第一型无穷曲线积分及其条件收敛判别法

邱惠铭 何桂添 唐国吉

摘 要：给出无穷曲线及第一型无穷曲线积分的定义，并获得了它的计算公式，得到了第一型无穷曲线积分依曲线方程类型的不同可相应地转化为无穷积分或瑕积分的结论，这些结果完善了赵清理等人［5］的结果。该文还证明了第一型无穷曲线积分的两个重要的收敛判别法，无穷积分的Dirichlet判别法和Abel判别法是该文结果的特殊情况。

关键词：无穷曲线；第一型无穷曲线积分；单调性；Dirichlet判别法；Abel判别法

中图分类号：O172.2

The First Type of Infinite Curve Integral and

Its Conditional Convergence Criterion

Qiu Huiming He Guitian Tang Guoji*

School of Mathematics and Physics，Guangxi University for Nationalities GuangxiNanning 530006

Abstract：The definition of infinite curve and the first type of infinite curve integral is given，and its calculation formula is obtained.The conclusion that the first type of infinite curve integral can be transformed into infinite integral or defective integral according to the different type of curve equation is obtained.These results improve the results of Zhao Qingzhu et al.This paper also proves two important convergence tests for the first type of infinite curve integral，the Dirichlet test and the Abel test for infinite integral are the special cases of this paper's results.

Keywords：infinite curve； Infinite curve integral of type I； Monotony； Dirichlet discriminant； Abel test

1 概述

郇中丹教授在文獻［1］中谈“数学分析”课程改革的几点意见中指出，目前国内《数学分析》教材或教学实践中存在的主要问题之一是：一元微积分的讨论不厌其烦，而多元微积分则显得相当薄弱，这一方面是由于以往人们认为多元微积分是一元的平行推广（这大概与菲赫金格尔兹的数学分析教材的影响有关），另一方面，由于一元部分相对简单并且结果颇多。华东师范大学数学系编《数学分析》（第三版）［2］在附录一介绍微积分简史中也指出，积分论仍在发展，Riemann积分的推广仍不能说已经完成。这些认识是客观的。文献［1］指出，《数学分析》的改革设想应把多元部分作为重中之重，无论从数学的发展，还是从实际应用，都要求有较好的多元微积分基础，与一元微积分相比，多元微积分的有关内容还有待深入的研究。

国内通行的《数学分析》教材（如文献［24］）都研究曲线上的正常积分（包括第一型和第二型的）。1999年，文献［5］给出了无穷曲线积分的定义，讨论了其某些性质和收敛的判别法和计算方法。最近，文献［6］引入了定义在曲线上的函数的单调性概念，并在文献［7］证明了第一型曲线积分的第二中值定理。本文在文献［57］工作的基础上研究第一型无穷曲线积分的两个重要的收敛判别法，无穷积分中的Dirichlet判别法和Abel判别法是本文结果的特殊情况。本文的另一个贡献是完善了文献［5］中关于无穷曲线的定义和第一型无穷曲线积分的计算公式。

2 定理和引理

定义2.1在平面光滑曲线C：x=φ（t），y=ψ（t），t∈［α，+）上，A（φ（α），ψ（α））为曲线C的一个端点，B（φ（t），ψ（t））是曲线C上的任一点，s（A，B）表示弧段C（A，B）的弧长，称曲线C是以点A为端点的无穷曲线，如果limt→+

）。若我们在曲线上任意取定某一点为端点，则该无穷曲线可看成是两条有端点的无穷曲线，其中的任一条的方程表达式一定属于前面所定义的四个类型之一。

下面我们给出第一型无穷曲线积分的定义。

定义2.2：设C是以A为端点的平面无穷曲线，f是定义在曲线C上的二元函数，对曲线C上的任一点B，s表示曲线C上以点A，B为端点的弧段（记作C（A，B））的弧长，f在C（A，B）上第一型可积，若：

lims→+

αf（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt；（2）

类似地，

情形2：若C：x=φ（t），y=ψ（t），t∈［α，β），则：

J=∫βαf（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt；

情形3：若C：x=φ（t），y=ψ（t），t∈（－

f（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt；

情形4：若C：x=φ（t），y=ψ（t），t∈（β，α］，则：

J=∫αβf（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt。

情形1是文献［5］中定理6的结果，该文没有注意到无穷曲线的其他类型，因此只得到第一型无穷曲线积分与无穷积分之间的关系。事实上，第一型无穷曲线积分依无穷曲线的不同类型可相应转化为无穷积分（见情形1和情形3）或瑕积分（见情形2和情形4）。

文献［7］引入了平面曲线上的二元函数的单调性概念，并且证明了第一型曲线积分的第二中值定理。

定义2.3［7］设C：x=φ（t）；y=ψ（t），t∈［α，β］为平面上的可求长曲线，曲线两端点为A（φ（α），ψ（α））和B（φ（β），ψ（β）），f（x，y）为定义在曲线C上的函数，若对任何的t1，t2∈［α，β］，当t1

（1）f（φ（t1），ψ（t1））SymbolcB@

f（φ（t2），ψ（t2）），则称f为曲线C上的增函数，特别地，当成立严格不等式f（φ（t1），ψ（t1））

（2）f（φ（t1），ψ（t1））f（φ（t2），ψ（t2）），则称f为曲线C上的减函数，特别地，当成立严格不等式f（φ（t1），ψ（t1））>f（φ（t2），ψ（t2））时，称f为曲线C上的严格减函数。

