代数与几何比翼,技能和素养齐飞
——一道解三角形题的破解

江苏省丹阳高级中学 陈曦远

解三角形作为高中数学中一个重要基础知识点,也是高考数学解答题重点考查的题型之一,形式各样,变化多端,难度中等.此类解三角形问题,可以有效联系初中平面几何与高中三角函数等相关知识,结合创新场景的创设,构建一个合适的桥梁,形成数学基础知识的延续、深入与拓展,是集数学基础知识、数学思想方法、数学能力技巧、数学核心素养等多方面的一类题型.

1 问题呈现

(2)若b=4,求△ABC面积的最大值.

2 问题分析

2.1 标准答案

命题者提供的标准答案如下:

(2)方法1：二次函数法.

采用SPSS 19.0软件对数据进行统计学分析，计量资料以±s表示，组间比较采用t检验，组内比较采用单因素方差分析；计数资料以率（%）表示，采用χ2检验或秩和检验，以P ＜ 0.05为差异有统计学意义。

2.2 问题剖析

根据三角形问题背景创设,以两边长的线性关系为条件,第(1)问中结合两个边与角的关系式的确定,进而求解相关内角,考查了正弦定理、同角三角函数基本关系式以及三角形的基本性质等;第(2)问结合三角形另一边长的确定,进而求解三角形面积的最大值,考查了三角形的面积公式、余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形的基本性质以及二次函数的图象与性质等.

3 多解赏析

以上解三角形问题中的第(2)问,除了上述方法1中的二次函数法这一代数思维方法,还可以在代数层面利用其他的一些方法(如坐标法、三角函数法、海伦公式法等)来分析处理与数学运算;也可以在几何层面通过构建平面几何图形,借助轨迹法等来直观分析与逻辑推理等.

3.1 代数思维

方法2：坐标法.

以AC所在直线为x轴,AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy,则A(-2,0),C(2,0).

方法3：三角函数法.

解后反思：解决解三角形中的最值问题,经常可以借助三角形的内角以及正弦定理与余弦定理、面积公式等的应用,将对应的问题转化为三角函数问题,借助三角函数的公式、图象与性质等的巧妙转化,得以解决对应的最值.

方法4：海伦公式法.

解后反思：解决解三角形中与面积有关的最值问题,可以利用海伦公式来构建对应的表达式,这也是解决与面积有关的问题经常用来合理构建关系式的一种基本思维方式.在构建关系式的基础上,或利用函数性质,或利用不等式性质等来确定最值.

3.2 几何思维

方法5：轨迹法.

图1

解后反思：解决解三角形中的最值问题,经常回归到平面几何图形的本质,结合动点的变化规律或轨迹的确定,利用数形结合,直观分析与逻辑推理,进而得以确定最值问题.

4 解后总结

4.1 规律总结,思考方向

根据以上问题及其解析,解决解三角形中最值问题的常规思考方向有:

(1)用静止的眼光看图形.根据解三角形思维、坐标思维、三角函数思维、公式思维等合理构建相关几何量的解析式,根据函数或方程、三角函数、不等式等思想(或动态)来求解对应的最值问题.

(2)用动态的眼光看图形.根据三角形中的数量关系,合理构建几何图形,关注相关动点的轨迹,结合对应动点、动直线等运动的轨迹与图形,数形结合,“形”看最值的条件,进而得以确定对应的最值问题.

4.2 发散思维,创新意识

解数学题时,要有探究意识、推广意识、拓展意识和创新意识等.如探究问题的解法能否多思维、多方法,问题的特殊场景能否推广到一般形式,问题的变量能否拓展到更多个或一般形式的变量问题,问题的应用能否更加创新与综合,等等.教学中合理引导,开启一个更加多元、更加广阔的平台,进而引导学生利用数学的思维与方法来解决问题,探究现实世界.