算理和算法融合 助推深度学习

丁大秋

［摘要］ 计算教学有利于培养学生思维的灵活性和敏捷性，传统计算教学存在着重算法、轻算理的现象，大量机械重复的训练加重了学生课业负担。在实际教学过程中，通过把算理和算法有机融合，使学生充分经历探究过程，注重算理多元表征，强化实践练习以提升学生的思维品质。

［关键词］ 计算教学；算法；算理；多元表征；深度学习

计算是小学数学课程的重点内容。加强计算学习是学生进一步求知的需要，是促进学生思维发展的需要，更是数感形成的重要途径。日常教学中，往往存在着轻算理、重算法的情况。换言之，学生只是计算的“工具”，缺乏对计算过程、计算原理的深层次理解。笔者认为，把算理理解融合到算法掌握过程之中，有利于加强学科实践，助推学生开展深度学习。

一、创设生活情境，引发探究热情

脱离了生活背景知识的支持，计算教学便成了无源之水、无本之木。纵观我国各版本小学数学教材，均把计算方法、计算原理有效渗透于问题解决过程中，力求体现学生数学学习是“生动的、活泼的、现实的和富有挑战意义的”。教师在教学时，应注重生活情境创设，力求把枯燥乏味的计算镶嵌在实际问题解决之中。

例如，在教学“三位数乘两位数”时，教师创设如下情境：明德小区有高层楼5幢，小高层楼16幢，多层楼16幢；高层每幢住236户，小高层每幢住128户，多层每幢住48户。学生自主提出高层、小高层、多层各能住多少户的问题，并列出236×5，48×16，128×16三道乘法算式。教師带领学生借助前两道算式回顾三位数乘一位数、两位数乘两位数的计算方法，解释计算原理，而后通过128×16展开新知探究。

这个情境把复习和探究新知相结合，凸显了知识学习的连贯性、一致性特质，复习不着痕迹，新知顺势引出，使得学习具有高度主动性，引发学生的探究欲望。通过复习，学生对三位数乘一位数、两位数乘两位数的计算方法和算理有了更清晰的认知，有助于在知识生长点上展开探究活动，形成新的认知结构，促进后续知识的学习。

二、经历探究过程，促进法理融合

算法和算理是对一类数学问题计算过程的抽象，算法是对现实问题解决方法的模型化概括，算理则是对算法的高度抽象。要让学生理解算理、掌握算法，离不开学习者个体的主动探究和自主建构。

例如，在教学“两位数乘一位数”笔算时，教师出示题目：湖面上飞过3队大雁，每队12只，一共有多少只？学生列出算式：12×3。在探究算法时，如果教师直接提示：要把12拆成10和2，分别乘3，然后把结果相加，学生将对这一方法缺乏主动认知和深度理解。对此，可以先请学生用小棒摆一摆，再借助小棒图探究算法。学生经过仔细思考，充分交流得出两种比较有代表性的方法：①3个10是30，3个2是6，30和6加起来是36；②3×2=6，3×10＝30，30+6=36。借助小棒图思考，能够有效降低思维坡度。通过引领学生观察、比较小棒图和两种算法之间的联系，使学生明白两种算法在本质上是一致的，都是先分再合，都是对小棒图的简约表达。

借助直观操作和主动探究，学生理解了两位数乘一位数的口算方法。经历充分探究的过程，学生对两位数乘一位数的笔算算理和算法理解得更加深刻。借助已有知识，解决新的计算问题，是计算教学必须经历的过程，“法”和“理”融合，避免了机械记忆和重复训练。

三、多元表征算理，助推深度理解

小学阶段的竖式计算、递等式计算是学生必须牢牢掌握的内容，是发展智力、形成技能的重要手段。计算方法、步骤、程序既有其内在规定性，也有其存在合理性。而对这个合理性的感悟、理解，需要学习者的探究、合作、交流，在观点的不断碰撞、多元表征中理解与接受。

例如，在教学“除数是整十数的小数除法”笔算时，学生通过观察“关于妈妈购买水果的总价和数量”的购物小票，提出了每千克苹果、香蕉、橘子各多少元的问题，由此得出三道除法算式：9.6÷3，12÷5和5.7÷6。教师引导学生通过对9.6÷3这道算式口算和竖式计算的探究，初步理解“整数除法的计算法则在小数除法中同样适用”“商的小数点要和被除数的小数点对齐”，而后请学生自主尝试用竖式计算12÷5。学生出现了两种典型的计算结果：12÷5=2……2和12÷5=2.4。教师及时引导学生比较两种计算结果的差异，学生们一致认为用“2……2”表示香蕉的单价不符合生活常识，12除以5，商2之后余下的2还可以继续除，2除以5商是0.4，最后结果应为2.4。对于如此计算的道理，教师放手让学生思考，并进行小组交流。有学生通过元、角、分的知识给出理由，12元除以5，每份2元，余2元。把余下的2元换成20角，20角除以5，得到4角，2元4角就是2.4元；有学生通过画图给出理由，用一个正方形表示1，12个正方形除以5，每份2个，余2个。把余下的2个正方形，每一个都平均分成10份，表示成20个0.1，20个0.1除以5，得到4个0.1，也就是0.4，合起来就是2.4；还有学生借助小数的意义做出解释，12除以5余下的2，添上0继续除，就是20个十分之一除以5得4个十分之一，也就是0.4，最后结果是2.4。

数学多元表征是指同一数学学习对象的多种表征形式。上述教学中，学生在进行小数除法计算时遇到“被除数的末尾仍有余数应添0继续除”的一大难点，如何突破这一难点成为本节课的关键和亮点所在。为此，教师引导学生借助言语表征、图示表征等多种表征形式从不同角度对“添0继续除”的算理进行说明。在多维度的辨析中，助推学生对算理的深度理解，有效地把算法和算理勾连起来，减缓了学生的认知坡度，有利于学生从具象思维逐步向抽象思维发展。

四、注重实践练习，促进知识内化

计算教学最后的归宿是“算”，所以应通过适度的训练让学生达到熟练，而“算”的良好载体是问题解决。教师如果不能深刻地认识到这一点，机械地重复训练只会增加学生的负担，使学生望而生厌，而把计算融合在问题解决中，则会激发学生的学习热情，激起学生的成功体验。

例如，“两位数乘两位数”笔算的课堂教学中，教师适时组织学生完成课堂练习题。教师通过当堂讲评，引导学生独立归纳出竖式的写法及当中每一步骤的含义，再结合学生自己的归纳成果，一步步把课堂练习题的过程和方法抽象到竖式计算的知识体系中，从而让学生进一步理解算理、熟悉算法。

平时的计算教学，有些老师往往停留在刻板的训练上，在学生计算两位数乘两位数的题目之后，反复地问学生第一层积表示什么意思、第二层积表示什么意思，学生在不断地被提问和被追问中，不过是重复“教科书上的结论”罢了，知识的内化、素养的提升都不能真正落地。而在上述教学中，教师的提问给了抽象的算理和算法以鲜活的现实意义，一次成功的体验胜过无数次的空洞说教。因此，计算练习应该让学生达到“闻一知十”的目的，以真正减轻学生的课业负担。

［本文系江苏省教育科学“十四五”规划2021年度重点课题“深度学习视阈下小学数学模块化教学的行动研究”（项目编号：B/2021/02/38）阶段性研究成果］