BFSK 信号循环平稳特性分析

王 召，刘大伟

（中国民用航空飞行学院洛阳分院，河南 洛阳 471000）

在通信、遥测、雷达和声呐系统中，一些人工信号是一类特殊的非平稳信号，它们的非平稳特性表现为周期平稳[1]。以雷达回波为例，若天线指向不变，则地杂波的回波等于照射区域所有散射体的子回波之和，虽然有随机起伏，但整体是平稳的。若天线随时间作匀速转动，则在一个扫描周期内，地杂波的回波是非平稳的，但是每经过一个扫描周期后，天线又指向原处，则回波的非平稳性表现为周期平稳，此时平稳过程模型将不再适用于此类信号，因此，引入循环平稳信号的概念[2]。

1 BFSK 信号循环平稳特性

1.1 循环平稳过程定义

通常把统计特性呈周期或多周期（各周期不能通约）平稳变化的信号统称为循环平稳或周期平稳，循环平稳信号可进一步分为一阶（均值）、二阶（相关函数）和高阶（高阶累积量）循环平稳[3]，信号的循环平稳特性通常表现在信号的二阶统计量上，即信号的自相关特性。

一个随机过程x（t），如果其均值Ex（t）和自相关函数Rx（t，τ）均具有周期性（周期均为T），即满足

那么这个随机过程称为广义的循环平稳过程[3]，对应的信号称为循环平稳信号。

1.2 BFSK 信号模型

频移键控信号（FSK），其实质是利用载波频率来传送数字信息，即利用所传送的数字信息来控制载波频率。BFSK 信号为二进制频移键控信号，其具体形式数字符号“0”对应载波频率f1，符号“1”对应载波频率f2，即其信号模型为

式中：f1、f2为载波频率，θ1、θ2为初始相位，g（t）为矩形脉冲（开关信号），Ts为矩形脉冲的宽度，a¯n与an互为反码。

1.3 BFSK 信号循环平稳特性分析

要证明BFSK 信号具有循环平稳特性，应证明其均值和自相关函数是具有相同周期的周期函数[4]。

BFSK 信号x（t）的均值表示为

由式（5）可得，BFSK 信号x（t）是关于时间t 的周期为T0=1/f1或T0=1/f2的周期函数。

由时变自相关函数的定义式可得，BFSK 信号的时变自相关函数（对称形式）为

由式（6）可得，BFSK 信号x（t）的时变自相关函数是关于时间t 的周期为T0=1/f1或T0=1/f2的周期函数。

综上可得，BFSK 信号x（t）的期望与时变自相关函数为具有相同周期T0的周期函数，即有BFSK 信号是循环平稳信号。

1.4 BFSK 信号的循环自相关函数和循环谱

结合式（6），由循环自相关函数的定义式可得，BFSK 信号的循环自相关函数（对称形式）为

由式（7）可得，循环自相关函数Rαx（τ）是关于时延τ 和循环频率α 的二元函数。信号x（t）的循环自相关函数中存在非零的α 频率的谱线（α=±2f1、α=±2f2），使得Rαx（τ）≠0，由二阶循环平稳的判定依据可得，BFSK信号是二阶循环平稳信号。

由循环维纳-辛钦关系可得，BFSK 信号的循环谱密度函数的表达式为

由式（8）可得，BFSK 信号的循环谱密度函数在平面（α，f）上共存在8 个谱峰，其位置分别如下：点（±2f1，0）、（±2f2，0）、（0，±f1）和（0，±f2），具体的仿真验证见下文。

2 数值仿真结果

为验证本文推导出的BFSK 信号具有循环自相关函数和循环谱的正确性，根据BFSK 信号模型，分别给出循环自相关函数和循环谱的仿真结果。

2.1 仿真参数设置

表1 给出了BFSK 信号循环平稳特性仿真环境的主要技术参数。

表1 仿真参数

2.2 仿真结果

图1 为BFSK 信号的时域波形图。由图1 中可得，BFSK 信号中载波频率随数字信息0 或1 变化：数字符号“0”对应载波频率f1，数字符号“1”对应载波频率f2。

图1 BFSK 信号的时域波形

图2 为BFSK 信号的循环自相关函数（CAF）三维图，图中X 轴表示时延，Y 轴表示循环频率α，Z 轴表示循环自相关函数Rαx（τ）的幅值。由图2 可得：BFSK 信号的循环自相关函数在X-Y 平面上存在5 处谱峰，谱峰位置如图2 所示，与理论推导公式（7）整体相一致。

图2 BFSK 信号的循环自相关函数（CAF）三维图

图3 为BFSK 信号的循环自相关函数等高线图（俯视图），图中X 轴表示循环频率α，Y 轴表示时延。由图3 可得：在（α=0、α=±800 Hz、α=±1 600 Hz）处存在5 处谱峰，与式（7）理论整体相吻合。

图3 BFSK 信号的循环自相关函数俯视图

综上仿真结果可得，对于BFSK 信号，其循环自相关函数在非零频率（α=±2f1、α=±2f2）处出现明显的峰值，即满足Rαx（τ）≠0，由二阶循环平稳的判定依据可得，BFSK 信号是二阶循环平稳信号。

图4 为BFSK 信号的循环谱密度函数图，图中X轴表示谱频率f，Y 轴表示循环频率α，Z 轴表示循环谱的幅值。由图4 可得：BFSK 信号的循环谱在X-Y 平面上有8 个谱峰，谱峰位置如图4 所示，与理论推导公式（8）整体相一致。

图4 BFSK 信号循环谱密度函数（CSD）三维图

BFSK 信号的循环谱密度函数在平面（α，f）上共存在8 个谱峰，其位置分别如下：点（±2f1，0）、（±2f2，0）（0，±f1）和（0，±f2）。

图5 为BFSK 信号的循环谱密度函数沿α=0 的切面图，图中X 轴表示谱频率f，Y 轴表示循环谱密度函数Sαx（f）的幅值。由图5 可得：循环谱密度函数在α=0 处有4 处谱峰，位置分别为（0，±f1）和（0，±f2），印证了载波的频谱搬移的作用，与理论推导公式（8）整体相一致。

图6 为BFSK 信号的循环谱密度函数沿f=0 的切面图，图中X 轴表示循环频率α，Y 轴表示循环谱密度函数Sαx（f）的幅值。由图6 可得：循环谱密度函数在f=0处有4 处谱峰，位置分别为（±2f1，0）、（±2f2，0），与理论推导公式（8）整体相一致。

图6 循环谱密度函数沿f=0 的切面图

图7 为BFSK 信号功率谱密度函数图，图中X 轴表示频率f，Y 轴表示功率谱的幅值。与图5 的结果相吻合，进一步验证了循环谱密度函数理论分析的正确性。

图7 BFSK 信号功率谱密度函数

综上仿真结果可得，对于BFSK 信号，在（±2f1，0）和（±2f2，0）处存在谱峰，即有α1=±2f1和α2=±2f2处表现出谱相关特征；f=0 截面上的谱峰间距比α=0（功率谱）截面上谱峰间距大，且为2 倍关系，即有α2-α1=2（f2－f1）。

3 结论

本文证明了BFSK 信号具有循环平稳特性，推导了BFSK 信号的循环自相关函数和循环谱密度表达式，结果表明，BFSK 信号的循环谱位置与2 个载波频率有关，计算机仿真验证了理论分析的正确性，为测距仪信号的循环平稳特性分析提供了参考借鉴。