让知识自然生长

王梅英

［摘 要］以“找次品”同课异构教学研讨中产生的困惑为源头，从教材中找到原型，关注教材中的数形结合、拓展板块，把它们作为重新设计教学的突破口，在课堂重构中研究出关于“找次品”教学的策略。

［关键词］结构化教学；教材分析；策略

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2023）20-0062-04

笔者近期参加了“缙云—富阳”两地名师课堂研训活动，研修内容是人教版教材五年级下册的“找次品”，活动形式为同课异构。在活动中，学生对“三分法”的理解引起了笔者的思考。

镜头一： 甲教师先以在81个乒乓球中找次品导入，引导学生化繁为简，即从3个乒乓球开始研究。学生通过摆小圆片以及用“如果……就……”句式表示推理過程。接着甲教师引导学生研究8个乒乓球，学生得出多种分法：8（4，4）、8（3，3，2）、8（6，1，1）。随即甲教师组织学生讨论。

师：从8个乒乓球中找次品，怎样分，找的次数最少？

生：把8个乒乓球分成3个、3个、2个，每份的数量均为质数。

镜头二：乙教师先直接以在3个零件中找次品导入，让学生在任务的驱动下，通过操作初步感悟“三分法”。接着研究在5个、8个零件中找次品。最后用问题“你觉得至少称的次数可能与什么有关？你知道怎么找了吗？”引导学生讨论。学生一致认为与分成的质数有关。

不同的教师、学生研究在8个物品中找次品的过程都比较顺利，且学生对“三分法”的体会如此相似，都认为至少称的次数与分成的每份的数量为质数有关。那么，到底是什么影响了学生的思维？难道仅仅是因为受刚学习的“质数”“合数”干扰吗？还是有其他深层次原因呢？对尽量均分成三份的策略，学生怎样才能理解更深刻？到底选择怎样的教学素材才更有探究价值？带着这些困惑，笔者开展了“找次品”第一课时的教学实践。

一、走进教材看本质——审读原型

1.梳理教材，寻教学“逻辑序”

（1）整体把握

“找次品”是“数学广角”的内容，而“数学广角”属于“综合与实践”领域。“综合与实践”是基于解决一些实际问题或经典题来获得思想方法的特色板块，旨在拓宽学生学习数学、应用数学的视角，强调思想方法与问题解决。“数学广角”注重数学思想方法的渗透（见表1），与数学核心素养表现中的符号意识、推理意识、数据意识和模型意识高度关联。

（2）内容梳理

找次品就是优化思想的体现。教材是这样编排的：先通过找3个物品中的1个次品，让学生初步认识找次品问题的含义，明确解决的基本方法；接着从8个零件中找1个次品，从各种解决方案中总结规律，再将规律应用到9个、10个、11个零件上加以验证，由此归纳概括找次品的最优方法。可以看出，教材是以操作为载体，综合了观察、猜想、验证、归纳、推理等活动，让学生理解“尽可能将待测物品平均分成3份”的合理性。

2.把握学情，诊学生“前经验”

五年级的学生已经具有一定的逻辑推理能力和综合运用所学知识解决问题的能力，但对于在生活中找次品的问题，学生之前很少接触，没有相关的学习与生活经验，再加上找次品内在规律的隐蔽性，一堂课下来，学生仍是一头雾水。笔者结合自身经验，猜测学生在找次品中可能存在以下困难，并在后续教学中也证实了一些推断。

（1）价值理解难。为什么尽可能平均分成3份，找的次数最少？天平明明只有2个盘，为什么要分成3份？

（2）清晰表达难。找次品需要借助天平平衡原理来推理，一旦数据稍微大一点，步骤就会比较多。天平平衡代表着什么？天平不平衡又代表着什么？学生难以清晰、有条理地表述。

（3）过程记录难。教材呈现的直观图、流程图、表格对学生来说稍显复杂，不易记录。

3.研读课标，思目标“精定位”

任何一个问题的解决过程都是一次极富挑战、极具魅力的数学探究之旅。在这一过程中，数学知识的获得、数学技能的提高、数学思想的熏陶、数学活动经验的积累都在悄悄发生。笔者时常思考一个问题：仅仅是让学生被动地接受一种被前人证明是便捷的解法，然后通过反复操练，就能解决所有同类问题了吗？

仔细研读2022年版的课标后，笔者认为，找次品问题就为落实“四基”这一多维目标提供了很好的载体。在解决找次品这一问题的过程中，学生能清晰表达数学思维的过程，理解和掌握基本的逻辑推理和化归思想方法，通过“比较—猜想—验证”发现数学结论，从而全方位提高数学素养。

二、另辟蹊径找突破——探寻关键

通过系统解读教材、预估学情、学习课标，对于研讨活动中出现的问题笔者已有了心理准备。教材的编排层层递进，以学生原有知识为起点，但落实到课堂教学中，笔者发现有两个不足之处：一是忽视了学生认知水平的差异；二是忽视了数学语言符号的简洁性。这两个不足，并不是说教材完全没有考虑到，而是教师会忽略有关情况。如果教师能够充分关注，并加以挖掘，便能使找次品最优策略的教学更加流畅。

