剖析知识本质，突破思维障碍

张效会

［摘  要］ 数学思维对学生的认知发展具有重要影响。研究发现，学生在数学思维上的障碍主要体现在注意、理解、记忆、表征、推理、迁移等诸多方面，它的成因不仅与心理作用机制有关，还与焦虑等非认知因素有着密切的联系。文章以“画高”的思维障碍为例，具体谈谈如何剖析知识本质，帮助学生突破认知障碍，实现数学能力的提升。

［关键词］ 思维；认知；画高

认知是机体认识并获取知识的过程，与学习、语言、记忆、思维、情感等一系列心理与社会行为相关［１］。大脑皮层功能是认知的基础，任何导致大脑皮层功能或结构异常的因素，都有可能导致学生出现认知偏差，从而产生思维障碍。

小学数学几何中，画高是一项重要内容，对学生的认知要求比较高。学生对这部分知识的认识对后续几何的学习有直接的影响。在实际操作中，学生常常存在一定的思维障碍，难以准确、熟练地画高。鉴于此，笔者结合学生的思维特点，对“画高”教学进行了研究，并取得了一些成效。

一、常见问题分析

教学中，笔者发现学生在画高的过程中存在一定的思维障碍。比如，最常见的平行四边形与梯形的高，如果底边为水平的状态（如图1），学生基本能正确操作；然而一旦出现底边不处于水平状态时（如图2），有些学生就无从下手了。更有甚者，在教师已经教会学生怎样画出底边不在水平位置图形的高时，若将图形旋转一下，学生就无所适从了。

类似的现象在画三角形的高时也会出现：有些学生在画三角形水平边上的高时得心应手，但是画其他两条边上的高时错误百出。如图3所示，类似错误常有发生，这是学生对知识本质不理解的写照。究竟是什么原因致使学生不能精准地画出高呢？这是一个值得思考的问题。纵观小学数学涉及的几何图形，分别有三角形、平行四边形与梯形等。教材对每一种图形都给出了明确的定义，并确切指出这些图形的高。

细细品读这些定义，发现这三类图形的高的实质是：从直线外的一点画已知直线的垂线段。基于这个理解，反观以上图形的高，从理论上来说，不论图形如何摆放，学生都应该能顺利画出图形的高。然而事实上，学生的实际操作效果并不理想。这是为什么呢？或许图4能带给人们一些启发。

观察图4，人们发现作三角形底边上高与过直线外一点作垂线段的操作方法是一样的，学生在实际操作中觉得过一点画一条直线的垂线段比较简单。出现这种现象的主要原因有两点：一是画三角形的高时，受另外两条边的干扰，出现了视觉偏差与概念模糊的现象；二是学生没有从本质上掌握画三角形的高的原理，未能将这两个图形融会贯通。

基于以上分析，教师要解决学生的认知障碍，就要帮助学生理解知识的本质特征，避免视觉偏差与概念模糊对画高的干扰。

二、问题解决办法

1. 重基础，抓本质

概念学习时，学生受思维定式的影响，对自身原有的认知经验有较大的依赖性。例如建构垂直的概念时，不少学生就会受认知结构中“竖直”的干扰，形成认识上的偏差。作各类图形的高，其本质就是过点画直线的垂线段。教师在授课时应有意识地给予“垂直”一定的刺激，让学生打牢概念基础，对高产生深刻理解与认识。

然而，即使教师着重夯实基础，不少学生在理解高的概念时，依然会受竖直概念的影响。从这个角度来看，要解决画高的认知障碍，关键还得从知识本质着手——画垂线段。

心理学认为：想要抽象一个概念，需要大量广泛熟悉的事物作为支撑才能完成。变式的应用主要是从不同的视角，将感性材料重组，将事物的非本质属性特征加以变化，通过各种不同的表现形式，凸显事物独有的本质特征，让学生从多维度认识并理解概念，达到灵活应用的程度。由此可见，想要抓住知识的本质，需要做好以下两点：

（1）从大量广泛熟悉的事物着手

众所周知，垂线段的本质与“画垂线”有着密不可分的联系。教师在授课时常常带领学生从图5中认识什么是垂线段，并通过测量发现垂线段是众多线段中最短的一根，它所反映的是点到直线最短的距离。从心理学的角度分析，基于这个理解，并不能满足学生在抽象概念时所需要的从“大量广泛熟悉”的事物着手的观点。

其实，在此环节中从学生的认知经验出发，结合学生所熟悉的事物，创设教学情境，往往能起到较好的教学效果：如图6所示，若想测量这棵香樟树到马路的最短距离，大家准备怎么测量？

学生经过思考、分析与交流，初步体验到香樟树与马路为垂直关系的线段最短，且这条最短的线段只有一条。此时教师不要着急揭晓结论，可以借助这个情境，顺着学生的思维继续演练，比如添加铺设煤气管道、修筑排水系统等问题，引导学生逐步抽象出1个点和1条直线间的垂线段。

这种重基础、抓本质，从大量广泛熟悉的事物着手的教学方式，不仅能强化学生对基础概念的理解，帮助学生精准地绘制垂线段，还能为学生后期接触到各类图形的画高问题奠定基础。比如，图6的应用，就是为三角形、梯形与平行四边形画高夯实基础。

（2）从各个角度组织感性材料

从以上分析来看，畫图形的高，可以理解为过点画直线的垂线段，那么引导学生感知、体悟垂线段则是教学的重点内容之一。若将目光仅仅停留在一点一线的问题上，则学生的思维将难以打开。因此，教师应适当地添加一些可以从不同角度来看待与分析的感性材料，以拓宽学生的视野，培养学生的发散性思维。

问题：有1块三角形的草地，若想从一个顶点到对面的那条边上修1条最近的路，该怎么修呢？

从这个问题的表面来看，是练习画垂线段的问题，一般学生都会将目光锁定在问题中的“顶点”与三角形对面的边上，很少有学生会受三角形其他两条边的干扰。解决此问，学生基本没有问题。透过现象看本质，本题的实质是画三角形的高，这个问题情境的利用，显然提高了学生的正确率，这为后期深化理解画三角形的高做好了铺垫。

2. 重体验，深理解

（1）注重操作体验，获得深刻理解

皮亚杰提出：“空间观念的形成与解题不一样，若想建立空间观念感，动手操作必不可少。”［２］鉴于此，教师应从理念上明白，引导学生正确画出各类图形的高，不仅是解决了一个问题，还是帮助学生建立空间感的过程。

儿童对几何的认识与成人有着显著区别，成人对几何的认识以公理体系作为起点，而儿童却以自身的经验作为对几何认识的起点。这就决定了在讲授各类图形的高的问题上，教师不应从抽象的概念、定义着手教学，应从学生的生活经验与认知结构着手，引导学生从实际操作中进行构造。

学生结合自身原有的认知经验与操作活动进行各类图形高的探索，不仅可以积累丰富的学习经验，还能形成完整的表象，更好地理解平面图形中高的本质与内涵。

比如“三角形高”的教学，教师可以引导学生进行如下操作：将1个三角形剪成2个直角三角形；平行四边形的高，可以引导学生将平行四边形剪拼为最大的长方形等。

在学生完成操作后，教师可引导学生完成类似三角形草坪等问题，鼓励学生通过画一画，深化对“点到直线（对边）”的认识与理解，从而对高的表象产生深刻印象，高的概念会在学生自主操作、观察与体验中自然而然地形成。

（2）注重变式练习，强化经验

学生在画高的过程中，因受思维定式的影响，视觉效果被邻边干扰而出现概念模糊的现象。想要纠正这种偏差，最好的办法是教师引导学生动手操作，学生一旦对高的表象建立了良好的认知，那么在之后的应用中就能灵活变通。

比如对平行四边形的高有了明确的认识后，教师可以带领学生找一找图形的高，鼓励学生通过眼睛看、尺子量与动手摆等方式进一步理解平行四边形的高。通过手脑并用，学生能深切体会高与“竖直”之间存在怎样的区别，以摆脱思维定式的负面影响。

