对接圆柱壳结构的频响函数子结构混合建模方法研究

李旭龙 张忠 董俊辉 牛牧青 魏莎 陈立群

摘要 以建立精确的对接圆柱壳结构动力学模型为目标，为解决对接圆柱壳结构实验模型存在的界面转角自由度信息缺失的问题，提出了频响函数子结构混合建模方法，采用界面刚性等效方法进行界面转角自由度信息的近似估计，并将其与有限元频响结果进行对比分析，验证了该方法在圆柱壳结构中的计算精度。同时，根据子结构频响函数获取方式、界面自由度的不同，采用子结构频响函数综合方法进行多种工况下的混合建模。结合对接圆柱壳结构的振动特性，对比分析不同工况下的混合建模结果。结果表明：考慮界面转角自由度信息后，可有效提高对接圆柱壳结构的混合建模精度。

关键词 圆柱壳结构; 子结构综合; 混合建模; 频响函数; 转角自由度

引 言

近年来，随着航空航天、船舶和机械等工程领域的迅速发展，复杂结构被广泛地运用于工程实际，这对结构动力学分析结果的准确性提出了更高的要求。传统方法需对复杂结构展开大量的仿真运算，需耗费大量的计算成本，也不利于现代创新设计中的快速修改和结构优化。子结构综合方法为该问题提供了新的解决思路［1］。

子结构综合方法可分为模态综合方法［2?4］和基于频响函数的子结构综合方法［5?6］两种，前者采用模态模型进行综合，后者则直接使用频响函数进行综合。模态综合法存在主模态个数限制［7］、高阶次模态截断误差、剩余模态难以通过实验方法获得［8］等问题。基于频响函数的子结构综合方法直接利用子结构频响函数进行综合建模，有效避免了上述问题，因此许多学者将该方法运用于工程实际。张勇［9］基于上述方法对整车进行了混合建模，结果表明所建立的模型是准确、可靠的；王威等［10］考虑子结构连接特性后对桁架模型进行综合，计算结果在一定随机误差下仍具有较好的精度；吴仕超等［11］考虑了界面转角自由度对空间刚架进行综合，所得结果较好地提高了结构动力学性能预报的质量。

本文采用界面刚性等效方法（EMPC）耦合多个拾振点的平动自由度信息，获取了对接圆柱壳结构界面连接点的转角自由度信息。同时，将其与有限元频响进行对比，验证所用方法对圆柱壳结构具有普遍适用性和较高计算精度。根据子结构频响函数获取方式的不同，采用Jetmundsen频域子结构法进行不同工况下的混合建模，以分析界面转角自由度缺失对混合建模精度的影响。

1 子结构混合建模方法

1.1 Jetmundsen频域子结构法

Jetmundsen等［12］通过子结构分离与组合状态间关系推导出组合结构的频响矩阵，该方法仅需对连接处频响矩阵进行求逆运算，缩减了矩阵求解阶次。以对接圆柱壳结构为例，为方便表述，称其为组合结构C。假设其可拆分为子结构A和B，则子结构A，B频响矩阵可表示为［13?14］：

式中 下标c代表界面自由度；i和j分别代表A和B的内部自由度。

基于耦合界面刚性假设，在耦合界面处须满足位移协调条件和界面力平衡条件：

利用式（1），（2）和（3），可推导出子结构A，B与组合结构C间的频响函数关系式：

式（4）右端仅包含子结构A，B的频响函数矩阵元素，这表明通过对子结构频响函数进行矩阵运算，便可得到组合结构C的频响函数矩阵。

1.2 界面刚性等效方法

由公式（4）可得，子结构A，B中包含了大量的耦合界面自由度信息，这其中既需要平动自由度信息，也需要转角自由度信息。但由于实验过程中采用三轴加速度传感器进行响应的测量，所得界面响应数据均为平动自由度响应。故当子结构频响函数矩阵由实验实测获得时，存在界面转角自由度信息丢失问题。本文采用界面刚性等效方法［15］，通过耦合界面连接点附近的多个平动自由度响应，对连接点的转角自由度信息进行近似估计。以对接圆柱壳结构为例，其可根据连接特性分为子结构A，B且由输入、输出关系可得子结构的频率响应方程为：

式中 ui，uc分别为子结构内部自由度响应与界面自由度响应，fc和fi分别为界面节点力向量和内部节点力向量；上标“a”表示子结构A的频率响应方程。

式（5）可写为如下形式：

为叙述方便，式（6）省略上标a。其中：R为描述界面主模态信息的变换矩阵；E为单位矩阵；ueq为界面主自由度响应；μ为剩余自由度响应。

此时，利用剩余自由度响应与界面主模态信息的正交关系（GTγu=0），可将剩余自由度响应从上述表达式中脱离。子结构A，B的原自由度响应便可由变换矩阵R进行表达，经过简化运算可得：

