人教版初中数学教材“统计与概率”内容的分析

潘禹辰 徐文彬

［摘  要］ 研究者以统计活动过程为主要依据，对人教版初中数学教材“统计与概率”内容进行了分析，了解了“统计与概率”内容在统计活动过程各环节的编排情况，“统计与概率”内容在统计活动过程上的呈现度和学生参与度的情况，以及教材上“概率”内容的编排情况等. 分析发现，统计活动过程各环节的编排较好地贴合了2011年版课标的要求，知识目标明确却有些局限；统计活动过程的教材呈现度和学生参与度一般，轻视数据收集和表示；统计与概率分开编排，以“用频率估计概率”简单融合收尾. 因此，教材编写与实施应兼顾完整的统计活动过程各环节，重视统计与概率之间的关系，并培养学生的统计推断能力.

［关键词］ 统计活动过程；统计与概率；统计推断；内容编排；教材分析

基金项目：全国教育科学“十三五”规划2018年度国家一般项目“中小学STEM教育基本理论与本土实践问题研究”（BHA180126）.

作者简介：潘禹辰（1998—），南京师范大学教育学硕士研究生，主要从事数学教育研究工作.

通讯作者：徐文彬（1966—），南京师范大学教授，博士生导师，主要从事数学教育研究工作.

问题提出

目前，国内关于“统计与概率”的分析与研究多关注教材内容和结构，其中，对统计内容的研究主要聚焦于知识点的广度和深度. 虽然有些研究以发展学生的统计素养为宗旨，但是较少从统计实践的角度出发考虑学生是否经历了完整的调查实践过程. 正是因为统计学是在实践中使用的，关注从数据中获得理解，专注于解决问题，所以统计素养的培养是通过“做”（doing）统计（即统计实践），而非单纯的“学习”实现的［1］. 同样，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（简称“2011年版课标”）对“数据分析观念”的解读强调了许多生活问题应做调查研究、数据蕴含着信息，以及根据背景选择分析方法，也暗含着对统计调查完整性的重视［2］. 这种要求在《义务教育数学课程标准（2022年版）》（简称“2022年版课标”）中得以强化，并在小学和初中阶段分别定义了“数据意识”“数据观念”两大核心素养［3］.

随着初中“统计与概率”对调查方法、数据表征方法和统计量等知识的深入讲解，调查过程的多样性和数据分析的复杂性逐渐提高，作为教学载体的教材能否将这些知识有机结合起来促进学生统计素养的提升，是本研究的主要关注点.

研究设计

研究对象是人民教育出版社出版的初中数学教材（2013年审定，简称“人教版教材”）.

1. 研究问题

通过对人教版教材“统计与概率”部分的例题、习题的分析，审视其在统计活动过程视角下的编排情况，以及可能对教学产生的影响. 具体而言，主要包括以下4个问题：（1）人教版教材“统计与概率”内容在统计活动过程各环节的编排情况；（2）人教版教材“统计与概率”内容在统计活动过程上的呈现度和学生参与度的情况；（3）人教版教材“概率”内容的编排情况；（4）人教版教材“统计与概率”内容编排的特点以及对教学的影响.

2. 分析框架

在已有文献的基础上，本研究将“统计活动过程”（参见图1）作为人教版教材“统计与概率”内容的分析框架构建依据［4］. 从统计活动的5个环节（问题与目的、数据收集、数据整理和表示、数据分析和解释、判断和决策），以及蘊含其中的分类思想、随机思想、背景知识和数据类型出发，细化分析各维度类目，构建了如表1所示的人教版教材“统计与概率”内容的分析框架. 由于初中“统计与概率”中的“概率”内容有相对独立的教学单元，因此将“随机思想”这一类目进一步扩充，又形成了如表2所示的人教版教材“概率”内容的分析框架.

基于统计活动过程的教材分析框架以统计活动环节为主线.