1.关注教材中的数形结合

虽说“数缺形时少直观”，但是如果“形”的运用反而让学生感觉复杂，那么对于这个“形”，教师就需要斟酌。教材给出直观图加以引导，让学生记录找次品的思维过程（如图1），再让学生把不同的方案记录在表格中（如图2）。研读教材后会发现，这样的表达并不简洁，的确需要教师进行再加工，帮助学生在找次品过程中建立清晰的路径。

2.关注教材中的拓展板块

每一堂课都有其核心知识，若承载的东西太多，反而会影响学生思维的发展。教材第一课时的内容包括关于“所测物品数目”与“保证能找出次品至少需要称的次数”之间的关系以及探究规律（如图3），无形当中会让教师难以取舍：都取会使课堂超负荷，舍会让学生学得不完整。对此，笔者认为将探究规律放在第二课时会更好。

三、关联视角构体系——形成策略

找到了上述这些可突破的关键之处，对于找次品的教学，重新设计就有了策略——由简单到复杂，由特殊到一般，让学生在比较、猜想、验证的活动中逐步感悟“三分法”的价值，并总结提炼出找次品的一般方法。

1.巧用素材，分层推进

情境的延续性可以更好地唤起学生的旧知，激发他们用所学知识解决新问题的需求。为此，笔者对例题做了改进和优化，整节课均以在木糖醇中找次品为情境，研究数量按照“3—4—9—其他”路径推进（见表2），精心选取数据，明确选择每一个数据的意图，堅持从直观到抽象的探究之路，并将“三分法”一以贯之，从而实现有结构地教、有关联地学。

在本课核心环节中，笔者先放手让学生在9瓶木糖醇中找次品，探索出四种称法，即9（1，1，7）、9（2，2，5）、9（3，3，3）、9（4，4，1）。接着引导学生对比四种称法，结合前面在3瓶木糖醇中找次品的经验，讨论“为什么平均分成3份称的次数最少”这一核心问题，但不急于揭晓“三分法”的本质内涵，而是引导学生用更大的数据进行验证：“是不是任何数量都是平均分成3份称的次数最少呢？”最终顺水推舟再次放手让学生自主选择瓶数加以验证。学生选的瓶数有能平均分成3份的，也有不能平均分的。在对比多组材料后，学生讨论总结出找次品的最优策略，从而构建数学模型。物品数从3的二次方到不是3的次方数，从特殊到一般，引发了学生的认知冲突，激发探究欲望，激活了学生的深度思维，促使学生发现规律。

回顾镜头一、二中的教学场景，笔者认为学生之所以出现认知偏差，是学生的活动经验太少。学生仅仅研究了3个、5个、8个物品，教师就马上组织讨论，试图发现规律，却忽视了此时的学生还没能真正体会“三分法”的内涵，而且3个、5个、8个这些数量较小，不足以发现“三分法”的内涵，导致学生出现认知偏差。

2.提供支架，助力探究

逻辑推理是贯穿本节课始终的重要思想方法。在找次品过程中，前后步骤之间紧密相关，表述冗长且烦琐，那么，要怎样清晰、有条理地表示出逻辑推理过程？笔者提供了以下3个支架。

【支架1】小正方体

为避免学生形成思维定式，同时借助多元表征探索解决问题的策略，笔者让学生借助小正方体模拟找次品的过程，满足不同学生的思维需求，引导学生把操作与思维联系起来。

【支架2】记录表

在借助操作的基础上，教师需要提供给学生一块生长的基石，这样才能让学生找次品的经验真正生长。学生通过记录表的方式，从初级思维（见表3）跃升到高层次思维（见表4）。笔者尊重学生的个体差异，让学生自己尝试用直观图、流程图、文字或符号表示推理过程，让数学思维可视化。另外，通过集体交流，统一符号记录方式，使不同层次的学生以符号语言为依托，为研究更为复杂的找次品问题提供了保证。

【支架3】简易天平

学生在完成“想—做—写—说”的合作探究后，开展汇报交流环节。为强化数学思维过程的表达，笔者给学生提供了简易天平的教具（如图4）。

3.对比联结，厘清本质

无论待测物品能平均分成3份还是不能平均分成3份，找次品的内在规律是一样的。为了让学生深入理解“为什么尽量平均分成3份，称的次数最少”，笔者让学生先自主操作，再组织多次对比，引导学生充分经历“比较—猜测—验证”的探究过程。如在16个物品中找次品，分成（8，8）与分成（5，5，6）对比，分成（5，5，6）与分成（1，1，14）或其他三份对比，学生的思维在一次次对比中相互碰撞，消除了生活原型对数学模型建构的干扰。最终，学生在冲突中逐渐明白“最大限度排除，让次品所在的范围最小，称的次数就最少”，从分率上帮助学生

知识是长出来的，知识生长的过程是方法的习得、思维的培养、学科素养的落地生根。知识的生长必须借助教师对学情的把握和对教材的创造性使用。为未知而教，为未来而学。找次品教学如此，其他亦如此。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 斯苗儿.好课多磨[M].北京：人民教育出版社，2021.

[3] 吴亚萍.中小学数学教学课型研究[M].福州：福建教育出版社，2014.