式中 Y=（GTG）?1GT。

经过上述运算便可对界面连接点转角自由度信息进行近似估计，界面刚性等效变换得到的频响函数矩阵H?包含了界面连接点的转角自由度信息。

2 有限元频响与实验频响的获取

2.1 仿真模型及有限元频响函数获取

在有限元分析过程中，有限元模型及其网格划分的合理性对于分析结果的准确性和经济性有较大的影响。已知圆柱壳结构整体采用6061铝合金进行加工制作，密度为2750 kg/m3，弹性模量为71 GPa，泊松比为0.33，图1为圆柱壳结构示意图，基本参数如表1所示。

本节根据实验件实际尺寸进行有限元建模以及网格划分，法兰部分采用八结点六面体单元（CHEXA），薄壁圆柱壳采用四结点四边形壳单元（CQUAD4），共21760个单元。图2为圆柱壳结构的有限元模型。

为获取有限元频响函数，本节采用Nastran中序号为SOL 108的求解器进行目标点频响函数的求解。为表征法兰盘处的螺栓连接，在螺栓孔中心处建立节点并用MPC约束将其与孔周的节点连接起来，随后采用RBE2单元进行螺栓的模拟，相应的命令卡片如表2所示。

2.2 实验模型及实验频响函数的获取

实验过程中采用单点激励多点响应形式，利用冲击力锤施加脉冲激励，数据采集系统结合力传感器信号和拾振点处的三轴加速度传感器信号进行曲线拟合，进而识别系统的模态振动参数，所采用的实验测试系统如图3所示。

对于对接圆柱壳结构C，可按照螺栓连接特性分为子结构A，B。其中子结构A频响矩阵由实验实测频响函数组成，子结构B的频响矩阵视具体工况而定。图4为子结构与对接圆柱壳结构示意图，选取a，b分别为子结构A，B内部点，选取1～4号连接点作为子结构A，B界面点。

由于实验条件下界面连接点的转角自由度信息不可测，故对实验子结构A采用界面刚性等效方法进行界面连接点转角自由度信息的近似估计。分别在1～4号连接点附近布置如图5（a）所示的三轴加速度传感器（蓝色），并通過附加质量块对每个拾振点进行三向激励（如图5（b）所示），以获取各拾振点的自身频响函数和各拾振点之间的跨点频响函数。

通过EMPC方法耦合上述拾振点平动自由度响应，便可完成对1～4号连接点转角自由度信息的近似估计，表3为1号点EMPC频响与有限元频响峰值误差汇总。

通过表3可以发现，EMPC频响在各阶固有频率处均有共振峰的出现，且与有限元频响相比具有较小的相对误差，其中最大的相对频率误差为1.68%。结果表明：1）界面刚性等效方法同样适用于圆柱壳结构，以进行界面转角自由度信息的近似估计；2）通过界面刚性等效方法计算得到的转角自由度信息具有较高的计算精度，可用于对接圆柱壳结构的混合建模。

2.3 对接圆柱壳结构振动特性分析

为正确评估子结构综合结果的正确性，需结合对接圆柱壳结构模态振动特性［16］进行分析。采用M10螺栓进行圆柱壳结构的对接，并通过数显式力矩扳手控制螺栓扭矩为30 N?m。同样采用图3所示的实验测试系统，可得到对接圆柱壳结构前3阶模态振型结果，如图6所示。表4为对接圆柱壳结构实验模态分析结果与有限元模态分析结果汇总。

表3和4对比分析结果表明：对接圆柱壳结构保留子结构模态振动特性的同时，出现了289.02 Hz的频率成分。该频率对应的结构模态振型表现为以法兰面为分界的对称振动，如图6所示。

3 频响综合结果及误差分析

3.1 频响综合结果

本节采用Jetmundsen频域子结构法对对接圆柱壳结构进行混合建模，计算b点X向至a点X向的目标点频响函数Hax，bx。计算过程中采用与试验工况相同的激励，所用到的数据均为单位激励下的频响函数，已通过实验模态测试、有限元频响分析、EMPC等方法获取。

为正确评估界面转角自由度信息对子结构混合建模精度的具体影响，可将综合过程分为以下两种不同的工况，如表5所示。

通过Jetmundsen频域子结构法，可计算得到对接圆柱壳结构在不同工况下的目标点频响函数Hax，bx。为验证Jetmundsen频域子结构法混合建模的正确性，将计算结果与采用NASTRAN命令卡片综合结果进行对比，如图7所示。

