“集合和常用逻辑用语、函数、导数及其应用”跟踪练习参考答案

一、单选题

1.B 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C

7.C 8.A 9.D 10.A 11.D 12.D

13.C 14.D 15.D 16.D 17.C

18.C 19.D 20.C

二、多选题

23.AD

24.AD 提示:由f(x)的图像关于x=2对称可得f(x+4)=f(-x),再由f(x)为偶函数可得f(-x)=f(x),故f(x)=f(x+4),即f(x)的周期为4,故A 正确。当x∈[0,2]时,由f(x)=x2可得f(x)在[0,2]上单调递增,故f(x)在[8,10]上单调递增,故B 错误。又f(0)=0,f(2)=4,故f(x)的值域为[0,4],故C 错误。在同一坐标系下画出函数y=f(x)与y=4loga(x+5)(a＞1)的图像,如图1所示。由图可知,要使y=f(x)与g(x)=4loga(x+5)在[-4,6]上恰有5个不同交点,只需解得7＜a＜11,即a的取值范围为(7,11),故D 正确。

图1

三、填空题

26.1 27.8 28.24x-y-32=0

29.-1或1 30.①②③ 31.(-∞,0)

32.[1,+∞) 33.m≤-1或m＞

34.6 35.4 36.3 37.3

43.②③④ 提示:因为f(x)=x(x-3)2,所以f'(x)=3x2-12x+9=3(x-3)·(x-1)。令f'(x)＞0,解得x＞3或x＜1,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,1)和(3,+∞);令f'(x)＜0,解得1＜x＜3,所以f(x)的单调递减区间为(1,3)。又f(0)=0,f(3)=0,f(1)=4,故f(x)(x≥0)的图像如图4所示。设f(a)=f(b)=f(c)=t,则0＜t＜4,0＜c＜1＜b＜3＜a＜4,故①错误。又f(x)-t=(x-a)(xb)(x-c),故x(x-3)2-t=(x-a)(x-b)(x-c),即x3-6x2+9x-t=x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc,对照系数得a+b+c=6,故③正确。abc=t∈(0,4),故④正确;因为3＜a＜4,所以3＜6-(b+c)＜4,解得2＜b+c＜3,故②正确。

图4

四、解答题

45.(1)由x2-7x-18≥0,解得A=(-∞,-2]∪[9,+∞)。

由4-3x-x2＞0,解得B=(-4,1)。

由∁UA=(-2,9),可得(∁UA)∩B=(-2,1)。

(2)因为A∩C=C,所以C⊆A。

当C=∅时,m+2≥2m-3⇒m≤5;

当C≠∅时,可得或解得m≥7。

综上可得,实数m的取值范围为(-∞,5]∪[7,+∞)。

46.(1)若p为真命题,则m≤x2-2x在x∈[0,2]上恒成立。因为当x∈[0,2]时,(x2-2x)min=1-2=-1,所以m≤-1,即实数m的取值范围为(-∞,-1]。

(2)对于q,当x≥0 时,2x+3≥1+3=4,要使2x+3=m成立,只需m≥4即可,即m∈[4,+∞)。

由于p,q只有一个为真命题,则可以分类讨论:

当p真q假时,由得m≤-1;

当p假q真时,由得m≥4。

综上所述,实数m的取值范围为(-∞,-1]∪[4,+∞)。

47.(1)由题意易知,f(-x)=f(x),则[f(-x)]'=[f(x)]',即-f'(-x)=f'(x),故f'(x)为奇函数,故g(x)=为奇函数。

因为f(x)+g(x)=2x+1,所以f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=2-x+1,两式相加得f(x)=2x+2-x,所以g(x)=2x-2-x。

(2)由2[f(x)]2-3g(x)≤8,可得2(2x+2-x)2-3(2x-2-x)≤8,所以2(22x+2+2-2x)-3(2x-2-x)≤8,即2[(2x-2-x)2+4]-3(2x-2-x)≤8。

(2)因为f(mx2-1)+f(2-mx)＞0,所以f(mx2-1)＞-f(2-mx),因为f(x)为奇函数,所以f(mx2-1)＞f(mx-2),所以mx2-1＞mx-2,即mx2-mx+1＞0。

①当m=0 时,不等式为1＞0 恒成立,符合题意;

②当m＞0时,有Δ=m2-4m＜0,解得0＜m＜4。

综上可得,实数m的取值范围为[0,4)。

当b≤0时,f'(x)=-x2+b≤0,此时f(x)在R上单调递减,f(x)在R上只有1个零点,不合题意。

所以实数b的取值范围是(0,+∞)。

当a=2,b=-3 时,f(x)=+2x2-3x-6,f'(x)=-x2+4x-3。令f'(x)=-x2+4x-3≥0,解得1≤x≤3,易知x=1是f(x)的极小值点,与题意不符。

当a=-2,b=5 时,f(x)=-2x2+5x-10,f'(x)=-x2-4x+5。令f'(x)=-x2-4x+5≥0,解得-5≤x≤1,易知x=1是f(x)的极大值点,符合题意。

故a=-2,b=5。

因为x∈[-1,3],所以f(x)在[-1,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减。

50.(1)已知f(x)=lnx-kx+1,求导得f'(x)=-k(x＞0)。

当k≤0时,f'(x)≥0 恒成立,f(x)无极值;

综上可得,当k≤0 时,f(x)无极值;当k＞0时,f(x)有极大值=-lnk,无极小值。……