极点极线视角下对一道模考题的探析、变式、推广

安徽省芜湖市第一中学;新青年数学教师工作室(241000) 刘海涛

1 问题的提出

每一年高考结束,解析几何解答题一直是一线教师及广大考生津津乐道的问题之一, 原因在于该类问题的综合性强、解法灵活、难度较大,常作为压轴题或次压轴题出现. 笔者纵观近些年的高考全国卷解析几何解答题,发现有相当一部分试题是以高等几何中的极点极线为背景命制的. 去年4月20 日的广州二模解析几何解答题,表面上看是调和点列背景问题,但笔者经过深入分析,发现该题实为极点极线背景问题. 基于此,笔者从不同角度探析该道试题,并将其变式拓展到一般化情形,最后给出极点极线的背景介绍.

2 题目的呈现与分析

题目(2022 年广州二模第21 题) 已知椭圆C:的离心率为,短轴长为4.

(1)求C的方程;

(2)过点P(-3,0)作两条互相垂直的直线l1和l2,直线l1与C相交于两个不同点A,B,在线段AB上取点Q,满足,直线l2交y轴于点R,求ΔPQR面积的最小值.

分析该题第(1) 问属于常规问题,C的方程为,此处不再赘述.

第(2)问考查了直线与椭圆的位置关系、线段长度与比例、动点的轨迹、三角形面积等知识,综合性强、解法灵活、难度较大,体现了逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模等数学核心素养. 表面上看该题以调和点列为背景命题,但动点Q的轨迹实为点P关于椭圆C的极线(位于椭圆C的部分),即该题的命题背景实为极点极线.

3 题目的探析与评注

图1

评注《中国高考评价体系》指出:“高考要求学生能够触类旁通、融会贯通,既包括同一层面、横向的交互融合,也包括不同层面之间、纵向的融会贯通”[1]. 在解题教学过程中, 对于一些典型问题, 如果我们能够从不同角度思考, 寻求不同的解法, 以一题多解的方式寻求知识间的内在联系,构建知识的网络体系,加深对问题的本质认识,定会拓宽解题视野,发散解题思维,提升学习兴趣,提高解题能力[2]. 思路1 属于常规解法,联立直线与椭圆方程,得到两交点A,B横坐标的关系式(韦达定理), 根据弦长公式用横坐标表示,化简得点Q横坐标为定值,得动点Q在定直线上,另外这里我们还可以设直线l1的方程为x=my-3,与椭圆C的方程联立后得到关于y的方程,在运算上会稍简捷一些. 思路2 和思路3 均为设点法,将线段等比例转化为向量的数乘关系来表示,思路2 属于定比点差法,思路3 属于同构方程法. 事实上,解题中我们遇到点共线且线段成比例时,均可以考虑转化为向量的数乘形式,进而利用坐标解题,至于定比点差法还是同构方程法,两法各有优劣,读者还需在日常学习中慢慢体会,这里不再赘述,可参考文献[3]和[4]. 对于ΔPQR面积的表示,笔者给出了5 种方法,方法1 和5 表示为关于直线l1的斜率k的表达式,方法2 表示为关于直线l1的倾斜角θ的表达式,方法3 和4 表示为关于线段长度的表达式,最后除方法2 利用三角函数的有界性得到面积的最小值外,其余4 种方法均借助基本不等式(或柯西不等式)求得面积最小值,这里我们要弄清取等条件.

4 题目的变式探究与一般化推广

5 极点极线背景介绍

5.1 圆锥曲线的极点与极线的定义

已知曲线Γ :Ax2+Cy2+ 2Dx+ 2Ey+F= 0(A2+C2̸0), 称点P(x0,y0)和直线l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F= 0 是圆锥曲线Γ 的一对极点和极线.

对于具体的圆锥曲线,有如下极点与极线方程:

5.2 圆锥曲线的极点与极线的性质[6]

定理1已知点P(x0,y0) 和直线l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0 是圆锥曲线Γ:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 (A2+C20)的一对极点和极线,

(1)若极点P在曲线Γ 上,则极线l就是曲线Γ 在点P处的切线;

(2)若过极点P可作曲线Γ 的两条切线,M,N分别为切点,则极线l就是直线MN;

(3)若过极点P的直线与曲线Γ 相交于M,N两点,则曲线Γ 在M,N两点处的两条切线的交点Q在极线l上;

(4)若过极线l一点Q可作曲线Γ 的两条切线,M,N分别为切点,则直线MN必过极点P.