我们指出：曲线上函数的单调性概念是一元函数单调性的推广。

引理2.1（第一型曲线积分的第二中值定理）［7］设函数f在光滑曲线C：x=φ（t）；y=ψ（t），t∈［α，β］（曲线两端点为A（φ（α），ψ（α））和B（φ（β），ψ（β）））上第一型可积。若g为曲线C上的单调函数，则存在P（ξ，η）∈C，使：

∫Cf（x，y）g（x，y）ds=g（φ（α），ψ（α））∫C（A，P）f（x，y）ds+

g（φ（β），ψ（β））∫C（P，B）f（x，y）ds（3）

本文主要结果的证明还需用到第一型无穷曲线积分的Cauchy收敛准则。

引理2.2（第一型无穷曲线积分的Cauchy收敛准则）［5］设A为无穷曲线C的端点，f（x，y）是定义在曲线C上的二元函数，则∫Cf（x，y）ds收敛的充要条件是：对任意给定的ε>0，存在M>0，对任意的P1，P2∈C，只要s（A，P1），s（A，P2）>M，就有|∫C（P1，P2）f（x，y）ds|<ε。

3 主要结果

定理3.1（狄利克雷判别法）设A是光滑无穷曲线C的端点，P（u，v）是曲线C上的任一点，若F（u，v）=∫C（A，P）f（x，y）ds在曲线C上有界，g（x，y）在曲线C上当s→+

M，P（u，v）∈C。

对于任意给定的ε>0，由g（x，y）在曲线C上当s→+SymboleB@

时趋于零知，存在G>0，使得对每一个P（x，y）∈C，只要满足s（A，P）>G，就有|g（x，y）|<ε4M。

对于任何P1（x1，y1），P2（x2，y2）∈C：s（A，P2）>s（A，P1）>G，又因g為单调函数，在曲线段C（P1，P2）上利用第一型曲线积分的第二中值定理得知，存在P（ξ，η）∈C（P1，P2），使得

∫C（P1，P2）f（x，y）g（x，y）ds=g（x1，y1）∫C（P1，P）f（x，y）ds+

g（x2，y2）∫C（P，P2）f（x，y）ds。

于是

|∫C（P1，P2）f（x，y）g（x，y）ds|

ε4M·2M+ε4M·2M=ε.

由Cauchy收敛准则知，∫Cf（x，y）g（x，y）ds收敛。证完。

定理3.2（阿贝尔判别法）设A是光滑无穷曲线C的端点，f（x，y），g（x，y）是定义在曲线C上的二元函数，若∫Cf（x，y）ds收敛，g（x，y）在曲线C上单调有界，则∫Cf（x，y）g（x，y）ds收敛。

证明：由g（x，y）在曲线C上有界，即存在M>0，使得对曲线C上的每一点P（x，y），有|g（x，y）|SymbolcB@

M。

对于任意给定的ε>0，由∫Cf（x，y）ds收敛知，存在G>0，使得对于任何P1（x1，y1），P2（x2，y2）∈C，只要s（A，P2）>s（A，P1）>G，就有|∫C（P1，P2）f（x，y）ds|<ε2M。

又因为g为曲线C上的单调函数，在曲线段C（P1，P2）上利用第一型曲线积分的第二中值定理可知，存在P（ξ，η）∈C（P1，P2），使得

∫C（P1，P2）f（x，y）g（x，y）ds=g（x1，y1）∫C（P1，P）f（x，y）ds+g（x2，y2）∫C（P，P2）f（x，y）ds。

于是

|∫C（P1，P2）f（x，y）g（x，y）ds|

M·ε2M+M·ε2M=ε.

由Cauchy收敛准则知，∫Cf（x，y）g（x，y）ds收敛。证完。

定理3.1与定理3.2的结论对于三维或一般的n维空间中的第一型无穷曲线积分仍成立。

推论3.1（无穷积分的Dirichlet判别法）［2］若F（u）=∫uaf（x）dx在［a，+SymboleB@

）上有界，g（x）在［a，+，这是一条无穷曲线，定义曲线C上的二元函数f～（x，y）=f（x），g～（x，y）=g（x），容易验证f～，g～在曲线C上满足定理3.1的条件，因此由定理3推知∫Cf～（x，y）g～（x，y）ds收敛，即∫+af（x）g（x）dx收敛。

证明仿推论3.1应用定理3.2容易推出结论。

通过推论3.1与推论3.2及其证明，我们知道无穷积分中的Dirichlet判别法和Abel判别法是本文结果的特殊情况。

参考文献：

［1］郇中丹.对师范大学本科数学专业《数学分析》课程改革的几点意见［J］.数学教育学报，2000，9（2）：1719.

［2］华东师范大学数学系.数学分析（上、下册）（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［3］刘玉琏，等.数学分析讲义（上、下册）（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［4］徐森林，薛春华.数学分析［M］.北京：清华大学出版社，2006.

［5］赵清理，于兴江，冷学斌.无穷曲线上的积分及其性质［J］.聊城师院学报（自然科学版），1999，12（3）：6871.

［6］唐国吉.第二型曲线积分的第二中值定理［J］.数学的实践与认识，2009，39（17）：200205.

［7］唐国吉，郑漢术，陈晓丹.第一型曲线积分的第二中值定理［J］.广西民族大学学报（自然科学版），2013，19（1）：4548.

基金项目：本研究受广西高等教育本科教学改革工程项目（2020JGA155）和广西民族大学数学与应用数学专业相思湖本科教育教学创新团队资助

作者简介：邱惠铭（1983— ），女，汉族，广西桂林人，本科，初级，研究方向：应用统计。

*通讯作者：唐国吉（1979— ），男，汉族，广西防城港人，博士，教授，博士生导师，研究方向：运筹学与控制论、数学教育。