一类退化中心附近的Melnikov展开式

尚德生

(山东理工大学 数学与统计学院，山东 淄博 255049)

平面动力系统分支理论研究中的一个重要的课题就是中心型奇点附近的极限环分支研究。当一个平面系统的奇闭轨是同宿或异宿于双曲鞍点时,已经有比较完善的理论和应用成果[1-3]。当奇闭轨是同宿或异宿于非双曲鞍点,或者更加复杂的退化奇点(如退化鞍点或尖点)时的分支研究,却非常复杂。对于奇点是幂零鞍点和幂零尖点的情形下的奇闭轨分支,已有比较系统的讨论[2,4-5],并陆续对不同类型的相关微分系统作了讨论和应用[6-8]。对更进一步的退化奇点情形的同宿或异宿分支问题,文献[9]对退化尖点环附近的Melnikov函数展开式作了一些探索。虽然中心奇点附近的极限环分支研究成果非常丰富,但是主要集中于初等中心附近的Hopf分支研究,对非初等中心附近的分支问题研究却比较困难,学者利用Melnikov函数法讨论了幂零中心附近的展开及应用[10-11],对于幂零奇点的分类也给出了相应的讨论[12]。

本文在文献[2,5,9-10]的启发下,对一类退化中心附近的Melnikov函数的展开式进行探讨,并对m=1,n=1或2的情况,给出比较直观的结果。

考虑微分系统

(1)

式中p(x,y),q(x,y) 为x,y的多项式。

假设在ε=0时,对应的Hamilton系统:

(2)

相应的Hamilton函数H(x,y)=h满足H(x,y)=H1(x)+H2(y),且H1(x),H2(y)满足:

说明:i)当m=n=1时,原点是未扰系统(2)的初等中心;ii)当m,n中一个等于1,另一个大于1时,原点是系统(2)的幂零中心;iii)当m,n都大于1时,原点是系统(2)的退化中心。

不失一般性,假设H1(2m)(0)>0,H2(2n)(0)>0,而且未扰系统(2)存在围绕原点(0,0)的一簇周期闭轨Lh,h∈Jα=(0,α),其中α>0。由假设,不妨设H1(y),H2(x)满足: