二项式定理应用问题综析

吉林师范大学数学与计算机学院 张语航

二项式定理:

1 二项式定理在展开式中的应用

1.1 求展开式中的特定项

求展开式中的特定项时,通常直接运用通项公式.具体步骤为:先根据题中已知条件确定指数并找到等量关系,列出方程;然后对方程求解,求出r的值;最后将r的值代入通项公式中,进一步求出特定项.

解：二项式展开式的通项为

故展开式的第3项为240x2,常数项为160.

1.2 求展开式中特定项的系数

例2求(x2+1)(x-2)7的展开式中x3的系数.

解：在展开式中,x3的来源有两个.

所以,x3的系数是448+560=1 008.

1.3 求展开式中各项系数的和或差

求二项式展开式各项系数的和或差时,通常采用赋值法[2],即根据具体情况对二项式中的a,b元素赋予确定的值,尤其是特殊的值,如-1,0,1等.

例3若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+……+a7x7,求(1)a1+a2+……+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6.

解：(1)赋值法.

令x=1,代入二项展开式,得

(1-2)7=a0+a1+a2+……+a7=-1.

①

令x=0,代入二项展开式,得

(1-0)7=a0=1.

所以1+a1+a2+……+a7=-1.

故a1+a2+……+a7=-2.

(2)令x=-1,代入二项展开式,得

(1+2)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37=2 187.

②

由①-②,可得

(3)由①+②,可得

1.4 求展开式中系数的最值

解：设展开式中第r+1项的系数最大,则

2 解决整除性问题

在使用二项式定理解决整除问题时,关键是要在二项式的构造上有所创新.通常将相关式(数)的底数写成除数与某个数字的和或差的形式,再根据二项式定理展开解决问题即可.

例5证明:34n+2+52n+1能被14整除.

证明：对原式变形,得

上式为14的倍数,能被14整除,所以结论得证.

3 求余数问题

用二项式定理解决余数问题要考虑到余数的范围,若a=c·r+b,用r来表示除数,则b为余数,余数一般要小于除数,即b的范围为b∈[0,r).

例6求9192除以100的余数.

由于展开式的前92项均能被100整除,因此只需求最后一项除以100的余数.

4 求近似值问题

例7求1.037精确到小数点后2位的值.

解：1.037=(1+0.03)7

=1+0.21+0.018 9+……

≈1.23.

所以1.037精确到小数点后2位的值为1.23.

5 证明组合数恒等式问题

证明：在二项式展开式中,令a=3,b=1,得

6 证明不等式问题

在应用二项式定理证明不等式有关问题时,通常与放缩法一起使用[3],放缩的实质是对其展开式进行取舍,将相等关系转化为不等关系.

例9当n∈N*且n≥2时,求证:3n>2n-1(n+2).

证明：由二项式定理,可得

故3n>2n-1(n+2).

由上可知,二项式定理在解题中有着广泛的应用.在高中数学中,二项式定理比较常见的题型就是利用二项展开式的通项公式解决特定项、展开式中各项系数的和或差等问题,除此之外,运用二项式定理来解决二项式系数或各项系数最值等问题也偶尔出现.只有多积累、多运用,才会完成从量变到质变的蜕变.