考虑流固耦合作用屋顶游泳池减振效应研究

金 波，郭 荣，方棋洪

(1.湖南大学土木工程学院，工程结构损伤诊断湖南省重点实验室，长沙 410082；2.湖南湖大建设监理有限公司，长沙 410082；3.湖南大学机械与运载工程学院，长沙 410082)

随着社会经济与工程技术的发展，设计师们开始将游泳池等运动场所设置在建筑顶部，这不仅提升了建筑的科技含量，使建筑的用途变得多元化，还可以满足新时代人们日益增长的精神文化需求。同时屋顶游泳池可视为调谐液体阻尼器(TLD)装置，对在地震以及风荷载作用下结构的振动进行调节与控制。

调谐液体阻尼器(TLD)是一种被广泛应用的被动振动控制系统，主要优点是便于装卸，安装后系统的特性不发生改变，且不需要外部电源启动[1]。自20 世纪80 年代MODI 等[2− 3]第一次将悬挂型圆环形液体阻尼器运用到建筑结构的风振控制后，TLD 控制系统便开始得到土木工程界的广泛关注。目前对TLD-结构系统的研究主要分为实验研究[4− 11]和数值模拟[12−25]。许国山等[4]采取等效力控制方法进行TLD 减振控制结构振动台子结构试验，以解决通常使用的小比例尺试验无法真实反应TLD 减振控制结构的抗震性能的问题，并且该方法的试验结果能较好的吻合精确解，表明该方法具有很好的精度。陈鑫等[5]根据高耸钢烟囱模型，设计环形TLD 试验模型进行了三种工况的减振试验，与数值模拟分析结果对比，为高耸钢结构环形TLD 减振的设计和应用提供了参考数据。田志昌等[6]提出了一种可间接测量水箱频率的试验方法，通过两次不同刚度的振动试验采用常用的自由振动原理换算出水箱的自振频率，可借助该方法测量不规则形状水箱的自振频率。

由于实验研究需要昂贵的实验设备，实验周期较长，随着计算机的迅速发展，数值模拟已经成为普遍使用的方法。HOUSNER[12]最早提出的集中质量模型成为工程运用最广泛的一种简化模型，其核心理论是用两个与容器连接的等效质量来代替液体晃荡对侧壁产生的脉冲压力和晃荡压力，以达到简化计算的目的。柳国环等[13]结合圆形和矩形TLD 的计算参数，提出将TLD 转化为TMD的方法计算结构减振控制效果，并通过实例分析说明该方法的合理性。孔令仓等[14]以一实际工程为研究背景，使用SAP2000 建立工程实际模型，分析得到了在地震荷载下各影响因素对TLD 减振效果的影响。董胜等[15]利用试验数据验证了二维不可压缩Navier-Stokes 方程的数值模型的准确性，模拟计算了不同深度的浅水TLD 晃荡产生的阻尼力，得到了浅水TLD 中不同液深对TLD 减振效果的影响规律。

建筑顶部设置游泳池已成为国内外设计上的亮点，但是目前关于大跨屋顶标准游泳池结构的设计以及该类结构对抗振性能的影响，这两种情况的研究都较少，大部分由试验得到的等效力学模型很少考虑到TLD 中的液体在振动过程中与结构的相互作用，在实际工程中，液体与结构的双向耦合作用[26− 30]是不容忽视的重要因素。因此，本文以某大跨屋顶标准游泳池结构为研究背景，将屋顶游泳池视为TLD 减振装置，研究考虑流固耦合作用时屋顶游泳池对结构抗振性能的影响，为实际工程中屋顶游泳池的设计提供参考依据。

1 工程概况

湖南省某大厦由双塔、中部裙楼组成，双塔与中部裙楼间采用伸缩缝分隔。考虑到该项目用地紧张，同时为提高大厦的科技含量，因此计划将一标准恒温游泳池设在中部裙楼顶层，池长50 m，池宽21 m，共设置8 条泳道，池内只设浅水区，水深1.7 m，游泳池最高水位与地面高差为0.2 m。中部裙楼共六层，建筑平面尺寸为57.2 m×38.0 m，标准层高4.2 m，总建筑高度23.8 m，工程效果图与屋顶游泳池结构平面布置图分别如图1～图2 所示。该项目设计实施的重难点在于：结构跨度大，游泳池下方为40.5 m×24.8 m 的大空间，无框架柱，最小净高为2.2 m；屋顶设置游泳池容易导致结构形成“头重脚轻”的不利布置，对结构抗振性能存在影响。目前大跨屋顶标准游泳池对结构抗振性能的影响研究较少，在该项目结构选型的基础上，研究大跨屋顶标准游泳池对结构的抗振性能的影响具有重大的工程价值与理论意义。

图1 工程效果图Fig.1 Engineering renderings

图2 平面布置图Fig.2 Layout plan

2 流固耦合系统运动方程

根据TLD 减振工作原理，屋顶游泳池可视为TLD 减振装置控制结构在地震荷载或风荷载作用下的动力响应[31]。在考虑流固耦合作用时，可根据基本假设与边界条件通过位移-压力有限元格式[32]给出TLD-结构流固耦合系统的运动方程。

2.1 基本假设与边界条件

2.1.1 基本假设

假设TLD 中的液体为均匀、无粘、小扰动，结构为线弹性状态。TLD-结构流固耦合模型包含3 部分：流体部分Vf、箱体部分Vs、流固交界面Si。TLD-结构简化模型如图3 所示。其中，Sf为流体的上部自由边界，Sb为底部的固壁边界，S0为箱体的力边界，设n为耦合边界单位法线方向向量。

图3 TLD-结构简化模型示意图Fig.3 Schematic diagram of TLD-structure model

2.1.2 边界条件

1)箱体域

平衡方程：

力的边界条件：

式 中：σij,j为 σij对 坐 标xj偏 导 数；σij为 应 力 分量；ρs为箱体质量密度；u¨i为箱体加速度。

2)流体域

固壁边界Sb上，流体法向速度分量为0：

自由边界Sf上：

式中：p为流体压力；ρf为流体的质量密度；g为重力加速度；w0为z=0处液体质点的垂向位移。由动力平衡条件可知：

将式(4)代入式(5)可得：

3)流固交界面

由运动学条件可知，在耦合边界上法向速度保持连续：

由力连续条件可知，耦合边界上法向应力保持连续：

2.2 流体运动方程

流体的连续条件为[33]：

对于一般三维问题，很难求得在各种边界条件下流体运动微分方程的解析解，本文选择使用Galerdin 法进行离散化处理，流场内任一点的压力分布p(x,y,z,t)可近似的表示为：

式中：N为形状函数矢量；p为压力矢量。

于是式(9)近似满足：

式中：R为残量，为让残量R达到最小值，可根据Galerdin 法按下式得到压力矢量为：

对式(12)采用分部积分法，并将边界条件代入可得：

式中，u¨n为流体交界面上的法向加速度，将之离散为：

式中：Ns为结构部分的插入函数矢量；u¨n为节点法向加速度矢量。

设us为结构相对地面位移矢量，a¨n为地震动加速度，得：

式中，L为坐标变换矩阵，于是：

经过上述的离散化，流体的运动方程可表示为：

式中：

2.3 结构运动方程

结构的运动方程为：

式中：us为结构位移矢量；Ms为结构的质量矩阵；Cs为结构的阻尼矩阵，采用瑞利阻尼形式；ks为结构的刚度矩阵；Fp为流固交界面上流体动力的节点矢量；Fs为结构外载荷，Fs=Msa¨。

式中，Nse为结构元的形状函数。

结合式(10)可知，交界面上的动水压力对该节点虚位移所作的虚功为：

由此可知，法向的广义力矢量为：

由类似式(15)的变换，可求得整体坐标广义力为：

各流体元的贡献集总得：

由此可得结构的运动方程为：

2.4 流固耦合系统求解

联立流体与结构的运动方程，可得到TLD-结构系统的流固耦合有限元运动方程：

对流固耦合有限元运动方程采用Newmark 预测校正积分法[34]多步递推、迭代计算：

式中：

由上述递推公式可求得TLD-结构流固耦合系统的动力响应。

3 数值模型的建立

3.1 ABAQUS 流固耦合模型

为简化计算，建模时只建中部裙楼部分，不考虑双塔的影响。利用ABAQUS 建立有限元模型，模拟结构顶部游泳池在考虑流固耦合时地震荷载作用下的动力响应，流固耦合模型如图4 所示。

