考点早知道,知识全掌握
——基于函数模块的应用

■江苏省海门中学 陆莉婷

函数是贯穿整个高中数学知识体系的一条主线,成为历年高考数学试卷中的一大重要知识点与考查点。函数模块的考查,是基于基本初等函数,借助函数的概念、定义域与值域,函数的表示与图像,函数的基本性质,分段函数与抽象函数,函数的零点与函数的实际应用等各个方面,从不同知识点来切入与设置。下面结合2023年高考真题,就函数模块的常见考点加以剖析,使同学们对高考考点早知道,函数知识全掌握。

一、函数的定义域或值域

例1(2023 年高考数学上海卷·5)已知f(x)=则f(x)的值域是____。

分析：根据题设条件,通过分段函数对自变量在不同情况下确定对应函数的取值情况,综合归纳来确定函数的值域。注意分段函数场景下的函数值域是各自情况下的函数值域的并集。

解：当x＞0时,f(x)=2x＞20=1;

当x≤0时,f(x)=1。

综上可知,函数f(x)的值域为[1,+∞)。

点评:求解函数的值域问题,可根据函数的解析式,结合一些常见的值域求解方法来分析与处理。这里涉及分段函数的值域问题,要注意分类讨论,并与集合的运算加以联系与综合。

二、函数的图像

例2(2023 年高考数学天津卷·4)函数f(x)的图像如图1所示,则f(x)的解析式可能为( )。

图1

分析：根据题设条件,借助函数的图像的对称性来确定函数的奇偶性,由此排除一些不满足条件的选项;在此基础上,借助函数的图像与y轴的交点坐标,可得f(0)=5,又可以进一步排除不满足条件的选项,从而达到目的。

解：由图1可知,函数f(x)的图像关于y轴对称,所以函数f(x)为定义域上的偶函数,由此可以排除选项A、B;而f(0)=5,由此可以排除选项C。……