非比寻常的骰子

扬州市职业大学 林 革

大家都见过骰子，就是在一个小正方体的六个面上分别刻上1、2、3、4、5、6 个点。掷骰子游戏就是用一颗或两颗骰子随意抛掷，比较谁掷得的点数大。这种由运气决定的游戏源于古代中国，后来传到了西方，常常被用来决定先后顺序或奖励归属。

值得一提的是，西方热衷于此道者久而久之竟然玩出了数学名堂。他们开始琢磨两颗骰子掷得的和数的规律，这样竟然发现了传统骰子的不足和缺陷。首先，两颗骰子所能表达的数目非常有限，仅仅是2～12 这几种（请试着写出全部情形），所以不能满足较多人同时游戏的需要；其次，2～12 中每个数字出现的机会不均衡。如两颗骰子掷出7 的情形有：1+6=7，2+5=7，3+4=7，4+3=7，5+2=7，6+1=7 这六种；而掷出12 的情况只能是6+6=12 这一种。直观解释就是，用两颗骰子掷出7 的几率大约是掷出12 的六倍。就此而言，用骰子决定自己的点数，虽然随机但却不公正。

鉴于此，西方人开始琢磨如何改进传统的骰子，使其更加合理公平。后来还真有了结果，那就是由英国业余天文学家阿里斯发明的“伤心骰子”。“伤心骰子”也是两颗，但它所能表达的和数却远远超过了老式骰子。最有趣也是最关键的是，对于所有可能出现的和数结果，“伤心骰子”掷得的机会完全相等，真正做到了“一碗水端平”。

“伤心骰子”的设计是：在第一颗骰子的六个面上，分别刻有1、2、7、8、13、14 个点；而在另一颗骰子的六个面上，则分别刻着1、3、5、19、21、23 个点。你也许暂时不能看出如此设计的意图，那不妨列举出两颗骰子可能掷出的点数：1+1=2，2+1=3，1+3=4，…，14+1=15，13+3=16，14+3=17，13+5=18，14+5=19，1+19=20，…，13+23＝36，14+23＝37。瞧，从2 到37 一个不多一个不少，而且是传统骰子得到数目的三倍多。可以想象，“伤心骰子”因其较多的变化玩起来会更有趣。

也许有人会问：为什么要叫“伤心骰子”呢？原来，当时阿里斯的女朋友背叛了他，由于此人的姓名与“正方形”有关，所以阿里斯竟迁怒于一切除1 之外的完全平方数，如4、9、16、25……在设计“伤心骰子”时，他决定骰子的各面上绝不出现这些“正方形数”，至于两颗骰子点数之和则不受此约束。显然，有了这样的前提，“伤心骰子”的构造就更加困难，所幸化悲痛为力量的阿里斯最终如愿以偿，“伤心骰子”由此得名面世。

而另一种“神算骰子”就更为另类。之所以说它特别，一是它由五颗特殊的骰子组成；二是每颗骰子上面刻的是一些三位数：（1）483、285、780、186、384、681；（2）642、147、840、741、543、345；（3）558、855、657、459、954、756；（4）168、663、960、366、564、267；（5）971、377、179、872、773、278。游戏很简单，就是把这五颗骰子随便一掷，表演者顷刻之间就能报出面朝上的五个数之和。

计算的神速让人惊讶之余产生好奇，不过其中的窍门极为直观：（1）首先将五颗骰子面朝上的数的末位数字相加得K；（2）用50 减去K，得到差（50-K）；（3）将所得之差（50-K）置于数K 之前（如果K 是个位数就在它前面添一个0），得到的四位数就是所求结果。

比如：掷得骰子朝上的数分别是483、147、855、663、278，它们的末位数字相加为3+7+5+3+8=26，再 由50-26=24，则 所 求五数之和为2426。再如：掷得骰子朝上的数分别是780、840、954、960、773，它们的末位数字相加为0+0+4+0+3=7，再由50-7=43，则所求五数之和为4307。有兴趣的同学不妨计算验证结果的正确性。

也许有人追问：如此计算组合，结果虽然无误，可道理是什么呢？下面我们就揭开“神算骰子”的面纱。

我们可以将第i（i=1，2，3，4，5）颗骰子上的六个数中的任一个写为十进制形式：100ai+10bi+ci，而稍加观察就可以发现：（1）每颗骰子上六个三位数的十位数相同，分别是8、4、5、6、7；（2）每颗骰子上六个三位数的首尾两数之和相同，分别是7、8、13、9、10。用字母表示就是：

了解了这些，你很快就可以推出五颗骰子上各任取一个三位数的和不过就是：

最后的算式正是“神算”的玄机：只要口算出各个骰子面朝上的数的末位数字之和K，然后用50 减去K，把差扩大100 倍再加上K，这等同于把差（50-K）放在K 或0K（K 为个位数）之前。

现在你明白了吧？所谓的“神算骰子”不过是利用恒等变形进行的易于操作的数学游戏而已！