焊接机器人齿轮齿条机构疲劳寿命仿真分析

刘鹏飞，曹阳，陈国雄

（1.550025 贵州省 贵阳市 贵州大学 机械工程学院；2.550081 贵州省 贵阳市 贵阳万江航空机电有限公司；3.550025 贵州省 贵阳市 贵州省机电装备工程技术研究中心）

0 引言

齿轮齿条传动机构是一对将旋转运动转化为直线运动的装置，作为焊接机器人关键传动部件，具有承载能力大、传动精度高和运行平稳等优点。由于齿轮齿条上轮齿接触面长期处于周期性交变接触力的作用下，容易导致轮齿表面损伤或轮齿断裂等问题，使其传动失稳，甚至失效[1]，进而影响焊接机器人的焊接工作，因此，有必要对焊接机器人齿轮齿条传动机构进行结构强度研究。刘本学等[2]以齿根拉应力仿真结果作为有限元疲劳分析的数据来源，利用SolidWorks 与ANSYS Workbench/ Fatigue Tool 对直齿圆柱齿轮进行弯曲疲劳仿真分析，再将结果与疲劳试验数据进行对比，从而验证仿真结果的可靠性；张延杰等[3]利用ANSYS 与ADAMS 软件建立斜齿轮副的柔体动力学模型，提取到了斜齿轮副的虚拟载荷谱，结合斜齿轮副5 齿对有限元模型的静态接触分析结果，利用nCode 疲劳分析软件研究了齿廓偏差对斜齿轮副疲劳寿命的影响规律；严宏志等[4]应用修正的局部应力应变法分析了不同齿面粗糙度下面齿轮的疲劳裂纹生成寿命，再结合损伤容限设计法预测了面齿轮的裂纹扩展寿命。目前，对不同载荷、齿间摩擦系数和齿轮转速对齿轮齿条疲劳寿命影响的研究还比较少见。

本文以自行研制的焊接机器人龙门架组件上的齿轮齿条传动机构作为研究对象，利用三维设计软件建立齿轮齿条的参数化模型，并导入有限元软件建立其瞬态动力学模型，通过仿真获得齿轮齿条传动机构的有限元结果，结合疲劳损伤理论，分别研究不同载荷、齿间摩擦系数和齿轮转速对齿轮齿条疲劳寿命的影响，为齿轮齿条在动态条件下的抗疲劳优化提供理论指导。

1 齿轮齿条有限元建模

1.1 参数化建模

齿轮齿条传动机构主要功能是将动力传给齿轮，并将齿轮回转运动转变为齿条往复直线运动，使龙门架组件在Y向上往复直线运动。本文选择较易加工的直齿式齿轮齿条。为达到焊接机器人设计所需的性能要求，初步选定齿轮齿条的材料属性为：材料42CrMo，密度7 850 kg/m3，弹性模量2.12×1011Pa，泊松比0.28，屈服极限σs=930 MPa，抗拉强度σb=1 080 MPa。在最大运行速度条件下，初步计算其齿轮齿条传动机构的设计参数，齿轮齿条模数2 mm，齿轮齿数23，齿轮齿宽25 mm，压力角α=20 °，齿轮轴径22 mm。通过SolidWorks 建立直齿式齿轮齿条的三维实体模型。具体的齿轮齿条传动机构装配体模型如图1 所示。

图1 齿轮齿条传动机构装配体模型Fig.1 Assembly model of rack and pinion transmission mechanism

1.2 简化有限元模型

为提高求解效率，在保障仿真精度可靠的前提下，可适当简化齿轮齿条模型结构。由于设计的齿轮为标准直齿圆柱齿轮，计算可知其与齿条啮合时齿轮副的重合度约为1.981。因此，模型简化时须保留2 对齿轮处于啮合状态，即保证同一时刻齿对啮合达到重合度要求。简化后的齿轮齿条传动机构模型如图2 所示。

