基于PCA-杜芬方程的隧道围岩状态突变风险分析

王洪德,王晓晗

(1.大连交通大学 交通运输工程学院,辽宁 大连 116028;2.辽宁省隧道工程及灾害防控专业技术创新中心,辽宁 大连 116028;3.湖北交投鄂西高速公路建设管理有限公司,湖北 恩施 445002 )

在建隧道围岩情况复杂,容易引发各类灾害事故。针对这一问题,国内外学者开展了大量研究工作。董建新等[1]通过数值模拟研究了隧道掌子面前方的先行位移,掌子面挤出位移和掌子面后方的净空位移情况;梁庆国等[2]通过对39座隧道71个监测断面围岩的压力统计得出,围岩压力存在明显的时间效应,一般在隧道开挖40天左右趋于稳定;杨公标等[3]采用复变函数法和Schwarz交替法,分析验证了溶洞对隧道位移的影响;宋洋等[4]以强度折减为依据,建立了浅埋偏压小净距隧道仿真模型,得出当施工步骤为先行洞内侧上部、外侧上部开挖及后行洞核心土弧形导坑开挖时对围岩扰动相对较大;左清军等[5]通过对沪昆客运专线长昆湖南段姚家隧道的监测资料分析,总结出特大断面不同围岩级别下,隧道围岩径向位移的速率随时间和掌子面距离的变化规律;Moussaei等[6]通过硅砂物理模型模拟全断面圆形隧道,利用粒子图像测速技术对地表变形进行监测;Prassetyoa等[7]通过瞬态LDP方程研究了饱和地层沿隧道轴线的径向位移,掌握了掌子面背后的工作状态;Yertutanola等[8]采用RMR系统和GSI等岩体分类系统,获得了岩体抗剪强度和变形参数,发现随着覆盖层厚度和岩体风化程度的降低,位移曲线总体处于下降趋势。

影响围岩稳定性的因素众多且各因素相互耦合,已有研究大多从单一因素的影响分析入手。鉴于此,本文引入杜芬方程对开挖隧道围岩突变机理进行研究,并采用PCA方法找出对隧道围岩位移影响较大的相关因素,以期实现对开挖隧道围岩状态的及时掌控,并有针对性地采取必要措施加以防范。

1 隧道围岩状态突变机理分析

1.1 风险产生机理

隧道围岩状态的突变历经风险产生、发展和突变三个演化过程,故将隧道围岩状态突变分为:风险产生、风险发展和围岩状态突变三个阶段,突变演化见图1。

图1 突变演化机理

在隧道开挖前,围岩处于稳定状态,由于开挖对围岩的扰动,岩土自身平衡被打破,密实度、含水量、围岩应力状态、应力路径和孔隙率等发生改变,从而影响围岩强度、水位及变形特性,引起地面沉降、围岩失稳。通常情况下,一个围岩参数的变化,只会产生单一风险,围岩处于较为简单的线性变化状态。

1.2 风险发展机理

随着隧道开挖进度的推进,围岩受到的扰动逐渐增强,隧道开挖风险也由初始的单一风险逐步发展到复杂风险,这个过程称为风险发展。风险发展阶段,虽然围岩结构应力状态仍处于较稳定的状态,但开挖风险已从单一风险逐渐演变成多个风险,直至引起围岩状态突变,从而形成较为复杂的非线性变化过程。例如,随着围岩强度下降和变形形态改变等多因素作用,隧道围岩大变形的风险趋势增强,极易引发围岩状态的突变。

2 基于杜芬方程的突变风险分析

2.1 分析方程的可行性

杜芬方程是描述共振现象、调和振动、次调和振动、拟周期振动、概周期振动、奇异吸引子等混沌现象的数学模型。本文采用硬特性杜芬方程[9]来描述隧道围岩震荡状态,建立隧道围岩震荡方程:

(1)

