理解概念本质 建构数学模型

璩燕

行程问题是关于“速度、时间、路程”三者之间关系的问题。行程问题的教学有利于学生发展逻辑思维，提高运用多种方法解决问题的能力。教学中，如何引导学生借助“线段图”等分析复杂行程问题中的数量关系？如何帮助学生深入理解速度、时间、路程三者之间的关系，更好地解答不同变式的相关实际问题？如何结合解题方法的教学，培养学生的求异思维？本期，我们讨论如何更好地教学行程问题。

“速度”不同于可以直接用工具度量的“路程”和“时间”，它是通过“路程”和“时间”间接度量的，是路程和时间的比。数量关系的学习重点不仅是数学表达，更重要的是理解每个数量的意义。因此，建立“速度”概念是理解“速度×时间=路程”数量关系的关键。

一、立足除法视角，凸显速度概念本质

立足除法视角理解“速度”概念是一种行之有效的学习路径。“路程÷时间=速度”的数量关系式能够凸显速度“归一量”的本质。基于此，笔者借助“路程与时间的比等于速度”这个数量关系，帮助学生建构“速度”概念，理解“速度”的本质。

课堂上，笔者先出示“A车行驶560千米，B车行驶480千米，C车行驶480千米”，并提出问题“你知道哪辆车行驶得最快吗”，通过制造认知冲突，引导学生生成数学思考，得出如下共识：要比较哪辆车速度最快，既要知道它行驶了多少路程，又要知道它行驶了多长时间。随后，笔者补充“A车行驶了8小时，B车行驶了8小时，C车行驶了6小时”，并请学生思考哪两辆车可以不计算直接比较快慢。学生共同梳理出以下两种比较方法。①相同路程比时间：路程相同，时间越短，则速度越快。②相同时间比路程：时间相同，路程越远，则速度越快。学生经过比较发现：A车比B车快，C车比B车快，要想知道三辆车中哪辆车最快，就要比较A车和C车谁更快。A车和C车行驶的路程不同，时间也不同，该如何比较呢？学生基于已有的“每份数、份数、总数”和“归一问题”的认知经验，自然而然想到用除法算式解决问题：560÷8=70，480÷6=80。笔者进一步追问：“80和70分别表示什么？为什么要比较它们每小时行的路程呢？”学生思考后回答：当路程和时间都不相同时，可以想办法把时间都变成1小时，就方便比较了，计算速度就是要把“时间不同”转化为“时间相同”。

然后，笔者安排学生独立完成以下练习：①“神舟十一号”飞船在太空中5秒飞行了约40千米，“神舟十一号”飞船的速度约是多少？②张叔叔骑自行车去游玩，2小时骑行了16千米，張叔叔骑自行车的速度是多少？在学生汇报完成情况并交流后，笔者引导学生思考：张叔叔骑车和“神舟十一号”飞船在单位时间内都行驶了8千米，它们的速度一样吗？学生结合问题情境发现虽然都是8千米，但是它们用的时间不同。随后，笔者启发学生将两个“8千米”进行区分，规范速度单位的写法，试读速度单位，认识速度单位由长度单位和时间单位复合而成。由此，学生进一步体会到速度与路程、时间的密切联系，学会用数学语言描述“速度”概念，即单位时间内经过的路程叫做速度。

最后，笔者借助现实情境设计了两个问题，帮助学生感受“速度”的快慢。①350千米/时、340米/秒、300000千米/秒，猜一猜它们分别是谁的速度？学生通过交流，认识到这几种速度可能分别是高铁的速度、声音的传播速度和光的速度。②从北京到广州的铁路全长大约是2400千米，六十多年前蒸汽机车的速度大约是60千米/时，三十多年前内燃机车的速度大约是120千米/时，“复兴号”高铁的速度大约是350千米/时，看到火车速度的变化，你有什么感受？笔者借助火车提速的情境，引导学生应用数学模型分析、解决问题，体会模型的应用价值。

二、创设丰富情境，构建数量关系模型

常见数量关系的学习要建立在学生的经验基础之上，通过呈现富有启发性的现实情境，让学生用数学的眼光去寻找、发现数量之间的关系，逐步抽象出数学模型。

笔者在引导学生结合上文提到的两道除法算式（560÷8=70、480÷6=80）归纳出“路程÷时间=速度”的基础上，组织学生完成以下两组练习，并思考路程、速度、时间之间的关系还可以怎样表达。①汽车每小时行驶70千米，4小时行驶多少千米？小林每分钟走60米，10分钟走多少米？②一只蜗牛每小时爬行10米，爬行70米需要多长时间？声音每秒传播340米，传播1700米要用多长时间？

基于已有的认知经验，学生分别列出两道乘法算式（70×4、60×10）和两道除法算式（70÷10、1700÷340）。针对学生列出的算式，笔者进一步追问：为什么用乘法（除法）？路程、时间、速度之间的关系还可以怎样表达？通过交流，学生明晰了1小时是1个70千米，4小时就是4个70千米，求路程就是求4个70千米是多少，所以速度与时间相乘就是路程；同理，1个10米用1小时，70里面有几个10米就有几小时，求时间就是求70里面有几个10，因此路程除以速度就是时间。

学生将“每份数×份数=总数、总数÷每份数=份数”与“速度×时间=路程、路程÷速度=时间”进行类比，发现它们都可以写成“一乘两除”的形式，这意味着无论知道其中的哪两个量都可以求出第三个量。这个过程有助于学生体会模型思想，从本质上把握数量关系的结构。

三、扩充数学模型，促进结构化学习

在大单元教学的引领下，笔者依托《速度、时间、路程》的教学，带领学生理解三个数量关系式以及三者之间的联系，灵活运用数学模型解决生活中的实际问题。

在构建数量关系式之后，笔者组织学生讨论：“速度、时间和路程三者之间的关系和我们之前学习的哪些知识有联系？它们有什么共同点？”学生认为，“速度”和以前学习的“单价”都可以看作“每份数”，“时间”和“数量”相当于“份数”，而“路程”和“总价”是相乘得到的“总数”在不同情境下的不同表达。这些数量关系具有一致性，都可以归纳为因数、另一个因数、积三者之间的关系。依据学生的思考，师生共同梳理出如下图所示的思维导图。学生在关联、重组、凝聚中展开结构化学习，从“单一、割裂、点状”的思维迈向“整体、融合、拓展”的结构化思维，学会了用整体、联系、发展的眼光看问题。

对于常见数量关系的教学，笔者通过教学实践探索出一条有效的学习路径：立足除法角度，凸显速度“归一量”的本质，建立速度概念；创设丰富情境，从具体问题情境中抽象出数学模型，再变换问题情境，将数学模型应用到现实问题中，以此深化模型的内涵，拓展模型的外延；沟通“速度、时间、路程”与“每份数、份数、总数”的内在联系，扩充数量模型，形成初步的模型意识和应用意识。

（作者单位：武汉市光谷喻家山学校）

责任编辑  张敏