在“问题与目的”环节中，对“统计问题”的界定分为两方面：一是它必须有“问题”，这个问题是需要实际去解决的“problem”，而不是仅仅需要一个答案的“question”；二是这个问题是“统计的”，即需要通过数据收集、整理和分析，才能得以解决. 从解决问题的角度来看，统计调查的启动可以出于三类目的，“想知道”“想决定”“想要做”，分别对应着认知目的、决策目的和行动目的，根据其在整个问题情境中提出的位置，分为前置和后置两种情况. 由于行动目的往往在问题提出时就伴随其中，所以并未区分.

“数据收集”环节首先考虑数据来源，主要是教材提供和自己收集两大类，随后在考察对象和收集方法的统计上分开记录，除了明确的对象和方法类目外，对于教材未明确说明或学生可以自主选择方法的题目，也进行标记.

“数据整理和表示”环节关注表示类型（即图表类型）、表示对象（即数量）、表示水平. 其中，表示水平分为逐渐升高的三个层次：（1）工具水平，指能看懂、制作各种数据表征；（2）概念水平，指理解各种数据表征的特点；（3）联系水平，指能比较各种数据表征并选择最合适的数据表征方式.

在“数据收集”与“数据整理”这两个环节中，考虑（蕴含其中的）分类思想的分类层次和分类类型. 按照分类要求从低到高划分为三个层次：（1）直接给出分类类目；（2）给出分类标准，需要自行确定分类类目；（3）自由分类，需要自行确定分类标准和类目. 分类类型按照分类标准是质化或量化的，分为属性分类和数量分类.

“数据分析和解释”环节包括统计特征分析和统计推断分析，其中，统计推断分析除了推断整体和推测趋势外，还有思考缘由，即为什么这样推断，以及得到该推断结果的原因是什么.

“判断和决策”环节与统计问题的目的相呼应，是对解决问题的回应.

最后，随机思想、背景知识、数据是在整个统计活动过程中呈现的. 从意识到不确定性，到认识样本空间，再到判断可能性的大小，对随机性的认识不断深化. 背景知识分为学科背景和社会生活领域两部分，它指的不仅是统计问题所处的某种情境，有时这种背景知识与问题解决有直接关系. 数据类型分为计数数据和测量数据两大类，测量数据又包含称名数据、顺序数据、等距数据和比率数据四类.

在“概率”内容的分析框架中，主要考虑随机事件及其概率计算，包括基本事件数目、是否等可能，以及概率模型和技术方法. 其中，“—”号表示“转化”，即基本事件数目从无限个转化为有限个，为了应用概率模型而将原本非等可能基本事件转化为等可能基本事件空间，以及将几何概型转化为古典概型.

研究结果与分析

1. 人教版教材内容的基本情况

人教版教材“统计与概率”内容分散在初中的三个不同年级，共有两个“统计”单元（用表1所示的框架对其进行分析）和一个“概率”单元（用表2所示的框架对其进行分析）. 具体的单元内容和题量分布参见表3.

2. 统计活动过程各环节编排的分析

根据基于统计活动过程的分析框架就教材内容对统计活动过程各环节的编排情况进行分析，具体结果如下详述.

（1）问题与目的（见表4）.

用统计活动过程框架分析的99道题目中，“有/无统计问题”的情况几乎是平分的. “无统计问题”一般涉及数据，却无解决问题的目的，表现为作图、计算、分析数据等单一练习. 属于统计问题的52道题目中，认知目的占六成多，决策目的都是在给定的情境中替他人决策. 令人欣慰的是，目的前置的情况居多，因为问题的提出应是由某个目的驱使的，那些在收集甚至分析完数据后再给出认知或决策任务的题目恰恰倒置了问题意识. 两个带有行动目的的问题中，一个以“家庭人均月生活用水量”为主题的课题学习开放性较强，学生甚至可以围绕主题自己细化统计问题，且具有实际意义；另一个关于学校购买运动鞋的调查问题则需要一定的外部支持.

