下其主结构振幅放大因子的解析结果和数值结果对比。从图5（c）可以看出，对于N‐SIS型惯容系统，在惯质比较小情况下，解析解获得的结果优于数值解。因此，基于H∞优化准则得出的解析解比基于遗传算法得到的数值解更加稳定，可避免GA优化算法在寻找最优解时可能存在的局部最优问题。

3. 2 H2优化下解析解与数值解对比

为验证基于 H2优化准则下含负刚度的三种惯容减振系统最优参数解析解的正确性，采用 GA 优化算法求解 N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ和 N‐SIS 型惯容减振系统在 min δ，κ，α，ξ{σ }2i 目标下的最优刚度比和阻尼比的数值解，其解析结果与数值优化结果的对比曲线如图 6和图 7 所示。由图可知，N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ和N‐SIS 型减振系统在最优状态下，其最优刚度比和阻尼比的解析结果与数值优化结果一致，验证了基于 H2优化准则推导出的最优设计参数解析解的有效性。

4 不同模型的减振效果评价

4. 1 简諧位移激励下的减振效果评价

根据表 1 推导的三种含负刚度的惯容减振模型的最优刚度比和最优阻尼比解析解，可以得到N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ和N‐SIS型惯容减振系统各自处于最优状态下的幅频曲线。图8为选取惯质比δ=0.2和负刚度比κ=-0.1时，不含负刚度和含有负刚度的三种典型惯容减振系统的幅频曲线对比。从图8中同种颜色的虚线和实线对比可知：含有负刚度的N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ，N‐SIS型惯容减振系统的振幅放大因子均低于不含负刚度的SPIS‐Ⅰ，SPIS‐Ⅱ和SIS型惯容减振系统，说明负刚度的增加可以有效降低惯容减振系统主结构的幅值。另外，从图8中不同种颜色的实线对比可知：相比N‐SPIS‐Ⅰ和N‐SIS型惯容减振系统，N‐SPIS‐Ⅱ型惯容减振系统的反共振峰值更低，共振峰值的间距更大。因此，简谐位移激励下N‐SPIS‐Ⅱ型惯容系统的减振效果及稳定性更好。

4.2 随机激励下的减振效果评价

图9分别给出了N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ和N‐SIS型惯容减振系统主结构的位移均方值随刚度比、阻尼比的变化曲面。由图9（a）和9（c）可知，对于N‐SPIS‐Ⅰ和N‐SIS型惯容系统，位移均方值与刚度比间的关系不单调，存在最优刚度比使得位移均方值最小，此时直接求解极值方程就能得到相应的最优刚度比。但是，对图 9（b）中的 N‐SPIS‐Ⅱ型惯容系统，在刚度比取值区间内，位移均方值与刚度比间的关系为单调递减，要使该系统的位移均方值最小，即刚度比取最大值1。确定了N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ和N‐SIS型惯容减振系统的最优刚度比后，代入优化后的位移均方值表达式，即可求解出这三种含负刚度的惯容减振系统基于H2优化准则下的最小位移均方值。

表3给出了随机激励下，含有负刚度的N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ和N‐SIS型惯容减振系统分别相对于不含负刚度的SPIS‐Ⅰ，SPIS‐Ⅱ和SIS型惯容减振系统的位移均方值及衰减率。由表3中数据可知，含有负刚度的N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ和N‐SIS型惯容减振系统的位移均方值小于不含负刚度的惯容减振系统，说明负刚度元件的引入能够有效降低惯容减振系统主结构的位移均方值，N‐ISD惯容系统相比ISD型惯容系统可以表现出更好的减振性能。另外，N‐SPIS‐Ⅰ和N‐SPIS‐Ⅱ型惯容减振系统的位移均方值均低于N‐SIS型惯容减振系统，但两者之间位移均方值相差不大，说明在随机位移激励下N‐SPIS‐Ⅰ和N‐SPIS‐Ⅱ型惯容减振系统的减振效果比N‐SIS型惯容系统更佳。

5 结论

惯容器和负刚度元件本质上均表现出负刚度特性，能够辅助减振结构中黏性阻尼器的运动，从而产生阻尼放大效应。负刚度元件表现出来的负刚度特性不受激振频率的影响，而惯容器与激振频率相关且在较高频率下的负刚度效应愈发明显。将负刚度元件、惯容器、弹簧元件和阻尼元件进行不同的串并联组合，可以形成不同刚度的减振系统，从而产生不同的减振效果。因此，本文在典型的三种惯容减振模型基础上，将负刚度元件与惯容元件并联，提出了三种含有负刚度的 N‐SPIS‐I，N‐SPIS‐II 和 N‐SIS 型惯容减振系统。分别基于 H∞和 H2优化准则，推导了含有负刚度的惯容减振系统的最优刚度比和最优阻尼比的解析解。通过减振系统的算例对比及分析可以得出以下结论：

（1）简谐位移激励和随机位移激励下，N‐SPIS‐Ⅰ，N‐SPIS‐Ⅱ和N‐SIS型惯容减振系统的最优设计参数解析解与基于遗传算法的数值优化结果几乎一致，验证了解析解的有效性。但是解析结果比数值优化结果更加稳定，避免了遗传算法可能存在的局部优化问题。

（2）对于惯质比相同的减振系统，引入合适的负刚度可以有效提高主结构的减振性能。简谐位移激励下，含有负刚度的惯容减振系统的振幅放大因子低于不含负刚度的惯容减振系统；随机位移激励下，含有负刚度的惯容减振系统的主结构位移均方值小于不含负刚度的惯容减振系统。

（3）N‐SPIS‐Ⅱ型惯容减振系统在简谐位移激励下较其他两个含负刚度的惯容系统的减振效果及稳定性更好；N‐SPIS‐Ⅰ和N‐SPIS‐Ⅱ型惯容减振系统在随机位移激励下的主结构位移均方值均低于N‐SIS型惯容减振系统。

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