多重视角争奇斗艳 各类方法百花齐放
——2023 福州3 月质检第12 题解析

福建省福清第三中学(350000) 唐 洵

2020 年新高考实施以来,以重要不等式、基本不等式为载体的试题频繁出现,如2020 新高考Ⅰ卷第11 题、2021 年新高考Ⅰ卷第5 题、2022 新高考ⅠⅠ卷第12 题,侧重考查了数学运算、逻辑推理以及数据分析的核心素养. 然而,此类问题并非仅有重要不等式、基本不等式这两把解题利刃,本文对一道质检试题给出了多角度、深层次的解析,旨在增加读者分析、解决此类问题的能力.

1 题目与解答

视角一、不等式视角

视角二、参数方程视角

视角三、函数视角

视角四、图形视角

图1

图2

点评并非所有的代数问题都存在几何背景,也并非所有的代数问题都适合几何化处理,有些处理方法甚至让人产生小题大做的感觉,此类方法(如解法十到十二)在习题教学中可以不必渗透,但作为研究必不可少.

视角五、特值视角

点评特值的选取要立于常规,一般双变元问题往往采取固定一个,求解另一个的角度选取特值;此外基本不等式或者重要不等式中常常令x=y、x= -y选取特值;在平时适当训练,掌握选取的套路,考试才能胸有成竹.

2 追本溯源

在求解题1 的过程中,不难发现,二次曲线x2+xy+y2=3 关于直线y=x,y= -x对称,笔者猜想该二次曲线可能表示一个椭圆,那么猜想是否成立? 选项的设定是否存在着更深层次的几何背景? 带着这些疑问和困惑,为了看清问题的本质,笔者作出了进一步的思考.

考虑如下的变换

其几何意义是将坐标轴旋转45°,代入x2+xy+y2= 3中,得,这是一个长轴为, 短轴为的椭圆,再将坐标轴旋转回去,得到图形如图3 所示. 基于上述事实,选项A、B 可以理解为直线2x+y=t1与椭圆有交点时t1的取值范围,作出临界状态如图4 所示,选项C、D 可以理解为椭圆x2-xy+y2=t2与椭圆x2+xy+y2=3 有交点时t2的取值范围,作出临界状态如图5 所示;因此本题的几何背景为研究直线与椭圆、椭圆与椭圆的位置关系.

图3

图4

图5

本题与2022 年新高考ⅠⅠ卷第12 题(题目2)极为相似,相比高考题而言,本题的难度略有增加,更加注重条件和结论的变形,但两道问题的解题手法以及题目背后的几何背景如出一辙,读者可以自行探究题目2.

题目2(2022 年新高考ⅠⅠ卷第12 题) 若x,y满足x2+y2-xy=1,则( )

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

3 教学启示

(1)博学主干知识, 课堂有的放矢. 教材是最好的老师,高考试题往往取之于课本,又高于课本;因此在的教学中,要注重课本与高考之间的联系,对课本的例题、习题适当的拓展延伸,到达高考的高度;同时,教师要注重汲取多元化的知识,了解竞赛、强基计划、高等数学中与课本的交汇的相关知识,这样才能居高临下,轻松驾驭课堂.

(2)审问命题之道, 研究追本溯源. 所谓教而不研则浅,研而不教则空,教师必须精研高考真题,交流试题的解法,了解试题的考向,把握试题的难度,洞悉试题的背景,以便习题教学时避免南辕北辙,更快提升课堂效率.

(3)慎思新旧关联,转化解题思维. 新高考更加注重素养的考查,但并不意味着旧高考的一些解题手法随风而逝;解题时应该关注新旧差异,利用新知识解题的同时,要友好对待一些“老知识”,如参数方程等,让学生体会到解题的优越性, 适当转化解题思维; 解答时, 不必只拘泥于单纯某种视角、某种方法.

(4)明辨几何背景,突出数形结合. 数缺形时少直观,形少数时难入微,剖析代数问题的几何背景有助于拓宽学生的解题视野,提升学生的解题兴趣,激发学生的解题灵感,在解题时能够站得高,看得远,会当临绝顶,一览众山小.

(5)笃行一题多解,授渔去粗取精. 教师在进行习题教学时,要立足学生的知识层面与能力范畴,精选常用解题方法,通过多角度、深层次的剖析问题,让学生有所积累,以便其在解题时若是关上一扇门,还能打开一扇窗.