式中:x为隧道围岩当前风险状态,该状态随时间变化而变化;t为隧道围岩所处时刻;k为隧道围岩自身抵御外界干扰能力项,本文用隧道围岩等级权重对其定量赋值[10];F为隧道围岩受到外界环境的影响项,本文用隧道围岩所处地质条件及其他自然因素权重表示[11];ω为外界干扰强度变化频率。

基于杜芬方程分析原理,描述隧道围岩系统状态的依据主要包括以下三点:

(1)隧道围岩状态的变化过程是一个受围岩内在因素和外部环境因素相互作用影响形成的一个复杂过程。影响围岩自身承载力和稳定性的内在因素,以及人因失误和所处环境等外在因素的相互作用,会造成隧道围岩状态函数呈不规则振动变化。从振动理论的分析角度,杜芬方程可用来描述这种非线性振动系统,该系统模型的非线性本质体现在方程右端的余弦函数cosωt。

(2)基于非线性理论,当系统的输出与输入不成正比关系时,则该系统称为非线性系统。隧道开挖过程中,其围岩参数监测信号的转化和传递是一个非线性的过程,杜芬方程含有的立方项x(t)3体现了其可用来描述非线性系统。

(3)突变理论主要用于研究系统从一种状态跃迁到另一种稳定状态的非连续变化现象。系统所处状态可用一组参数描述,当系统处于稳定状态时,表示该系统取到唯一极值;当参数在某区间范围内变化,且函数不止一个极值时,表示该系统处于不稳定状态。目前常见的突变模型是尖点突变模型。围岩外部干扰变化频率ω,可用尖点突变模型描述[12]:

(2)

根据式(2)可找到尖点位置,表明用杜芬方程可描述尖点突变现象。因此,可用杜芬方程来建立隧道围岩系统震荡方程,并依此导出围岩状态变化风险控制方程。

2.2 围岩突变风险控制

隧道围岩系统的状态突变,极易导致隧道垮塌、底鼓等事故。因此,控制开挖过程中的围岩状态不发生突变,是开挖风险控制的关键。首先,建立隧道围岩无调节反馈控制的震荡方程,并基于此方程推出该工况下的围岩分岔响应方程;然后,通过分别加入阻尼调节反馈控制和幅值调节反馈控制,推出两种情境下的隧道围岩分岔响应方程,即风险控制方程。加入阻尼调节反馈控制,旨在调节式(1)中围岩自身抵御外界干扰的能力系数k;加入幅值调节反馈控制,旨在调节式(1)外力影响系数F。

基于无调节反馈控制的围岩状态仿真,可直接观测到隧道围岩系统状态的突跳行为;而基于含阻尼调节反馈和幅值调节反馈的围岩状态仿真,则可观测到隧道围岩系统状态突变行为被抑制的过程,从而明晰隧道围岩状态变化机理。

2.2.1 无调节反馈控制的围岩状态变化风险控制

基于无调节反馈的隧道围岩震荡方程,可推出相应的系统分岔响应方程[13]。

首先,构建含时间t的非自治震荡方程:

x″+kx′+x+x3=Fcosωt

(3)

为便于分析,用多尺度法将其转换为不含t的自治系统,引入参数ε,则式(3)改写为:

x″+εkx′+x+εx3=εFcosωt

(4)

设式(4)的近似解为:

x(t,ε)=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)

(5)

式中:T0=t、T1=εt为独立的时间变量。记D0=∂/∂T0,D1=∂/∂T1,则时间变量导算子变为:

d/dt=D0+εD1

(6)

(7)

考虑主共振影响,即:

ω=1+εσ

(8)

将式(4)～式(7)代入式(3),展开得:

(9)

比较式(9)ε的同次幂,易得D0=i,其解:

(10)

将式(10)代入式(9)中得:

(11)

同时,为保证运算结果能获得周期解[14],令:

(12)

再设A的表达式为:

(13)

(14)

式中:r、θ为T1的实函数。

将式(13)、式(14)代入式(12),再由欧拉公式化简后得:

(15)

分离式(15)的实部与虚部,得平均方程:

(16)

令φ=θσT1,可得:

(17)

令等式右边为0,可得:

(18)