图2 齿轮齿条传动机构简化模型Fig.2 Simplified model of rack and pinion transmission mechanism

进行瞬态动力学有限元分析时，模型网格划分质量直接影响仿真结果的准确性，因此，有必要确保网格质量在0.6 以上。由于齿轮面的动态接触转动属于非线性接触分析，所以可采用多区域划分法。将网格大小设为0.5 mm，采用刚度矩阵较为稀疏的四面体（Tetrahedrons-element）单元对齿轮齿条模型进行有限元网格划分。

2 齿轮齿条瞬态动力学分析

2.1 边界条件确定

本文齿轮齿条传动机构的约束边界条件为：齿条固定于机架上，而齿轮则在齿条上做圆周滚动。轮齿间的齿面接触类型设为有摩擦类型，并给定齿间的摩擦系数为0.15。采用闭环步进电机作为动力，其最大转速为2 000 r/min；减速器的传动比为1∶10，可计算出齿轮的最大转速为200 r/min，在最大线速度条件下齿轮转速为2.65 rad/s。

由于运行过程中齿轮受到的负载主要来自龙门架组件的重力和直线导轨间产生的摩擦阻力，所以可在齿轮转动方向的反向施加一个水平力来模拟上述负载[5]。本文研究的焊接机器人龙门架组件的总质量为365 kg，即负载力为3 650 N。考虑到轮齿间存在间隙，在启动运行阶段比较容易产生较大的冲击载荷，需要考虑静态安全系数fs的影响，故在齿轮铰接处施加的负载f为

式中：f——龙门组件产生的阻力；FN——龙门组件重载荷；K——直线导轨摩擦系数，取K=0.15。

静态安全系数fs=8，经计算，传动装置与轨道之间的最大摩擦力为2 190 N。

最终，在ANSYS Workbench Transient Structural仿真环境中添加相应的约束、接触和载荷等边界条件，得到齿轮齿条传动机构的瞬态动力学，如图3所示。

图3 齿轮齿条传动机构的瞬态动力学Fig.3 Transient dynamics of rack and pinion transmission mechanism

2.2 瞬态动力学求解与分析

齿轮齿条在瞬态啮合过程中，2 个零部件处于接触状态，受力最大处易产生接触穿透和胶合现象，造成强烈磨损[6]。因此，对齿轮齿条啮合过程的接触穿透分析是判断其是否会发生胶合现象。

本文采用时间积分算法对齿轮齿条传动机构的瞬态动力学模型进行求解。根据齿轮的恒值转速计算出其运转周期约为2.37 s。为了保证2 个轮齿形成完整的啮合过程，对瞬态动力学模型的求解时间设为0.206 s。设置初始子步为50，最小子步为10，最大子步为100。经求解后，得到齿轮齿条传动机构的接触穿透云图如图4 所示。

图4 齿轮齿条传动机构接触穿透云图Fig.4 Contact penetration cloud diagram of rack and pinion transmission mechanism

由图4 可知，最大穿透量发生在齿轮分度圆处，最大值为3.298 4×10-4mm。齿轮齿条的总体穿透量极小，可近似看作无穿透，说明该齿轮齿条传动机构工作时不会发生胶合现象。

为了分析齿轮齿条传动机构在运行过程中是否具有足够的强度，通过ANSYS Workbench 后处理分别提取齿轮齿条啮合过程中产生的接触应力与最大节点应力时间历程曲线进行分析，如图5 所示。

图5 齿轮齿条啮合接触应力及应力时间历程曲线Fig.5 Meshing contact stress and stress time history curve of rack and pinion

从图5（a）明显看出，齿轮齿条传动机构的最大接触应力发生在齿间啮合区域和齿根位置处，这与现实相符。从图5（b）可知，在0～0.051 5 s 启动阶段，齿轮齿条传动机构出现了较大的冲击现象，并在0.016 48 s 时其接触应力达到234.42 MPa，随后就逐渐进入平稳啮合状态；在0.022 66～0.206 s稳定运行阶段，接触应力随时间的变化而呈现周期性“峰波”变化，并在0.070 04、0.162 30 s 时，由于齿轮与齿条的接触面之间发生接触碰撞分别产生322.31、279.96 MPa 的较大接触应力。由上述分析可知，齿轮与齿条啮合过程中产生的接触应力均小于材料的屈服强度930 MPa，说明齿轮齿条传动机构满足强度设计要求，所以当其发生失效时，属于典型高周疲劳破坏，可采用名义应力法对齿轮齿条进行疲劳计算。

