归纳学习在高三数学复习中的运用

芜湖市第十二中学 张力胜

1 关于有效学习的思考

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》指出:“高中学生数学学业质量水平划分为三个水平,其中水平一是高中毕业应当达到的要求,也是高中毕业的数学学业水平考试的命题依据;水平二是高考的要求,也是数学高考的命题依据.”[1]如何在日常课堂教学中帮助高中学生快速达到水平二的要求,对于高中数学教学而言就是如何帮助学生有效学习.数学学业质量是学生数学核心素养的综合体现.课标中对于六个数学核心素养,每一个核心素养的要求也划分为三个水平,是通过“情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思”四个方面进行表述的[2],笔者结合自身教学经历认为教学效率的提高也得从这四个方面入手.

对于泛化的学习目标,通常有两种学习方式,即指令学习与归纳学习.指令学习,即为传统教学常用的给予学生概念、规律共性的语言描述,相当于一份说明书,对照相应的情形对应解决相应的问题.高中数学立体几何的证明即为这种方式,根据具体的问题,选择相应的定理、公理进行证明.归纳学习则是通过研究案例,总结共性,大脑在无意识的情形下进行总结归纳.高中数学教学中的例题讲解即为归纳学习方式,这种方式容易受特例影响,学生总结出的规律往往不具备普适性,也容易形成思维定式.最佳的学习模式应该是两种学习方式的结合.高中数学的公式、概念和定义,以指令学习的方式,构建一个大的知识体系框架,相当于建筑的承重墙与梁柱.多个数学情境的案例、例题,以归纳学习的方式进行,填充内容相当于建筑物的各种细节.结合教学来看,知识与技能是大方向与框架,即形成相应数学核心素养的技能,这些需要通过指令学习将公式、概念、定义传递给学生.而这些知识与技能的获得又需要在一些实际生活的情境与问题中,抽象归纳出数学模型,提炼出概念与规则.新知识的产生是建立在已有知识体系基础上的,数学问题的条件与结论之间的逻辑关系,不同情形下数学符号语言的表述,又要通过归纳推理、类比推理和演绎推理来进行转化、运算与证明,这个过程即是思维与表达的过程.交流与反思则是指学生能将抽象的数学概念、结论,通过规范的数学语言进行直观的解释和与他人交流,并能对数学知识进行归纳总结、研究及拓展提升[3].所以这四个方面是有机统一的,也是四个过程,指令学习与归纳学习始终融合并贯穿整个过程.指令学习,学生可以通过阅读教材、教辅资料及教师课堂传授,因而归纳学习就显得尤为重要.笔者认为,在高中掌握好归纳学习是高中生数学有效学习的关键,也是很多学生由初中进入高中后数学成绩发生巨大转变的原因之一.

2 高中数学核心素养与学生数学能力的培养

北京师范大学曹一鸣教授指出:“数学核心素养表现在小学阶段主要是具有一定的“意识”,初中阶段是形成一定的“观念”,高中阶段则要求具备一定的“关键能力”,这体现了核心素养的发展性和阶段性.”[4]在高中阶段,数学的关键能力包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析.因而在教学活动中,如何布置合适的学习任务、创设合适的学习情境、组织高效且具有数学探究性的学习活动等,把学生数学学科核心素养的能力养成渗透到日常教学中成为高中数学教学的重心[1].

笔者根据普通高中数学课程标准对高中数学必修课程与选择性必修课程的核心素养要求进行了分类统计,具体见表1.

表1 高中数学必修课程与选择性必修课程的核心素养要求统计

由统计结果可见,每个单元的知识点对学生数学核心素养的提升不是单一的,是多维一体的,绝大多数知识点都对学生的逻辑推理及数学运算能力有要求.必修课程的预备知识主题中,集合、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式章节还对学生的数学抽象能力提升做了要求;函数主题中函数概念与性质、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及函数应用章节还对学生的数学抽象、数学建模、直观想象能力提升做了要求[5];几何与代数主题中的平面向量及其应用、复数、立体几何初步章节还对学生的数学抽象、直观想象能力提升做了要求;概率与统计主题重点对学生的数据分析、数学建模能力提升做了额外要求.