对式(18)合并化简,得到隧道围岩系统稳态解分岔响应方程为:

(19)

该方程是一个关于σ和r的隐式方程。式中,变量σ为周期激励频率与振子固有频率的接近程度,表示在开挖过程中隧道围岩受到的外界刺激频率与自身频率的接近程度;变量r为震荡值,表示围岩受到刺激的震荡幅值。若以σ为自变量,r为因变量对式(19)进行数值仿真,便可得到系统在没有任何控制措施下的系统震荡情况。当某一σ的取值对应多个r值时,则意味着系统中发生了状态突变。

2.2.2 含阻尼调节反馈的围岩状态变化风险控制

提高隧道围岩自身抵抗干扰能力是有效控制状态突变风险的方法之一。在式(3)中加入阻尼调节反馈控制函数u=εcx′,可得到:

ε(k-c)x″+x′+εx3=εFcosωt

(20)

推导式(20)可得到含阻尼反馈控制函数的分岔响应方程:

(21)

与式(12)相比,在阻尼系数k中加入一个控制参数c(代表影响隧道围岩系统阻尼的行为),阻尼系数因此变为k-c。再以σ为自变量、r为因变量对式(21)进行仿真,可得到隧道围岩系统在阻尼参数受到控制情况下的系统震荡情况。调节c的大小,当任一σ取值均对应单一r取值时,表示此时系统状态突变已被抑制,系统风险得到了控制。

2.2.3 含幅值调节反馈的围岩状态变化风险控制

降低外界环境对系统的干扰是另一个有效的系统风险控制方法,式(3)中加入幅值反馈控制u=εfcosωt可得:

x″+εkx′+εx3=εFcosωt

(22)

由此推导出含幅值反馈控制函数的分岔响应方程:

(23)

与式(19)相比,外激励系数中加入了一个控制参数f,表示隧道围岩系统受到外界干扰强度的行为,外激励参数变为F-f。

对式(23)进行仿真,可得到外激励系数受到控制情况下系统震荡情况。调节f的大小,当σ取任一值对应r的取值始终只有一个时,表示此时系统状态突变已被抑制,风险得到了控制。

2.2.4 PCA-杜芬方程可行性分析

杜芬方程可通过调整参数至临界值,检测微弱特征信号对系统状态的影响,敏感度较高,但受限于杜芬方程本身特性,无法将大量的参数同时用于一个方程,而参数的缺失会影响判断的准确度。PCA可以通过少数几个主成分来揭示变量间的内部结构,使它们尽可能多地保留原始变量的信息,且彼此互不相关。因此将PCA与杜芬方程耦合使用,可以弥补杜芬方程的缺陷,提高预测结果的可靠度。

3 围岩状态影响因素筛选

为确保PCA-杜芬方程的隧道风险评估模型的有效性,本文查阅并统计围岩状态突变引发事故的相关资料,参考保康隧道实际工程地质特点,选取开挖进尺、施工工法、支护情况、隧道埋深、地下水溶洞、隧道开挖宽度以及围岩状态作为影响隧道围岩稳定的主要因素。采用主成分分析(PCA)[15],通过矩阵变换对这些影响因子进行降维处理,即先建立协方差矩阵,然后求取其特征向量。某在建隧道围岩稳定性影响因素的PCA分析结果见表1、表2。

表1 总方差解释

表2 成分矩阵

通过PCA分析可知,前三个主成分的累计贡献率为90.178%,大于80%,满足要求。在选取的主成分中,围岩状态因素的贡献率为92.3%,施工工法的贡献率为90.9%,支护情况的贡献率为88.1%。因此,将这三个指标作为参数,代入杜芬方程,用来实现对该条在建隧道围岩状态突变风险的分析判断核心指标。

4 案例分析

保康隧道湖北段位于湖北省境内,全长14.574 km,隧址区处于荆山山脉北段,隧道地质情况以页岩夹砂岩为主,构造复杂,岩性多样,受地层岩性、地形地貌及构造的控制,软弱围岩(Ⅳ、Ⅴ级围岩)占全隧总长度的64.3%。选取该条隧道某区段(长700 m)围岩位移监测数据进行分析,隧道位移变化曲线见图2。