通过图7的比较可知，NASTRAN计算结果与Jetmundsen频域子结构法计算结果在前400 Hz频段内具有很好的一致性，前者验证了Jetmundsen频域子结构法计算结果的正确性。随后，将不同工况下目标点频响函数Hax，bx的计算结果与实验实测频响函数进行对比，如图8所示。表6和7分别为不同工况下二者峰值频率及幅值的误差汇总。

分析上述不同工况的综合结果，有下述现象：

（1）综合1和综合2的对比可以发现，考虑转角自由度信息后，第一阶共振峰处的峰值误差从8.28 dB降为了0.77 dB，第三阶共振峰处的峰值误差从17.06 dB降为了13.47 dB。结果表明，考虑经EMPC计算得到的界面转角自由度后，可有效提高对接圆柱壳结构的混合建模精度；

（2）综合1，2均存在第二阶模态丢失问题，故需结合对接圆柱壳结构的模态分析结果进行进一步的讨论与分析；

（3）考虑转角自由度信息后，第三阶共振峰处的峰值误差有所下降，但仍存在较大误差，分析其主要原因是由于子结构实验频响在该频段质量较差导致。

3.2 误差分析

由于综合1，2均存在第二阶模态丢失问题，下面展开该问题的分析。由于混合建模对象采用两个几何尺寸完全相同的圆柱壳结构进行对接，对接后的组合结构表现出几何对称性。这种对称性使得对接后的结构模态产生了新的频率成分（289.02 Hz）。该频率成分下，连接界面存在一定的面内振动，如图9中虚线所示。这使得该阶模态受螺栓连接预紧力的影响较大。综上所述，混合建模对象的结构特殊性是导致该阶模态丢失的主要原因。

4 结 论

本文针对实验过程中存在的界面转角自由度缺失问题，采用界面刚性等效方法进行了近似估计。同时，采用Jetmundsen频域子结构法对对接圆柱壳结构进行了混合建模。对于不同工况下的混合建模结果，结合对接圆柱壳结构的模态振动特性展开分析，可得以下结论：

（1）对接圆柱壳结构保留子结构模态振动特性的同时，出现了289.02 Hz的频率成分。该频率处的结构模态振动为对接圆柱壳结构所特有的振动特性，其受连接方式的影响较大；

（2）针对对接圆柱壳结构，通过界面刚性等效方法计算得到的转角自由度信息具有较高的计算精度，可用于对接圆柱壳结构的混合建模；

（3）考虑转角自由度信息后，可有效提高对接圆柱壳结构的混合建模精度；

（4）基于Jetmundsen频域子结构法进行混合建模对子结构频响函数具有较高的精度要求，若子结构频响质量较差，可能会产生较大的误差。

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Research on sub-structure hybrid modeling method based on frequency response function for butted cylindrical shell structures

LI Xu-long 1 ZHANG Zhong 3DONG Jun-hui 4NIU Mu-qing 4WEI Sha 1，2 CHEN Li-qun 1，2

1. School of Mechanics and Engineering Science， Shanghai University， Shanghai 200444， China；

2. Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics， Shanghai 200072， China；

3. Science and Technology on Reliability and Environment Engineer Laboratory， Beijing Institute of Structure and Environment Engineering， Beijing 100076， China；

4. School of Science， Harbin Institute of Technology， Shenzhen， Shenzhen 518055， China

Abstract In order to establish an accurate dynamic model of butted cylindrical shell structures and to solve the problem of lack of information of rotational degrees of freedom in the experimental model of butted cylindrical shell structures， the frequency response function based sub-structuring synthesis method is proposed. The equivalent multi-point connection method is used to approximately estimate the information of rotational degrees of freedom. Then the results are compared with the frequency response function results of the finite element method， verifying the accuracy of the method for cylindrical shell structure. At the same time， according to the different ways of obtaining the frequency response function of the substructure and the degree of freedom of the interface， the frequency response function based sub-structuring synthesis method is used for the hybrid modeling under various working conditions. Combined with the vibration characteristics of the butted cylindrical shell structure， the hybrid modeling results under different working conditions are compared and studied. Results show that the hybrid modeling accuracy of the butted cylindrical shell structure can be effectively improved by considering the information of rotational degrees of freedom of interface.

Keywords cylindrical shell structure; sub-structuring synthesis; hybrid modeling; frequency response function; rotational degree of freedom