一类具有时滞的Sel’kov模型的Hopf分歧分析

马亚妮,袁海龙,2,王雅迪

(1.陕西科技大学 数学与数据科学学院,陕西 西安 710021;2.西安交通大学 数学与统计学院,陕西 西安 710049)

0 引 言

Sel’kov模型是一个典型的反应扩散系统[1],它最初是作为糖酵解模型提出,如下所示:

式中:Ω是RN(N>1)中具有光滑边界∂Ω的有界开区域,n是∂Ω上的单位外法向量,u(x,t)和v(x,t)代表时间t>0和空间位置x∈Ω时的2种反应物的浓度或2种物质的密度;参数θ是物种的扩散系数,且θ、p和λ都是正常数。该反应扩散模型(1)已被用于描述各种形式的地貌形态[2]、种群动力学[3]和自催化氧化反应[4]的研究。更多模型的背景见文献[5-8]。

近几十年来,模型(1)的动力学行为已经被许多生物数学家所研究。特别地,WANG通过固定p和λ(或p和θ),以θ(或λ)为分歧参数,研究了系统(1)的非常数正稳态,证明了其平衡态方程非常数正解的存在性和不存在性的条件[8]。此后,PENG讨论了当θ取很大值时,若01,则会出现非常数的正稳态,表明参数p在两反应物的空间非均匀分布中起着关键作用[9]。同时,PENG等也讨论了在Dirichlet边界条件下,利用不动点指数理论,给出了非负稳态解的存在性结果[10]。进一步,HAN等以参数p为分歧参数,证明在合适的条件下,该系统存在Hopf分歧解,同时建立了该周期解的稳定性和分歧方向[11],详见文献[12-14]。

由于种群的成长期,当前时刻的种群增长率总是与某个时刻之前的种群数量有关。这种由成长期而导致的时滞现象在种群中普遍存在。因此,近年来,在种群生态学和生物学模型中提出了具有时滞的反应扩散系统。李冬梅等研究了一类含分布时滞和Michaelis-Menten型的扩散模型,利用微分方程比较定理和Lyapunov函数方法,得到了一致持久和全局渐近稳定的充分条件[15]。王长有等利用上、下解方法及不动点理论,研究了一类反应项非单调的时滞反应扩散方程组,获得了边值问题周期解存在性的充分条件[16]。刘高杨等基于KADDAR和ALAOUT的模型,建立了一个带有时滞的肿瘤免疫扩散模型,通过分析免疫细胞识别肿瘤细胞时间的阈值,可判断肿瘤的最佳治疗时间,减少患者因肿瘤导致的死亡率[17]。李振振等研究一类具有 Dirichlet边界条件的时滞合作-扩散-平流系统,证明了时滞的增加会使正稳态解失稳,并且当时滞值穿过临界分支点时系统会存在Hopf分歧[18]。基于以上模型的分析,将时滞引入到该系统中。本文将研究时滞对u的影响,则系统(1)可写为

式中:τ>0代表延迟效应。

1 平衡点的稳定性与分歧的存在性

在有界开区域Ω=(0,lπ),l∈R+上考虑系统,

式中:u=u(x,t);uτ=u(x,t-τ);v=v(x,t)。定义X=C([0,lπ],R2),在抽象空间C([0,lπ],X)中,系统(4)可以写成以下抽象的泛函微分方程

(5)

这里,dΔ=(d1Δ,d2Δ)

dom (dΔ)={(u,v)T:u,v∈C2([0,lπ],R),

ux,vx=0,x=0,lπ}

且L:C([-τ,0],X)→X,F:C([-τ,0],X)→X。

根据系统(4)有

L(φ)=[-λφ1(0)-λpφ2(0)

λφ1(-τ)+λ(p-1)φ2(0)]

F(φ)=F1(φ)F2(φ)

式中:φ=(φ1,φ2)T∈C([-τ,0],X);

F1(φ)=λ-λ[φ1(0)+1][φ2(0)+1]p+

λφ1(0)+λpφ2(0);

F2(φ)=λ[(φ1(-τ)+1)(φ2(0)+1)p]-

λ-λφ1(-τ)-λpφ2(0)。

因此系统(4)在平衡点(1,1)处的线性化可写为

(6)

其对应的特征方程为

λy-dΔy-L[exp(λ)y]=0,

y∈dom(dΔ),y≠0

(7)

根据特征值问题

-ψ″=μψ,x∈(0,lπ),ψ′(0)=ψ″(lπ)=0

根据特征方程(7)知

λ2+Anλ+Bn+Cexp(-λτ)=0,n=0,1,2,…

(8)

C=λ2p。

若±iσ(σ>0)是式(8)的一对纯虚根,则

由上述计算化简可得

式中:

对于0≤n≤N0(p),式(10)有一个正根σn满足

那么当

证明 将λn(τ)代入式(8)并对τ求导有

因此,根据以上引理1～3,可以得到如下结论。

2 Hopf分歧的稳定性和方向

(18)

其中,对于φ∈C([-1,0],X)有

G(φ,μ)=μdΔφ(0)+μL0(φ)+

(μ+τ0)F0(φ)F0(φ)=

由第二部分可知,±iσ0τ0是线性系统的一对纯虚特征值。因此有

(19)

其线性泛函微分方程为

(20)

应用Riesz表示定理可知,存在一个有界变差2×2的矩阵函数η(θ,μ)(-1≤θ≤0),使得

事实上,

η(θ,μ)=(τ0+μ)Eδ(θ)-(τ0+μ)Fδ(θ+1)

其中,

∀φ(θ)∈C1([-1,0],R2),定义A(0)为

以及∀ψ=(ψ1,ψ2)∈C1([-1,0],(R2)*),定义

定义双线性函数

其中,A(0)和A*是正规伴随算子。

易证±iσ0τ0是A(0)和A*的特征值

q(θ)=(q1,q2)Texp(iσ0τ0θ)(θ∈[-1,0])

和

分别是A(0)和A*对应于特征值iσ0τ0和-iσ0τ0的特征向量,其中

iσ0τ0exp(-iσ0τ0)

这里,u=(u1,u2),v=(v1,v2)∈X=C([0,lπ],R2)。并且对φ∈C([-1,0],X),有

线性方程(19)在μ=0时的中心子空间是PCNC,且

PCNφ=Φ(Ψ,〈φ,f0〉)0·f0,φ∈C,

对C进行空间分解,C=PCNC⊕PSC,其中,PSC表示稳定子空间。

由文献[25]可知,线性系统(19)无穷小生成元AU满足

由于只考虑在μ=0附近的分歧周期解的稳定性和方向,因此令系统(18)中的μ=0,可得中心流形

则系统(18)的解可以表示为

式中:

从而

记

定义

f(u,v)=λ(u+1)(v+1)p。

根据泰勒展开式,得

其中,O(4)=O(‖(u,v)‖4),又根据

G(φ,0)=τ0(G1,G2)T。

那么

从而由式(25)、(27)和(28)可以得到:

如上表达式可以看出,为了计算g21,需要计算W20(θ)和W11(θ)。

根据

可得

当-1≤θ<0时,

于是结合式(25)和(31),当-1≤θ<0时,有

那么联立式(30)的第一个方程和式(32)可得

E1exp(2iσ0τ0θ)

同理再联立式(30)的第二个方程和式(33)可得

令式(30)中θ=0,再利用AU的定义和

分别得到

E1=E11E12和E2=E21E22

其中,

综上,g21可由计算得到。基于以上分析可以看出,每个gij可以通过参数来确定,于是

定理2 根据系统(3)有如下结论。

(ⅱ)β2决定分歧周期解的稳定性:若β2<0,(β2>0),则分歧周期解是渐近稳定的(不稳定的)。

(ⅲ) T2决定分歧周期解的周期变化:若T2>0,(T2<0),则周期增大(减小)。

3 数值模拟

选取时滞τ作为分歧参数,其中τ=0.11,初值u(x,t)=1+0.1tcos x,v(x,t)=1-0.011cos x,t∈[-0.11,0],x∈[0,3π]。得到模型(3)平衡点(1,1)的稳定性,数值模拟结果见图1。

(a) u(x,t)数值模拟

由图1知,当τ∈(0,0.339 3)时,系统(3)的解趋向于平衡点(1,1),此时正平衡点(1,1)是稳定的。

选取时滞τ作为分歧参数,其中τ=0.41,初值u(x,t)=1+0.1cos(4x),v(x,t)=1-0.011cos(x2),t∈[-0.41,0],x∈[0,3π]。那么周期解存在,数值模拟结果见图2。

(a) u(x,t)数值模拟

由图2知,当τ在0.339 3的一个很小的右邻域内时,系统(3)在正常数平衡点(1,1)处产生分歧周期解。