图4 流固耦合模型Fig.4 Fluid-structure coupling model

在ABAQUS 中基于耦合拉格朗日欧拉法[35](CEL)建立了流固耦合模型。CEL 方法融合了拉格朗日分析与欧拉分析二者的优点，对结构部分使用拉格朗日单元，对流体部分使用欧拉单元，两者利用欧拉-拉格朗日接触进行相互作用，进而起到结构与流体之间的双向耦合分析的作用，使用ABAQUS 中的显式计算实现分析求解，得到结构在考虑流固耦合作用影响时的动力响应结果。

在结构模型中结构梁、结构柱使用B32 单元，楼板使用S4R 单元，总单元数量为80093 个。流体域采用EC3D8R 单元，总单元数量为341700 个，水与池壁的接触定义为通用接触。根据《建筑抗震设计规范》(2016 版)，本文选取Ⅱ类场地地震波中的两条天然波EL-Centro 波和Taft 波和一条人工波兰州波，加载时间步长0.02 s，持续时间15 s。

3.2 等效TMD 模型

根据YU 等[36]提出的TLD 等效非线性TMD简化理论将本文TLD 模型等效成非线性TMD 简化模型，TMD 模型参数根据式(39)～式(45)转换求得，在SAUSAGE 软件中建立简化TMD 子结构，等效TMD 减振模型如图5 所示。同样选取EL-Centro 波、Taft 波和兰州波。在SAUSAGE 中结构动力分析方法采用修正的中心差分格式法，加载时间步长为0.000 12 s：

图5 等效TMD 模型Fig.5 Equivalent TMD model

式中：a为TLD 沿振动方向的长度；b为TLD 垂直震动方向的长度；h为液体深度；κ为Jin-kyu Yu 经过大量实验统计得出的刚度硬化系数；ξd为等效TMD 模型阻尼比。κ与 ξd由无量纲激励振幅λ求得：

3.3 模型参数对比

对ABAQUS 流固耦合模型和SAUSAGE 等效TMD 模型进行结构模态分析，其周期与结构质量对比如表1 所示。

表1 模型主要参数Table 1 The main parameters of the model

由表1 对比结果可知，由于游泳池等效TMD自身也具有了一定的刚度，增大了等效TMD 模型结构的刚度，因此，等效非线性TMD 模型周期计算结果略小于流固耦合模型。其中第一振型周期两模型之间误差为0.9%，第二振型周期误差为2.1%，本文考虑控制第一、二阶振型反应的减振效果，可认为两模型计算结果对比可以用来评估流固耦合作用对结构减振效果的影响[37−38]。对结构进行模态分析发现，结构的前三阶振型分别为X向、Y向平动以及Z向扭转。

4 计算结果分析

4.1 位移-压力格式与ABAQUS 模拟结果对比

通过位移-压力格式有限元运动方程编程计算与ABAQUS 软件分析，得到了将游泳池视为TLD并考虑流固耦合作用时地震荷载作用下结构顶点位移与加速度时程曲线，结果如图6～图9 所示，原结构是指不考虑游泳池减振作用的计算结果。减振率 δ按式(46)计算：

图6 X 方向地震荷载下结构顶部位移响应Fig.6 Displacement response of structure top under Xdirection earthquake load

图7 Y 方向地震荷载下结构顶部位移响应Fig.7 Displacement response of structure top under Ydirection earthquake load

图8 X 方向地震荷载下结构顶部加速度响应Fig.8 Acceleration response of structure top under Xdirection earthquake load

图9 Y 方向地震荷载下结构顶部加速度响应Fig.9 Acceleration response of structure top under Ydirection earthquake load

由图6～图9 可知，流固耦合运动方程求解结果与ABAQUS 数值模拟结果基本保持一致，三种地震波作用下的结果误差在5%～8%，采用流固耦合运动方程求解时计算效率整体提升约为43%。由位移-压力格式得到的TLD-结构流固耦合运动方程能较为准确求解结构在地震作用下的动力响应，并且计算效率更高。

由地震荷载作用下顶部位移和加速度响应曲线可以看出，将屋顶游泳池视为TLD 控制装置时，并不能在地震一发生就能发挥减振作用，在地震前几秒，结构位移与加速度响应并不能得到有效抑制，甚至还有增大的趋势，这是因为游泳池中的水还没有与结构发生相互作用。当地震发生几秒后，游泳池中的水会作用在结构上产生一个与结构晃动相反的液动压力，这时的减振效果才能明显提升。