3 齿轮齿条疲劳分析

3.1 疲劳损伤理论

由于长期受交变耦合接触应力的作用，齿轮与齿条上轮齿比较容易发生表面损伤和疲劳破坏等失效，严重可能会导致整个齿轮断裂，从而出现传动失效。工程上常用的累积损伤计算有以下2 种：

（1）Miner 线性累积损伤理论

工程上常用的累积损伤计算大多基于Miner 理论，认为材料在不同应力值下造成的损伤是独立存在的，在循环载荷的作用下，材料受到的损伤逐步线性叠加，直到发生疲劳破坏。即材料在某一横幅循环应力σi作用下的疲劳寿命为Ni，则得到ni次循环载荷下的损伤率为[7]

根据Palmgren-Miner 线性损伤累积理论计算不同水平的载荷循环对构件的损伤，当材料在K个应力水平Di的作用下经受ni次循环后，其受到的总损伤值为

式中：D——总损伤值；ni——构件在第i级应力幅值；Ni——构件在第i级应力幅值。

（2）非线性疲劳累积损伤理论

非线性疲劳累积损伤理论最典型的是Carten-Dolan 理论，认为前一次载荷造成的损伤会对后一次载荷造成的损伤产生影响[8]。

①一次循环后对结构材料造成的疲劳损伤为

式中：m——结构损伤核的数量；r——损伤扩展速率；c，d——结构材料常数。

②2n个循环对材料造成的损伤为

等副加载条件：

变副加载条件：

式中：p——水平载荷作用下的载荷数。

③临界疲劳损伤为

在变载荷中，“1”是已作用的载荷中寿命值最大一级；在等副载荷中，N1是疲劳寿命值，则

因疲劳损伤核产生后不会在后面的疲劳加载过程中消失，只会增加，则mi=m1，其中m1=max（mi），式（8）变化为

因损伤发展速率r正比于应力水平S，则有

式中：S1——循环载荷中最大一次载荷；N1——对应的疲劳寿命。

3.2 疲劳分析框架搭建

本文采用疲劳分析法对齿轮齿条传动机构进行疲劳寿命预测。采用Workbench Transient Structural做齿轮齿条传动机构瞬态动力学分析时，由于可直接获得齿轮齿条上随时间变化的应力时间历程，所以在nCode 软件中无需设置载荷谱类型即可进行疲劳分析。该疲劳分析方法先将有限元结果进行转化，获得应力张量时间历程，再把应力张量转化为应力标量，然后再进行循环计数，得到应力幅值、应力均值与循环次数的关系，最后根据应力计数结果并结合材料的S-N曲线进行疲劳寿命分析，其转换形式为[9]

式中：SE——综合应力影响因素；Sm——应力集中系数；St——载荷放大系数；Om——残余应力水平；Ot——偏移值；δ——有限元分析结果；D——应力张量缩放系数；Pk（t）——载荷时间历程。

在nCode SN TimeSeries（DesignLife）模块中搭建动载条件下的疲劳分析框架，如图6 所示。

图6 动载条件下的疲劳分析框架Fig.6 Fatigue analysis framework under dynamic load

由于nCode 疲劳分析软件的材料库未含有本文齿轮齿条使用的材料（42CrMo），需在Material Map 中创建相应的材料。考虑UTS 修正后，拟合得到材料42CrMo 的S-N曲线，如图7 所示。设置Goodman 方法对载荷谱进行平均应力修正。求解齿轮齿条的疲劳寿命云图，如图8 所示。

图7 修正后42CrMo 材料的S-N 曲线Fig.7 S-N curve of 42CrMo material after correction

图8 动载荷条件下齿轮齿条的疲劳寿命云图Fig.8 Fatigue life cloud diagram of rack and pinion under dynamic load

由图8 可知，在动载条件下，在节点40 082 处，该位置的最小疲劳寿命值为2.134E+07。进一步分析可知，图8 中椭圆框选区域为齿轮齿条接触面，由于在啮合区域产生齿面相对滑移时间较长，且在该过程中产生的集中应力较大，因而在该区域容易发生疲劳损伤，造成疲劳失效。