图2 隧道位移变化曲线

由图2可看出,该段隧道围岩竖向位移(Z向)大于隧道径向(Y向)及横向(X向)的位移。这是由于隧道开挖时破坏了围岩本身的应力,破碎围岩在重力作用下不断脱落,而X、Y方向由于围岩应力变化不大,且围岩中的孔隙率和含水量较小,故隧道在Z方向的围岩位移最大;隧道在D1K508+500附近X方向位移达到峰值,在D1K508+550及D1K508+780附近Z方向位移增大。经过实际勘探得知,在D1K508+550及D1K508+780附近由于爆破药量过大,导致围岩位移过大,而D1K508+500附近处于围岩等级变化区间(由IV级围岩向V级围岩过度),且因现场环境影响,支护间隔时间较长,导致此区间内围岩位移过大。

本文基于主成分分析优选指标,确定风险控制方程中系数k、F、c、f的取值,再对风险控制方程进行仿真,最后将仿真结果进行对比。

4.1 控制方程参数的确定

(1)k的取值

隧道围岩等级决定其自身抵抗干扰的能力,结合实际工程中保康隧道围岩硬度、地下水及地应力状况等因素,k可取为0.098 5。

(2)F的取值

围岩受外界干扰强度用参数F表示,取值范围为[0,1]。其中,F取0时,表示无干扰;F取1时,表示外界干扰达到最强。由于外界环境随时间不断发生变化,故F的取值无法找到明确的初始取值,故结合工程实际测算,设其初始取值0.45。随着围岩等级升高,其稳定性降低,F取值随之增大。

(3)c的取值

c为阻尼调节反馈参数,用来调节k的大小。为体现调节参数k值的变化对隧道围岩状态造成的影响,选取多个隧道支护参数作为阻尼调节反馈控制参数,即c1=0.15、c2=0.25、c3=0.35、c4=0.45。结合保康隧道工程实际,不同c值分别代表围岩处于不进行支护、III级围岩支护、IV级围岩支护和V级围岩支护4个工况。

实际施工过程中根据现场钢架、锚杆、钢筋网片等施工作业情况,进行参数c的调整。

(4)f的取值

f为幅值调节反馈控制参数,用来调节F的大小。为了在仿真结果中体现调节参数F变化给隧道围岩系统状态带来的变化,选取多个不同施工工法参数作为幅值反馈控制参数,f1=0、f2=0.11、f3=0.21、f4=0.31分别对应全断面法、三台阶法、CD法和双侧壁导坑法[16]。实际施工过程中通过现场开挖进尺、装药量、炮眼等情况,进行参数f的调整。

4.2 控制方程的仿真

4.2.1 无反馈系统的风险控制方程的仿真

将k=0.098 5,F=0.45代入无反馈控制系统的风险反应方程,仿真结果见图3。图3中,横坐标表示隧道围岩受到外界扰动频率与系统自身波动频率的接近程度,纵坐标表示隧道围岩的振动幅值。

根据图3曲线可知,当σ处在区间[0.512,7.272]时,围岩产生的震荡幅值r发生突变,使得开挖隧道处于危险状态(表3)。

表3 无反馈控制函数仿真结果分析

通过分析可以得到:在无反馈控制函数中,隧道在区间[0.512,7.272]持续处于不稳定状态,即隧道将长时间处于不稳定状态,这对隧道围岩施工不利,故下文加入反馈控制函数以提高隧道围岩的稳定性。

4.2.2 含有阻尼系数的系统风险控制方程的仿真

将k=0.098 5,F=0.45代入式(21)中,并对不同的c取值进行仿真,仿真结果见图4。

图4 含阻尼控制函数风险响应方程仿真结果

根据图4曲线可知,随着c值的不断增大,隧道处于不稳定状态的区间逐渐减小,隧道围岩产生突变的可能性逐渐降低。当c=0.45时,隧道处于稳定状态,隧道围岩不再产生突变。含阻尼系数仿真结果分析见表4.