由图6～图9 可知，在不同的地震荷载以及地震荷载作用方向不同时，将屋顶游泳池视为TLD的减振效果也各不相同，其中在EL-Centro 波作用于X方向时，结构减振效果最好，结构顶点位移减振率达到21.6%，结构顶点加速度减振率达到20.4%；作用于Y方向时，结构顶点位移减振率达到10.1%，结构顶点加速度减振率达到12.9%。而在兰州波作用下减振效果则相对较差，地震荷载作用方向为X向时，结构顶点位移减振率为16.4%，加速度减振率为17.7%；地震荷载作用方向为Y向时，结构顶点位移减振率为7.2%，加速度减振率为11.3%。不同的地震荷载作用下，将屋顶游泳池视为TLD 的减振效果不同主要是因为TLD 的减振效果与地震荷载的周期、频率等因素有关。由3.3 节模型模态分析计算结果可知，结构的第一阶振型为X方向，并且，游泳池长边方向也是沿X方向，在结构发生振动时，游泳池中水晃动能提供更大的减振力，所以在地震荷载作用于X方向时，减振效果也会优于Y向。

4.2 流固耦合模型与等效TMD 模型结果对比

由SAUSAGE 计算得到将屋顶游泳池等效为TMD 子结构时，在地震荷载作用下结构的减振效果，提取结构顶层位移和基底剪力平均值，由4.1 节分析可知，地震荷载作用于X方向时，减振效果优于Y方向，故本节只讨论第一阶模态控制结果。顶层位移与基底剪力减振效果如表2 所示，楼层位移对比结果如图10 所示。

表2 顶层位移与基底剪力减振效果Table 2 Vibration reduction effect of top floor displacement and base shear

图10 楼层位移对比结果Fig.10 Floor displacement comparison

由表2 可知，流固耦合模型在三条地震波作用下顶层位移减振率介于16.4%～21.6%，基底剪力减振率介于17.6%～20.1%，而等效TMD 模型顶层位移减振率介于9.4%～13.7%，基底剪力减振率介于8.9%～12.8%。流固耦合模型的顶层位移减振率比等效TMD 模型提高了7%～7.9%，基底剪力减振率提高了7.3%～8.7%。

由图10 可知，在三条地震波作用于X方向时，楼层位移减振率介于1.2%～21.6%。结构的振动响应随着楼层的增加而增大，楼层位移减振率同样沿着楼层的增大而增加，在结构顶层位移减振率最佳。并且流固耦合模型各楼层位移减振率相较等效TMD 模型均有明显提高。

出现上述现象主要是因为流固耦合模型在计算过程中时刻考虑了水与结构的双向耦合作用，水在振动过程中产生的压力与结构产生的变形在耦合面上反复传递，而水体对结构的液动压力方向则与结构的运动方向相反，这对结构的运动有一定的抑制效果。因此，相比较非流固耦合模型，流固耦合模型减振过程更加符合实际工程情况，减振效果也更加明显。

5 结论

本文将屋顶游泳池视为TLD 装置，基于位移-压力格式有限元方法，给出了流固耦合体系运动方程，建立屋顶游泳池流固耦合模型与等效TMD 模型，以某大跨屋顶标准游泳池结构为背景，研究了地震荷载下屋顶游泳池对结构抗振性能的影响，为实际工程中屋顶游泳池设计提供了参考，结论如下：

(1) 将流固耦合系统运动方程计算结果与ABAQUS 软件数值模拟结果进行对比，发现位移与加速度时程曲线基本吻合，验证了流固耦合运动方程的准确性；

(2) 流固耦合模型在X方向地震荷载作用下，结构顶层位移减振率介于16.4%～21.6%，加速度减振率介于17.7%～20.4%；在Y方向地震荷载作用下，结构顶层位移减振率介于7.2%～10.1%，加速度减振率介于11.3%～12.9%。两个方向减振效果均较为明显，且X方向减振效果优于Y方向，表明在结构顶部设计游泳池对结构的第一、二阶模态振动响应均有较好的抑制作用；

(3) 通过流固耦合模型与等效TMD 模型计算结果对比，流固耦合模型楼层位移及基底减振率分别提高了7%～7.9%与7.3%～8.7%，说明屋顶游泳池考虑流固耦合作用时减振效果更优于不考虑流固耦合作用时的情形，考虑流固耦合作用能更加准确的描述TLD-结构在实际工程中的动力响应情况。

(4) 通过分析大跨屋顶标准游泳池对结构抗振性能的影响，表明大跨屋顶标准游泳池具有一定的减振效果，可为大跨屋顶标准游泳池结构设计提供指导。