在高中数学教学中,教师要依据课标,立足教材,根据章节的侧重点对学生的数学核心素养能力培养有所侧重.两大核心能力,即逻辑推理及数学运算,要在课堂例题的讲授及作业训练中让学生不断灵活加以运用.其他四种核心素养能力,在情境与问题的表述、知识与技能的引入中,要多通过问题引导学生思考、归纳,并在课后的练习与作业和章节测验中重点训练与考查,从而让学生有目的地训练与运用.其中,必修课程中集合与函数章节,对学生的数学抽象能力要求相比初中数学的“观念”有较大差异,教师在教学时要做好衔接与过渡.

3 如何利用归纳学习提高高三复习课效率

在研究了普通高中数学课程标准中核心素养与高中学生数学学业质量水平的三个水平要求后,笔者认为高三复习课仍然要立足于培养与发展学生的数学能力,以达到学业质量水平的水平一与水平二的要求,并根据学生的学情与兴趣引导部分学生向水平三发展.高中学生数学学业质量水平一为高中学业水平考试的命题依据,即课标中要求学生在高中毕业应达到的数学能力水平.此水平的数学能力较为基础,在高二学业水平考试后,绝大多数学生能够达到这一水平的要求.因此,水平二的要求就是高三复习课中需要重点关注与突破的;同时,在高三有限的课堂教学时间中提高课堂效率,帮助学生高效复习知识点与技能,提升数学能力是核心.

在水平二的要求中提到:“能够理解归纳、类比是发现和提出数学命题的重要途径;能够将已知数学命题推广到更一般的情形;能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题;能够理解和构建相关数学知识之间的联系,提炼出解决一类问题的数学方法,理解其中的数学思想,初步建立网状的知识结构.”[1]这些要求都与归纳学习方式、归纳类比的数学思想及将知识形成网状知识体系密切相关.笔者认为,可以合理利用归纳学习,帮助学生提高高三数学复习效率.

(1)督促学生整理归纳练习及测验中的错题

归纳学习方式更多的是在大脑擅长的潜意识中进行的学习行为,因此要将素材先输入大脑.学生可以将学生易犯错的错题,因知识点遗忘而导致找不到数学条件间联系的错题,以及由于目前数学能力不足导致找不到题目突破口的错题,整理记录在错题本上,并且需要周期性复习并多次再次解答,对照正确解析反思不足,查漏补缺.通过定期复习整理归纳,提高归纳学习效率,有目的性的引导比盲目刷题更高效.这样能帮助学生节省更多的时间,也让学生的课后自主学习更具目的性和可操作性.

(2)课堂教学中引导学生归纳总结

首先,在日常数学课堂教学中,教师可以引导学生通过归纳类比知识点,联系已学知识对具有共性的新知识做猜想并证明.例如:高一函数章节中,指数函数与对数函数的图象与性质;三角函数章节中,正弦函数与余弦函数的图象与性质;平面向量与空间向量的坐标运算;椭圆与双曲线的定义、标准方程、离心率等知识点.这些都可以通过类比,由已学的知识点归纳类比得到新的知识点,既锻炼了学生的逻辑推理能力又能让他们更好地掌握知识点.

另外,还可以在每节课临近下课的五分钟内以提问的形式,引导学生对本节课的知识点、数学思想方法、解题技巧等做归纳总结.课堂归纳总结,能让学生对每节课的学习成果,作出一个简单的自我评价,也能帮助教师反思学生对本节课教学目标的掌握情况.提问环节让学生回忆整节课的主干知识,方便学生课后查漏补缺、整理笔记,也能让学生全程参与课堂环节,提高课堂专注度.

(3)巧用一题多解归纳复习,形成知识体系

高中数学很多知识点之间有密切的联系,通过这些联系,有些数学题往往可以一题多解.一题多解,不仅可以通过一道题串联多个知识点,帮助学生复习回顾,还可以帮助学生按知识点之间的逻辑联系归纳形成知识体系,以点带面进行复习.特别在与三角函数有关的习题中,三角函数式的化简与变形一直是学生害怕的问题,而这类问题又是高考数学考查的一个热点,其中有关解三角形的解答题也会用到这一方面知识.因此,在讲解这一类问题的过程中,一题多解可以帮助学生更好地理解三角函数诱导公式,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,二倍角公式,等等.类似地,在解三角形题型中,计算三角形的内角除了正弦定理、余弦定理,还可以用向量的方法,借助向量数量积的定义,通过计算三角形两边的方向向量的夹角得到所求三角形内角.