一道2022 年数学奥林匹克试题的多解探究及推广

贵州师范大学数学科学学院(550025) 徐凤旺 刘天明 成 敏

一、试题呈现

已知正实数a,b,c,d, 满足a+b+c+d= 4, 求证:.

分析这是一道2022 年克罗地亚女子数学奥林匹克试题中的不等式证明题,该不等式的条件式子和结论式子结构对称, 不等式的左边的每一项的分子都是一个一次单项式,分母都是三次二项式,由整式组成,形式上具有数学的美感.本文拟对该不等式的证明方法及推广做进一步的探究,与大家一起分享.

二、试题解析

三、试题推广

(一)对不等式中所含的数字一般化

(二)增加不等式中未知数的个数

(三)改变不等式中未知数的幂

(四)改变不等式的结构形式

推广是数学学习、数学研究和数学发展的重要手段和途径. 在数学学习中,推广可以加强对观察、分析、比较、综合、概括、归纳、类比和发现能力以及创新意识等的培养;在数学研究中,推广可以加深对问题本身的认识和理解,可以产生新问题和新方法;在数学发展中,推广可以引导数学发现,可以产生新定理和新理论[2].