3. 扣根本，获技能

奥苏贝尔提出：“所有新知的建构，都是在学习者原有的经验基础上而建立，新知的获得与原有认知经验有着密切的联系。”因此，教学时教师应从知识的本源抓起，结合学生对“高”的认知经验开展活动。

紧扣知识本质与学生的认知经验是突破学生思维障碍的根本，若从建构主义学的角度与心理学的角度来看，以上所有活动的开展都是在探寻高的本质，找出画高的核心思想，为实际操作奠定基础。鉴于此，教师对待画高的问题上，可从以下几点出发：

（1）从生活中找知识原型，掌握画高原理

画垂线段是画高的核心与本质，它的生活实际价值在于用来解决最短距离的问题。画高方法的教学，切忌简单机械的技能训练与重复练习，而应引导学生回归生活，从学生原有的认知经验出发，从他们的生活实际中找出知识的原型。

比如，学生在充分认识并体验了平行四边形的高的相关知识后，教师可创设一定的生活情境，鼓励学生将三角形转化为平行四边形；也可以创设小学生感兴趣的童话情境，如图7所示：有1只蜗牛想从点A处爬至平行四边形的对面，请为蜗牛设计1条最近的爬行路线。

面对这个问题，学生经过思考与讨论，设计出了两种爬行方法：一种为铅垂法，一种为斜着画法。对于铅垂法，教师可以提出问题：“这么画的理由是什么？”引导学生根据这个问题，逐步深入地思考这么画的原理，让学生在思考与分析中，自然而然地将画高的方法与画垂线段的方法联系起来。对于学生的这种想法，教师应及时给予肯定。

对于斜着画的方法，教师可以引导学生进行类比，让学生自主发现画高原理其实并没有发生变化，也就是说平行四边形的高，不论朝哪个方向去画，核心思想都是从直线外的点画已知直线的垂线段。在此，教师可借助几何画板等工具，擦除点A的邻边，将问题直接抽象成点与直线的位置关系，让学生从思想上实现画高方法的融会贯通。

以上教学过程，只是进行原理沟通的基本方法。除此之外，教师还可以要求学生直接画平行四边的高，并提出：“画平行四边形的高与之前所接触过的什么知识比较接近？”随着此问的探索与解决，学生能够抽象出画高的原理与本质。

（2）强化学生的技能训练，获得操作能力

技能是指通过一定的练习，能完成一定的任务。技能学习与知识的学习相比，显得更加复杂，程序更多，技能不仅包括对动作认识，还存在对动作的实际执行等问题［３］。基于此，画高作为一种作图技能，显然比理论知识的教学更复杂，技能训练一般可从以下两方面进行：

一方面，基于基本认识的训练，就是理解与操作结合的训练，教师引导学生边理解边操作，边操作边理解。例如，要求学生用三角板画高前，可以添加说一说、指一指高的位置的环节，帮助学生从认知上建立准确的概念，然而后执行操作，可有效减少失误的发生。

另一方面，基于执行的技能训练，技能属于一种动作，以程序化的操作为表现。在三角形画高中，主要体现在如何摆放三角板上。当学生对画高的原理及方法有了明確的认识后，一定量的练习训练可强化学生的操作技能。

总之，学生想要突破思维障碍，提高画高能力，单纯地从操作着手无法达到相应的目的。学生只有从问题的本质出发，站在一定的高度，系统地看待并处理问题，通过切身感知与体验，才能从真正意义上突破思维障碍，掌握画高的技能，提升数学核心素养。

参考文献：

［１］ 朱智贤，林崇德. 思维发展心理学［Ｍ］. 北京：北京师范大学出版社，２００２.

［２］ 让·皮亚杰. 结构主义［Ｍ］. 倪连生，王琳，译. 北京：商务印书馆，１９８４.

［３］ 科斯塔，卡利克. 思维习惯［Ｍ］. 李添，赵立波，张树东，胡晓毅，等译.北京：中国轻工业出版社，２００６.