（2）数据收集及其分类思想（见表5）.

在83道涉及数据的题目中，83.13%的数据是教材直接提供的，表明人教版教材不太关注学生亲历数据收集过程，而且超过半数的数据都无法辨别其考察对象或收集方法. 从标记到明确类目数量来看，普查和抽样这两种方法比较平均，收集方法以调查为主. 值得注意的是，教材出现了一些关于调查问卷的答案设置、抽样的代表性等方面的题目，说明教材安排数据收集方面的内容时并非只是触及调查方式的表面，对实际调查中可能需要注意的问题也有所分析.

数据收集时的分类思想体现在数据的筛选上，所以只要涉及数据收集，就定会有分类过程，这里对分类思想的统计，考虑的是那些仅含有分类思想，但并不需要进一步分类整理的题目. 分析结果表明此阶段均为属性分类，比如各省市的绿地面积、两名运动员的成绩，这些数据在收集时本身便带有类别. 同时，由于学生在数据收集上的参与度较低，所以此阶段的分类工作几乎都是教材直接完成的.

（3）数据整理和表示及其分类思想（见表6）.

人教版教材中的统计表出现的次数相较于统计图略多，这种差异在八年级“数据的分析”单元中更加明显. 图表之间的联系不强，且同时呈现多个统计图的情况极少. 图表的用途除了表征数据外，与后续的数据分析也相关，教材还要求学生应用频数分布表或频数分布直方图来求加权平均数. 较为特殊的统计图是在七年级课后习题中出现的堆积条形图，根据两省份农村和城镇在校中学生人数，画出普通的复式条形图与堆积条形图进行对比，体现两者分别在各类目比较和总数比较上的优势. 至于表示对象，教材并未专门讲解，11个包含多个对象的题目基本上都是以统计表呈现出来的，几乎没有什么复式统计图. 表示水平以工具水平，即图表的填读为主，没有单纯关注图表特点的概念水平的题目，都是直接要求比较不同图表后选择最合适的表示类型，除了不同种类图表之间的比较外，还有同一表征类型内不同形式之间的比较，比如频数分布表和直方图在分组方式上的选择.

此环节的分类工作有40%左右要求学生自己完成，绝大部分与频数分布直方图有关，根据是否给定组距，分别归入“给出标准”“自由分类”两个层次. 此外，学生自由分类时的分类类型没有可选择的空间，这说明题目中的分析对象的指向明确，开放度较低.

（4）数据分析和解释（见表7）.

在统计特征分析中，分析“整体”是该环节的特点，即使在数据的集中趋势和波动程度的正式教学前的七年级也有体现：一是从折线图、散点图等反映整体数据状况或发展趋势的统计图中获取信息；二是有简单渗透样本统计量估计总体的思想. 进入八年级的统计量学习时，统计特征与统计推断分析的教学是并行的，用样本的平均数、中位数、众数等估计总体的问题在例题中有详细讲解. 就统计推断分析的类别而言，“样本思想”非常突出，体现为大量推断整体的题目，至于统计数据在“预测”方面的作用，在教材中没有很好地体现出来. 此外，对于统计量意义的理解，多要求学生直接计算后给出解释，而不是在问题情境中纳入其他因素让学生判断，比如为什么不同的人对同一组数据的看法会有差异. 这种处理将关注点聚焦在知识点本身上，可能忽视了数据分析中除数字本身外的因素的影响，弱化了统计问题中“背景”的重要性.

（5）判断和决策（见表8）.

判断和决策意味着问题的解决和目标的达成，一般来说，所有的统计问题都需要在最后做出判断，而带有决策目的和行動目的的还需要有进一步的决策. 正常来说，对该环节分析得到的数据应与“问题与目的”相对应，但发现有6个统计问题没有相应的判断和决策，实际上，这6个问题仅涉及统计活动过程的第一个环节，关注的是调查的设计层面，譬如样本和调查方式的选择，没有进一步展开.

