{nest,gap}-free图的边理想正则度的研究

杨 娟，刘阿明

（海南大学 理学院，海南 海口 570228）

文中所涉及的图都是连通的简单图，且不含有孤立点.记简单图G=｛V，E｝，其中V=｛x1，x2，…，xn｝是图G的顶点集，E=｛xixj|xi，xj在G中相邻｝是图G的边集.设u，v∈V（G），如果uv∈E（G），则记uv∈G为图G的一条边.假设H是简单图，若图G不含H作为导出子图，则称G是H-free图.设R=K［x1，x2，…，xn］是k域上的n元多项式环.图G的边理想为：I（G）=＜xixj|｛xi，xj｝∈E（G）＞.

Fröberg［1］首先给出了所有正则度为2的简单图的经典刻画，即对简单图G，图G的正则度reg（I（G））=2当且仅当Gc是弦图，其中reg（I（G））表示边理想I（G）的Castelnuovo-Mumford 正则度.Francisco-Hà-Van Tuyl曾讨论过，对于简单图G，如果图G的边理想的正则度对所有的s≥ 2 都有reg（I（G）s）=2s，那么Gc不含C4，即图G是gap-free 的.因此有如下猜想：如果图G是gap-free 的，那么对所有的正整数s≥2，都有图G的边理想的正则度都有reg（I（G）s）=2s.在研究这个猜想的过程中有如下思考：对于所有的gap-free图G，都有reg（I（G））≤ 3.

对于正则度小于等于3的图类，Nevo 等［2］首先证明了gap-free 且claw-free 图的边理想的正则度小于等于3.Banerjee［3］对此结果进行了推广，证明了gap-free且cricket-free图的边理想正则度reg（I（G））≤ 3，并且对于s≥ 2 都有reg（I（G）s）=2s，即I(G)s有线性的极小自由分解式.Erey［4］给出了新的图类gap-free 且diamond-free 图，证明了此类图的边理想的正则度reg（I（G））≤ 3，且对于s≥2，都有reg（I（G）s）=2s.刘阿明等［5］给出了chair-free 且gap-free 图类，证明了其边理想的正则度不超过3.在文献［6］中给出了kite-free 且gapfree图类，证明了其边理想的正则度不超过3.此外，也有诸多学者在gap-free的边理想及其幂的正则度上做了很多研究，具体内容可参考文献 ［7-8］.

本文研究的过程中只考虑不含有孤立点的连通图.因为对于gap-free图，如果图G不是连通图，则其2个不同连通分支不能同时含有边，即假设2个连通分支都含有边，那么这2条边就构成一……