由图9 可明显看出，在靠近分度圆附近区域，存在许多灰色点状，表明该位置疲劳损伤最为严重，最大疲劳损伤值为4.687×10-8，远小于1。综合上述分析，可通过热处理工艺改善齿面的渗透厚度降低齿面摩擦系数以及减少应力集中，有效延长齿轮齿条使用寿命。

图9 动载荷条件下齿轮齿条的疲劳损伤云图Fig.9 Fatigue damage cloud diagram of rack and pinion under dynamic load

3.3 不同输入参数对齿轮齿条疲劳的影响

齿轮与齿条啮合，齿间啮合时的摩擦系数、齿轮输入转速及负载严重影响齿轮齿条的疲劳特性。齿间接触面的摩擦系数越大，产生的接触应力越大，造成接触面的磨损也越严重[10]；齿轮的输入转速影响齿间啮合频率，输入转速值越大，轮齿间接触面接触的时间越小，产生的接触应力越大；负载是齿轮齿条啮合过程中的阻力，负载值越大，运动阻力越大，啮合时齿面接触力越大，产生疲劳破坏的可能性就会增加。

为研究接触摩擦系数、齿轮转速、负载对齿轮齿条动态特性的影响，设定摩擦系数为0.1、0.2、0.4、0.6、0.8，转速为1.5、2.0、2.5、3.0、3.5 rad/s，负载为1 000、1 500、2 000、2 500、3 000 N，研究齿轮齿条啮合过程中的动态特性，结果如图10所示。由图10（a）可见，当齿间摩擦系数增大时，齿轮与齿条受到的等效应力逐渐增大，当摩擦系数为0.1～0.4μm 时，等效应变化较为缓慢，增加率约为33.8 MPa；摩擦系数为0.4～0.8μm 时，齿间产生的等效应力呈线性增加，增加率近149.6 MPa。不同转速对齿间产生的等效应力也不同，低转速下齿间啮合产生的等效应力变化不大，在较高转速运行条件下，产生的疲劳等效应力增加较为明显。

图10 不同输入条件下的齿轮齿条啮合性能Fig.10 Meshing performance of rack and pinion under different input conditions

由图10（a）明显看出，随着负载的增加，齿间产生的等效应力增加呈线性变化，负载每增加500 N，等效应力增加近62.11 MPa。由图10（b）可见，齿轮转速对齿轮齿条产生疲劳循环次数的影响最明显，负载和摩擦系数的影响较小，在输入参数为0.8μm、3.5 rad/s、3 000 N 时，对应的疲劳循环次数分别为1.31E+04、2.85E+05、2.29E+06 次。由图10（c）可知，低输入参数值对齿轮齿条产生的疲劳损伤值较小，当输入参数值逐渐增加时，产生的疲劳损伤逐渐增加，在摩擦系数为0.8μm 时，最大疲劳损伤值为6.86×10-6，这是由于齿轮齿条啮合表面的粗糙度越大，啮合时造成的磨损越严重，转速对齿轮齿条疲劳损伤的影响程度次之，最小为负载。

综上分析可知，为提高齿轮齿条的动态特性，增加其使用寿命，在满足疲劳设计时，可对齿轮表面进行处理，降低摩擦系数，同时降低齿轮转速以及减少负载，可有效提高齿轮齿条的动态性能。

4 结论

（1）利用有限元分析软件对齿轮齿条传动机构进行瞬态动力学分析，当处于平稳运行时，齿轮齿条接触啮合时产生的最大等效应力值均小于其材料屈服应力，满足强度设计要求。

（2）齿轮齿条在动载荷下，接触应力最大值位于齿面分度圆的过渡区域，该区域齿面接触时产生的相对滑移时间最长，应力较为集中，此区域产生的疲劳损伤最严重。

（3）通过ANSYS 与nCode 联合疲劳仿真分析，得出在动载荷条件下，摩擦系数对齿轮齿条产生最大等效应力影响较大，转速变化对疲劳循环的影响较为明显。