表4 含阻尼系数仿真结果分析

由表4可知,通过筛选合适的阻尼控制参数,即选取合适的支护参数,能够使隧道围岩始终保持稳定状态。

4.2.3 含有幅值调节的系统风险控制方程的仿真

将k=0.098 5,F=0.45代入式(23)并对不同的f取值进行仿真,结果见图5,对应的振幅r取得唯一值的区间见表5。

图5 含幅值调节函数风险响应方程仿真结果

由图5可知,随着f值的不断增大,隧道处于不稳定状态的区间逐渐减小,隧道围岩产生突变的可能性逐渐降低。当f=0.31时,隧道处于稳定状态,隧道围岩不再产生突变。含幅值调节仿真结果见表5。

由表5可以看出,通过筛选合适的幅值控制参数,即选取合适的施工工艺,控制围岩的扰动,能够使隧道围岩保持稳定状态。

4.3 应用风险控制方程对未施工区域的仿真

通过TSP法对隧道未来150 m的预报成果可知,D1K509+996-D1K510+043区间内,该段围岩等级为IV级,岩体较破碎,岩质较软,节理裂隙较发育,岩体结合较差,局部存在不同岩性的互层等现象。局部含水(推测呈渗水状-滴水状),受其影响该段围岩稳定性较差。

由于岩体中局部含水,在方程中对应为F值变大,在原本的IV级围岩的支护参数情况下,围岩会出现状态突变的可能,隧道处于不稳定状态,应对这种状态,可以通过调整c和f的值,使隧道处于稳定状态(图6)。

由图6可知,针对实际工程,该施工区域围岩岩体较破碎(节理裂隙较发育)且局部含水(呈渗水状-滴水状),在原有开挖支护参数条件下,σ在区间[0.66,0.70]内围岩仍处于不稳定状态。

为确保隧道施工安全推进,可通过调整c与f数值来实现。c值从0.35增至0.49,增大了28.6%;f值从0.55降至0.45,降低了18.2%。在施工至含水地带时,支护强度需增加28.6%,施工对围岩的扰动需降低18.2%。通过计算,在原有IV级围岩支护条件下,可以通过在含水地带20 m区间内将拱架间距由100 cm调整为78～85 cm,锚杆间距由12 cm×12 cm调整为10 cm×9 cm。或将锚杆长度由3.5 m砂浆锚杆调整为5.5 m砂浆锚杆。在原有IV级围岩施工条件下,通过降低装药量使单循环开挖进尺为2榀拱架或1榀拱架,或将炸药药卷长度缩短14.8%,从而减少开挖时对于围岩的扰动。

当隧道施工至含水岩层地段时,现场采用减少装药量、缩短开挖进尺并加密锚杆间距的措施。施工过程中围岩状态始终处于稳定,施工后16日监控量测数据见图7。

图7 监控量测数据

图7表明PCA-杜芬方程用于围岩状态评估可行。采用优化措施后,顺利施工通过含水地段,围岩位移处于合理区间,围岩状态始终处于稳定状态。

5 结论

(1)本文将杜芬方程应用于隧道施工过程风险评估,建立了基于PCA-杜芬方程的隧道围岩状态突变评估模型,为隧道施工提供了有效的预警手段。

(2)为降低隧道施工至软弱含水地层的风险,稳定围岩防止发生状态突变,经计算须将拱架间距由100 cm调整为78～85 cm,锚杆间距由12 cm×12 cm调整为10 cm×9 cm,长度由3.5 m调整为5.5 m,以增强支护强度;降低开挖进尺、减少装药量以降低围岩扰动,同时及时支护、加快二衬施工、减少工序衔接时间,以防止围岩状态突变。

(3)本文结合现场监测数据,应用所建立的隧道围岩状态突变分析模型进行计算,发现采取风险控制措施后,隧道围岩在施工过程中始终处于稳定状态,表明采取的风险控制措施是可行的,能够保障隧道施工过程中围岩稳定。