（6）贯穿全局（见表9）.

美国统计协会（ASA）将统计学定义为“是从数据中学习、度量、控制和交流不确定性的科学”［5］，而统计学真正要解决的问题不仅是纯粹的统计问题，（真正）做出决策的学科恰恰是植物学、地理学等（其他学科）［6］. 因此，随机思想、背景知识和数据，（应）贯穿整个统计活动. 57道题目（57.58%）含有随机思想，这意味着它们至少包含了因收集到的数据的参差不齐而产生的不确定；在此基础上，随着抽样方法的学习，其中有半数题目明确了总体、样本和个体，反映出样本空间的思想；仅有一个通过抽样并标记的方法来估算瓶子中豆子数量的题目暗含“可能性大小”，即借助概率做估计. “可能性大小”的出现频次低可能说明统计与概率的联系不强，这或许与教材在“统计与概率”内容上的整体布局有关，因为“概率”单元位于两个“统计”单元之后，所以在“统计”部分，“可能性”出现得不多.

八成题目有其背景知识，且与社会生活的联系更大. 学科背景主要与统计本身有关，比如圆心角大小与数据占比的关系等，几乎不涉及其他专业学科领域. 社会生活方面的问题覆盖面很广，除了与学校生活有关的考试成绩、运动会等场景外，还包括交通、气候、环境等与学生日常生活息息相关的方面，甚至销售、生产等简单的商业问题亦在其中. 丰富的背景可以让学生体会到统计的广泛用途，还能引发学生思考，譬如通过分析水资源分布数据来判断是否会发生用水危机.

从数据类型来看，计数数据、等距数据和比率数据居多，是题目中需要直接处理的对象，这或许体现了该环节对统计量计算的学习要求.称名数据一般用于分类，进而产生不同类目之间的比较，而顺序数据相对较少.

3. 统计活动过程的教材呈现度和学生参与度的情况

本节在上一节的分析基础上，从教材呈现情况和学生参与情况两方面进一步考虑99个题目中每一个统计活动的完整程度（如图2所示）.

从教材中统计活动过程的呈现度来看，不到三分之一的题目有完整环节，结合雷达图，可以看见缺席的环节通常是“问题与目的”及其对应的“判断和决策”，以及“数据收集”（数据收集阶段依据问题中是否明确考察对象或收集方法进行判别）. 一方面，初中阶段的统计学习主要是数据的收集、整理与描述，以及分析，这可以从课程标准和教材单元的标题中看出来. 另外，“数据收集”的内容所占篇幅较小. 另一方面，首尾两环节的弱化可能是各版本教材都有的特点，因为从学习目标及其评价来说，统计技术或许是重点.

学生参与的环节集中在一至两个，“问题与目的”和“数据收集”这两个环节的参与度非常低，这与其在课堂上比较耗费时间有关. 需要学生自己提出统计问题并展开一系列活动的题目仅有四个，而且都是给定主题的题目，降低了提问难度；“数据收集”只重视方法的掌握和辨别，不强调亲身实践. “数据整理和表示”的参与度只有教材呈现度的一半不到，这是因为图表的“读取”重于“制作”，这其实属于数据分析的范畴.

4. “概率”内容的编排分析

基于随机思想分析框架的人教版教材“概率”内容（共61道题目）的编排情况如表10所示.

人教版教材仅设置一个“概率”单元，从随机事件引入，先介绍理论概率和概率模型，再以频率估计概率收尾. “基本事件”概念在该学段不要求学生掌握，但这是概率学习中的基础概念，教材将其处理为“试验中可能出现的结果”，对其“不可再分解性”是规避的. 譬如，同时抛掷两枚质地均匀的硬币，因硬币的不可区分，实际上只有三个非等可能的基本事件“正正”“一正一反”“反反”，但是实际教学中要求学生探讨区分两枚硬币，将“正反”“反正”两种试验结果分别列出，从而体会用古典定义求概率时每种结果等可能的重要性［7］. 从基本事件的数目和对应的概率模型来看，有限事件和古典概型是重点内容，两个纯几何概型的问题是以实验和活动形式出现的. 人教版教材的概率内容看似精简，但是有两个细节值得关注，一是除了给定模型求概率外，还有逆向的即给定概率构造模型的题目；二是隐含了条件概率的问题，先转化为频数，再由频率估计概率来直观求解.