证明(1)由点P在曲线Γ 上,得,则曲线Γ 的方程可以写成

联立

得A(x-x0)2+C(y-y0)2=0,有唯一解(x,y)=(x0,y0),所以极线l就是曲线Γ 在点P处的切线.

(2) 设 点M(x1,y1),N(x2,y2), 则 由(1) 知 曲 线Γ 在M,N两点处的切线分别为Ax1x+Cy1y+D(x+x1)+E(y+y1)+F=0,Ax2x+Cy2y+D(x+x2)+E(y+y2)+F=0,因点P(x0,y0)为两切线的交点,所以

易知(x1,y1),(x2,y2)是方程Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0) +F= 0 的两解, 则直线MN的方程为Ax0x+Cy0y+D(x+x0) +E(y+y0) +F= 0, 即极线l就是直线MN.

(3)设Q(s,t),由(2)知直线MN的方程为Asx+Cty+D(x+s)+E(y+t)+F= 0,又直线MN过点P(x0,y0),则Asx0+Cty0+D(x0+s)+E(y0+t)+F= 0,故两条切线的交点Q在极线l上.

(4)设Q(s,t),则Ax0s+Cy0t+D(s+x0)+E(t+y0)+F=0,由(2)知直线MN的方程为Asx+Cty+D(x+s)+E(y+t)+F=0,则极点P(x0,y0)在直线MN上,即直线MN过极点P.

定理2(配极原则)点P关于圆锥曲线Γ 的极线经过点Q,则点Q关于圆锥曲线Γ 的极线也经过点P. 反之,也成立.

证明设Γ :Ax2+Cy2+ 2Dx+ 2Ey+F= 0(A2+C20),P(x1,y1),Q(x2,y2),点P,Q关于E的极线分别为lP:Ax1x+Cy1y+D(x+x1)+E(y+y1)+F=0,lQ:Ax2x+Cy2y+D(x+x2)+E(y+y2)+F=0,点P的极线经过点Q⇔Ax1x2+Cy1y2+D(x2+x1)+E(y2+y1)+F=0⇔点Q的极线也经过点P.

推论(1)共线点的极线必共点,即两点连线的极点是此二点极线的交点;(2)共点线的极点必共线,即两直线交点的极线是此二条直线极点的连线.

证明(1)设两点A,B连线的极点是P,即点P的极线经过A,B两点,由配极原则知点P的极线经过点,即点是此二点极线的交点;

设直线l1,l2的交点P的极线是l,即直线l的极点P是直线l1,l2的交点,由配极原则知直线l1,l2的极点均在直线l上,即直线l为此两条直线极点的连线.

6 命制变式问题,巩固深化理解

变式1设椭圆C:x a22+y b22= 1 (a＞b＞0) 过点M(2,1),且左焦点为F1(-2,0).

(1)求椭圆C的方程;

(2) 当过点P(4,1) 的动直线l与椭圆C相交于两不同点A,B时, 在线段AB上取点Q, 满足|AP|·|QB| =|AQ|·|PB|,证明: 点Q总在某定直线上.

变式2设椭圆C:x a22+y b22=1 (a＞b＞0),已知椭圆的短轴长为22,离心率为2 2 .

(1)求椭圆的方程;

(2)点P为直线x= 4 上的动点,过点P的动直线l与椭圆C相交于不同的A,B两点,在线段AB上取点Q,满足|AP|·|QB|=|AQ|·|PB|,证明: 点Q总在一条动直线上且该动直线恒过定点.

变式3已知双曲线的离心率是,实轴长是8.

(1)求双曲线C的方程;

(2) 过点P(0,3) 的直线l与双曲线C的右支交于两不同点A和B, 若直线l上存在不同于点P的点D满足|PA|·|DB| = |PB|·|DA|成立,证明: 点D的纵坐标为定值,并求出该定值.