高考中关于函数的命题动向分析

■西北师范大学附属中学 缑小锋

函数作为高中数学内容的一条主线,对整个高中数学的学习有着重要的意义,每年高考卷都将其作为必考题,出现在选择题或填空题中,常以基本函数、基本函数组成的复合函数及抽象函数为载体,对函数内容和性质进行考查,考查的内容有函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、图像等,且常与导数、不等式、方程等知识交汇命题,考查数形结合、分类讨论、转化与化归和函数与方程等思想方法。本文着重梳理高考中函数四大性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)的命题方向分析。

一、函数的单调性及其应用

1.利用单调性求复合函数的单调区间

2.利用单调性求函数的值域

在利用函数的单调性求函数的值域时应先判断函数的单调性,再求值域。

例2已知函数f(x)为定义在R上的单调函数,且f(f(x)-2x-2x)=10,则f(x)在[-2,2]上的值域为____。

解析：因为f(x)为定义在R上的单调函数,所以存在唯一的t∈R,使得f(t)=10,则f(x)-2x-2x=t,所以f(t)-2t-2t=t,即f(t)=2t+3t=10。因为函数y=2t+3t为增函数,且22+3×2=10,所以t=2,f(x)=2x+2x+2。易知f(x)在[-2,2]上为增函数,且f(-2)=,f(2)=10,故f(x)在[-2,2]上的值域为。

3.利用单调性求参数的范围

利用函数的单调性求参数时,通常要把参数视为已知数,依据函数的图像或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较,利用区间与端点之间的关系求参数。同时注意函数定义域的限制,遇到分段函数时要注意分点与左右端点处的函数值的大小关系。

例3已知函数f(x)=满足对任意的实数x1,x2,且x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)＜0,则实数a的取值范围为( )。

例4已知函数f(x)=loga(x2-ax+3)在[0,1]上是减函数,则实数a的取值范围为( )。

A.(0,1) B.(1,4)

C.(0,1)∪(1,4) D.[2,4)

4.利用单调性比较函数值的大小

对于比较函数值大小的问题,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决。

二、函数的奇偶性

函数的奇偶性有如下结论:奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶;奇×(÷)奇=偶;奇×(÷)偶=奇;偶×(÷)偶=偶。复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原则:外奇内奇为奇;外奇内偶为偶;外偶内奇为偶;外偶内偶为偶。

1.函数的奇偶性的判断

在解决函数的单调性与奇偶性相结合的问题时,要注意函数的单调性和奇偶性的定义,以及奇偶函数图像的对称性。

例6下列函数中,既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( )。

A.y=lgxB.y=

C.y=2|x|D.y=tanx

解析：对于选项A,y=lgx的定义域为(0,+∞),不关于原点对称,所以为非奇非偶函数,故选项A 错误;对于选项B,f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又因为f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数,但在区间(0,1)上单调递减,故选项B错误;对于选项C,f(x)=2|x|的定义域为R,关于原点对称,又因为f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故选项C 错误;对于选项D,f(x)=tanx,由正切函数的性质可知f(x)=tanx为奇函数,且在区间(0,1)上单调递增,故选项D 正确。故选D。

2.已知函数的奇偶性求参数

例7若函数f(x)=log2(16x+1)-ax是偶函数,则loga2=________。

解析：因为f(x)为偶函数,定义域为R,所以对任意的实数x都有f(x)=f(-x),即log2(16x+1)-ax=log2(16-x+1)+ax,所以2ax=log2(16x+1)-log2(16-x+1)=log216x=4x,由题意知该式对任意的实数x恒成立,所以2a=4,解得a=2,所以loga2=1。

例8已知函数f(x)=2x2+ax+2,若f(x+1)是偶函数,则a=________。

解析：因为f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),即2(-x+1)2+a(-x+1)+2=2(x+1)2+a(x+1)+2,即8x=-2ax,解得a=-4。

3.已知函数的奇偶性求表达式、求值

三、函数的对称性与周期性

1.函数的对称性与周期性的关系

(1)若函数y=f(x)关于直线x=a对称,则f(a+x)=f(a-x);

(2)若函数y=f(x)关于点(a,b)对称,则f(a+x)+f(a-x)=2b;

(3)函数y=f(a+x)与y=f(a-x)关于y轴对称,函数y=f(a+x)与y=-f(a-x)关于原点对称;

(4)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a,x=b(a＜b),则函数f(x)是周期函数,且周期T=2(b-a);

(5)若函数y=f(x)的图像有两个对称中心(a,c),(b,c)(a＜b),则函数y=f(x)是周期函数,且周期T=2(b-a);

(6)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a＜b),则函数y=f(x)是周期函数,且周期T=4(b-a)。

例11定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(4+x)=0,f(2+2x)是偶函数,f(1)=1,则下列结论错误的是( )。

A.f(x)是奇函数

B.f(2 023)=-1

C.f(x)的图像关于直线x=1对称

解析：对于选项A,因为f(2+2x)是偶函数,所以f(2-2x)=f(2+2x),所以函数f(x)关于直线x=2 对称,所以f(-x)=f(4+x),因为f(x)+f(4+x)=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,则选项A 正确;对于选项B,因为f(4+x)=-f(x),所以f(8+x)=-f(4+x),所以f(8+x)=f(x),所以f(x)的周期为8,所以f(2 023)=f(253×8-1)=f(-1)=-f(1)=-1,则选项B正确;对于选项C,若f(x)的图像关于直线x=1对称,则f(3)=f(-1),但是f(-1)=-f(1)=-1,f(3)=f(1)=1,即f(3)≠f(-1),这与假设条件矛盾,则选项C 错误;对于选项D,将x=代入f(2-2x)=f(2+2x),得f(3)=f(1)=1,将x=1 代入f(x)+f(4+x)=0,得f(5)=-f(1)=-1,同理可知f(7)=-f(3)=-1,又因为f(x)的周期为8,所以f(x)的正奇数项的周期为4,所以=f(1)+2f(3)+3f(5)+…+100f(199)=[f(1)+2f(3)+3f(5)+4f(7)]+[5f(9)+6f(11)+7f(13)+8f(15)]+…+[97f(193)+98f(195)+99f(197)+100f(199)]=25×(-4)=-100,则选项D 正确。故选C。

2.类周期函数

若y=f(x)满足:f(x+m)=kf(x)或f(x)=kf(x-m),则y=f(x)的横坐标每增加m个单位,函数值就扩大k倍。此函数称为周期为m的类周期函数。

例12定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x,若当x∈[-4,-2]时,f(x)≥恒成立,则实数t的取值范围为( )。

3.抽象函数的单调性、奇偶性、周期性

例13已知f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2,有＞0,若f(1)=0,则不等式(x-1)f(x)＞0的解集是( )。

A.(-1,1)∪(1,+∞)

B.(-1,1)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞)

D.(-∞,-1)∪(0,1)

例14已知函数f(x)对任意的实数x都有f(x+4)-f(x)=2f(2),若y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称,函数f(x)对任意的实数x1,x2∈(0,2),且x1≠x2,都有＞0,则下列结论错误的是( )。

A.f(x)是偶函数

B.f(x)的周期T=4

C.f(2 022)=0

D.f(x)在(-4,-2)上单调递减

解析：由y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称,则f(1+x-1)=f(1-x-1),即f(-x)=f(x),故f(x)是偶函数,所以A正确;由f(x+4)-f(x)=2f(2),可令x=-2,得f(2)=0,则f(x+4)=f(x),故f(x)的周期T=4,所以B正确;f(2 022)=f(4×505+2)=f(2)=0,所以C 正确;又f(x)在(0,2)上单调递增,则f(x)在(-2,0)上单调递减,由周期T=4,知f(x)在(-4,-2)上单调递增,所以D 错误。故选D。

四、函数性质的综合

例15已知函数f(x)=ex-2+e2-x+2x2-8x+7,则不等式f(2x+3)＞f(x+2)的解集为( )。

解析：由函数f(x)=ex-2+e2-x+2x2-8x+7=ex-2+e2-x+2(x-2)2-1,所以f(x+2)=ex+e-x+2x2-1。令g(x)=f(x+2)=ex+e-x+2x2-1,可得g'(x)=exe-x+4x。令h(x)=g'(x)=ex-e-x+4x且h(0)=0,可得h'(x)=ex+e-x+4＞0在(0,+∞)上恒成立,所以h(x)＞h(0)=0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增。又因为g(-x)=e-x+ex+2(-x)2-1=ex+e-x+2x2-1=g(x),所以函数g(x)为偶函数,则在(-∞,0)上单调递减。又由f(2x+3)＞f(x+2),即g(2x+1)＞g(x),即|2x+1|＞|x|,整理得3x2+4x+1＞0,解得x＞或x＜-1,即不等式f(2x+3)＞f(x+2)的解集为(-∞,-1)∪。故选B。

例16设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意的x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立,则实数a的取值范围为( )。

同学们在备考函数知识时应以常见的选择题和填空题为主进行训练,考查难度的跨度大,既有容易题,也有中档题,更有困难题,而且常考常新。其中指数函数、对数函数、幂函数,以及一次函数、二次函数的图像和性质是基础,要求同学们在理解的基础上熟练掌握这些函数的图像和性质,准确把握函数概念和性质的本质,会处理分段函数与抽象函数的相关问题,会识别函数图像的变化。同时,指对函数的运算也是常考查的知识点,同学们应加强对公式的理解及应用的训练。