研究结论与问题探讨

基于上述分析结果，可以得出如下一些研究结论，并结合2022年版课标，对“统计与概率”部分的教材编写与实施展开探讨.

1. 研究结论

（1）统计活动过程各环节的内容编排较好地贴合了2011年版课标的要求，知识目标明确但有些局限. 就统计活动过程的每一个环节而言，对于2011年版课标提出的课程内容都能完整且明确地编排，凸显出了“抽样”“统计图”“集中趋势和离散程度”“样本与总体的关系”这些第三学段（在2022年版课标中为第四学段）的学习重点. 但是，这种处理从实际的例题、习题上反映出的内容深度可能还不够，且存在局限性.

譬如，对直方图分组及其与数据分析的联系的讲授较多，但是不怎么提及学过的折线图和条形图等，在同版本的小学教材中对条形图坐标刻度的作图规范没有在初中进一步延伸到对数据的质疑意识，即探讨数据表征可能带来视觉误导. 此外，过于聚焦样本到总体的推断，忽视了统计数据的预测作用.

（2）统计活动过程的教材呈现度和学生参与度一般，轻视数据收集和表示. 就教材呈现而言，涵盖三个环节及以上的题目过半，还算可观，毕竟初中阶段的统计内容是从数据收集、表示进入分析的，所以无法要求前期问题体现出完整的统计过程. 但学生的参与度一般，可以看出教材有明显的环节偏向.

正如上文所述，人教版教材对课程标准要求的内容都有明确的编排，这导致初中阶段的统计内容的特点尤其突出，即偏重数据分析——即使数据表征常常为数据分析服务，也没有关注表征本身.

（3）统计与概率分开编排，以“用频率估计概率”简单融合收尾. 在概率教学中，人教版教材先对概率进行理论分析，然后介绍两种概率模型，所以从这一点来说，概率与统计相脱离，只是在“随机性”这一点上相通.

将“频率估计概率”的内容放在整个概率学习的最后，既希望学生学完古典概型定义后能从随机试验的角度来看待频数以及其随机性和规律性，又希望学生能跳脱等可能的限制，让学生知道此种方法使得可求概率的随机事件的范围有所扩大. 此外，在依概率构造模型的这类问题上，体现出了教材对内容设置的灵活性.

（4）对教学实践可能产生的影响. 就教师教学而言，一是影响教师对统计与概率内容的理解. 首先是对内容本身的理解. 教材（包括教师用书）可能对某些概念的处理没有达到专业的统计学水平，导致教师的理解不足. 譬如简单随机抽样，当不放回抽样的样本量和总体之比小于0.1时才能近似于放回抽樣. 其次是对统计与概率的关系的理解. 人教版教材呈现理论概率后回到频率和概率的关系上，只是浅在地感受两者的关系，可能造成教师对该部分内容的忽视.

二是影响教师对教学重点、难点的把握. 人教版教材内容精简，在单个知识点的编排上突出重点，这容易让教师抓住教学要点，但是可能让教师失去整体视角，即统计活动过程以及统计与概率的关系的视角.

三是影响教师的教学设计思路. 基于上述两个方面，教师对某些统计概念的理解可能不够深刻，因此在教学中无法讲透，虽然对短期的教与学的评价无碍，但可能对学生的后续学习产生负面影响. 同时，教师设计思路的焦点化或许会让统计学习分块呈现，缺乏整体性和连贯性.

2. 问题探讨

“统计与概率”内容的编写与实施，首先要兼顾完整的统计活动过程各环节. 在5个环节中，看似与问题解决直接相关的数据分析环节确实受到了重视，但是数据收集和可视化表征的重要性不可弱化. 根据新一轮课改对初中“数据观念”内涵的界定，学生要感知大数据时代数据分析的重要性，并养成重证据、讲道理的科学态度［8］. 前者要求教师应置于时代背景中，认识大数据所具有的大量（Volume）、高速（Velocity）、多样（Variety）、低价值密度（Value）和真实（Veracity）“5V”特点. 后者则不仅要体现统计论证时的有理有据，还包括统计调查过程各阶段对数据可靠性、表征客观性等的正确态度. 人教版教材关注样本在整个统计调查中的基础地位，但是过于向学生提供给定的数据，会让他们缺乏筛选数据的能力，而能否对大量数据进行辨别和选用也是学生后续良好分析的重要前提. 至于数据表征，某些形式会扰乱思维，而另一些则能培养洞察力［9］，教材可以在可能扰乱思维的表征形式上进一步探讨，让学生加强对混乱的或有失公正的统计图的辨别力.

其次，要加强统计与概率之间的联系. 概率的古典定义和频率定义是初中阶段的学习重点，而频率定义又与统计试验直接相关. 然而研究发现，对于可计算的概率题目，学生还是倾向于计算而非试验后估计，甚至认为重复试验无益［10］. 人教版教材并未从频率定义引入概率，而是在最后将其作为理论概率的检验方式以及概率计算方法的延伸，此种安排能否避免学生偏好计算的先入为主，还值得商榷.

最后，要把握统计学习的核心，即统计推断，而这也是实现统计活动过程各环节环环相扣的关键. 统计推断提供了一种学习统计的全面方法，可以为统计概念学习的排序和构建提供依据，从而提高教与学的连贯性，更早提供获取统计能力的途径［11］. 在这一点上，人教版教材能重点讲解样本与总体的关系，意识到了推断思想的重要性，但是在推断的类型上可以进一步拓展，而且可以融合更多学科知识，体现统计在专业领域中的作用. 除了顺向分析和推断外，还应加强审视推断的结果，培养学生对给定分析做出评判的能力，这可能是在日常生活中更应具备的一种能力.

总之，人教版教材在整体篇幅不多且题目精简的情况下能较好地满足2011年版课标的要求，避免了重复的机械式练习，不过在统计活动过程各环节的结合、统计与概率的衔接，以及统计素养的培养上仍有较大的改进空间，教师也需要结合2022年版课标的变化，更好地把握教材的实际教学呈现方式.

参考文献：

［1］Moore，D. S.，McCabe，G. P.. Introduction to the practice of statistics［M］. New York： W. H. Freeman，1989.

［2］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］［8］中華人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［4］徐文彬. 小学数学教师培养学生数学思维的教学准备［J］. 江苏教育，2020（89）：7-11.

［5］Ben-Zvi，D.，Makar，K.，Garfield，J. （Eds.）. International Handbook of Research in Statistics Education［M］. Switzerland： Springer International Publishing AG，2018.

［6］Rao，C. R.. Teaching of statistics at the secondary level： An interdisciplinary  approach［J］. International   Journal of Mathematical Education in Science and Technology，1975（06）： 151-162.

［7］人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书教师教学用书（数学九年级上册）［M］. 北京：人民教育出版社，2014.

［9］Gigerenzer，G.，Edwards，A..Simple tools for understanding risks： From innumeracy to insight［J］. BMJ：British Medical Journal，2003，327（7417）： 741-744.

［10］李俊. 中小学概率统计教学研究［M］. 上海：华东师范大学出版社，2018.

［11］Bakker，A.，Derry，J.. Lessons from inferentialism for statistics education［J］. Mathematical Thinking and Learning，2011，13（1-2）： 5-26.