从多个角度寻找证明不等式的思路

西华师范大学 李 倩 冯长焕

1 原题呈现

题目如果a,b,c均为正数, 则

该不等式中有三个变量,因此本题属于三变量不等式证明题.首先应该仔细观察该不等式的特点、左右两边变量的关系,然后将其进行合理的变形、转化,进而证明不等式.

2 解法探寻

在不等式求解的过程中,当不等式两边出现复杂的关系式时,要尽量向相对简单的关系式转化,这样有助于找到二者之间的关系,从而通过关系式的整合找到解题思路.因此,现探讨如下思路.

思路一:观察左右两边,左边存在b+c,a+b,a+c的组合关系式,为消去左边分母,对左边关系式进行转化.

思路二:对含有分母的项进行调整.

证明：由基本不等式,可得

思路三:利用柯西不等式证明不等式成立.

证明：由柯栖不等式,得

所以有

思路四:利用向量证明不等式.

向量作为高中数学的重要知识点,不仅可以给学生带来新的认识,还可以为解题提供新的思路.证明不等式时,经常需要通过一些技巧对不等式进行变形处理,否则会很难证明.运用向量知识可以将问题简单化,容易证明结果.柯西不等式是利用向量证明的,由此为解决该问题提供了新的思路与方法.设向量

于是,有

(a+b+c)2

我们从四种角度出发,得到了四种不同的解题思路.在解题时,从多种角度考虑问题,可以帮助学生培养创造性思维.创造性思维的核心是发散性思维.发散性思维方式是指遇到问题时,能从多角度、多层面、多结构去思考、寻找答案,既不受现有知识的限制,也不受传统方法的束缚.当然,也可以利用数学中的函数、方程、几何等知识寻找新的解题思路与方法.在面对问题时,首先弄清问题是什么,抓住关键信息、图或者表;其次是多寻找几个解题的突破口,拟定一个解题计划;再次是对问题进行解决、证明;最后是检验解题过程与方法,并反思该方法是否可以解决这一类问题.思路一和思路二相对来说是学生比较熟悉的,用得比较多的方法;思路三利用柯西-施瓦茨不等式是能最快解决问题的方法;思路四利用空间向量解决该问题是很灵活的方式,但同时也有一定的局限性.

要解决一道题目,经常会遇到各种各样的问题,其原因可能有很多,如找不到切入点、知识掌握不牢固、解决方法不恰当、审题不细致等.因此,教师在课堂教学中,要激发学生主动解题的兴趣,启发学生的发散性思维,引导学生从多角度考虑问题.每当学生想出一种解题方法,教师应该给予肯定和鼓励.通过一题多解可以有效地提高解决数学问题的效率,学生可以根据自己所熟悉的知识选择适合自己的思路来解决问题.