分维标度选择与城市轨道交通网分形特征

刘泽昊，金 辉，李再帏，何越磊

（1.上海工程技术大学 城市轨道交通学院，上海 201600；2.苏州大学 轨道交通学院，江苏 苏州 215100）

轨道交通是城市客运的走廊。自1863 年在伦敦建成第一条线以来，城市轨道已在数百个城市快速发展，从而应对大规模的出行需求[1]。随着城市轨道网逐渐成熟，如何客观评价轨道网的合理性、定位其发展水平，并制定轨道网的优化与发展策略，是城市轨道交通系统建设与完善的关键环节[2]。

总结轨道交通的分形研究，发现较少全面涉及轨道交通的多种分维属性及一致性，并且未分析不同环带宽度对各属性分维的影响，亦未确立最佳的环带宽度及其选择标准。为此，本研究基于回转半径法，采用不同的环带宽度，全面分析城市轨道交通的设施与客流分形特征，并探究设施与客流相关分形维数之间的一致性。针对以往研究未深入讨论城市轨道交通环带宽度设定原则的问题，并基于波谱分析法，对比不同环带宽度下城市轨道交通各向异性和自仿射水平。以苏州轨道交通为例，讨论其在不同环带宽度下的设施与客流分形特征及其一致性，并梳理其上述特征与已有文献的相似与差异，基于各向异性水平，确立分维分析的推荐环带宽度，为处于不同发展阶段的轨道交通建设与运营提供理论指导。

1 轨道交通线网与客流分形特征

为研究轨道交通线网与客流的变化趋势，需首先明确分形方法的测度范围与测算中心。本研究以轨道交通网中单个站点到其他站点的距离总和为依据，选取与其他站点距离之和最小的轨道站点，作为测算中心。考虑轨道交通网络与站点的凝聚特征[3]，采用回转半径法求解分形维数。参考轨道站点在中心城区的服务范围，设计不同的分析半径，如0.5km 和1km 等[4]。由此共获得到以下数量的环带：

其中：r 是回转半径，R 是轨道交通分布范围的半径，k 是环带数量，「R/k⏋对R/k 向上取整。

1.1 分维特征

站点分维DS与线路长度分维DL的计算公式为：

其中：ri是第i 个环带的外围半径，Si是半径ri内站点数，Li是半径ri内的路线长度，S0和L0是常数系数。对式（2）和式（3）两边取对数得到：

对数据点(lnri,lnSi)和(lnri,lnLi)进行最小二乘线性回归，得到的斜率即对应范围内站点与线路长度分维DS和DL。

分枝分维是分形维数中的另一种测度，可描述轨道交通网络的连通性及其复杂性。线路分枝分维的计算公式为：

其中：Ni是半径ri内线路分枝数，N0是常数系数。对式（6）两边取对数得：

对数据点(lnri,lnNi)进行最小二乘线性回归，得到的斜率即为相应范围内的线路分枝分维DN。进出站客流分维的计算公式为：

其中：Fi是半径ri内总截面客流，F0是常数系数。Fi的计算方法为：

其中：fm是第m 个环带内的总截面客流，Sn是第m 个环带内的轨道交通网络总分枝数，fln是第n 个分枝的截面客流。对式（12）两边取对数得：

对数据点(lnri,lnFi)进行最小二乘线性回归，得到其斜率即为对应范围的客流分枝分维DF。

1.2 自仿射分形

若城市轨道交通在不同环带宽度下，分维结果不同，即城市轨道交通存在各向异性，则说明其具有自仿射分形特征[5]。图1（a）示意了水平方向的分形生长速率快于垂直方向的自仿射分形特征；图1（b）则表明轨道交通站点数径向增长速率不一致导致不同环带宽度的分维不同。可采用波谱分析法，分析轨道交通网络的自仿射特性[6-7]。

图1 各向异性的自仿射分形

自仿射记录维数的计算公式为：

其中：α 为波谱标度指数，计算公式为：

其中：F*(k)是波谱密度等价的化简重定义，是常数系数，k 为波数。F*(k)的计算方法为：

其中：F(k)是波谱密度；Z 是数据长度，与圆环个数相等。F(k)的计算方法为：

其中：FFT 为快速傅里叶变换，ρ(r)是环带r 的平均空间要素密度，计算方法为：

其中：ΔM(ri)是第i 个环带的交通总空间要素和，ΔA(ri)为第i 个环带的面积。M(ri)是i 个环带的交通空间要素和。

根据FFT，式（17）中的数据长度Z 为2 的整数次幂（若不满足可在数据开头或末尾删除数据，也可在数据末尾补零），即：

并且波数k 的计算方法为：

对式（16）两边取对数得：

根据式（22），对数据点(lnk,lnF*(k))进行最小二乘线性回归，得到其斜率即为波谱标度指数α，而根据式（15），求得自仿射记录维数DA。

2 实例研究

本节以苏州轨道交通为实证对象。基于中心点法，将南门站作为测算中心，则其服务范围的半径R=19km。采用0.5km、1km 和2km 的环带宽度，根据式（1），分别将苏州轨道交通网划分为38 个、19 个和10 个环带。采用GIS 分析平台，绘制圆环如图2 所示。考虑到2020 年1 月以来新冠疫情对轨道客流的影响，基于2019 年12 月31 日（周二）苏州轨道交通客流的分布数据，展开客流分形特征的讨论。

图2 苏州轨道交通环带宽度

2.1 分维特征分析

站点分维对应的双对数点如图3（a）所示：数据点呈线性分布，并在lnri=2.08（即距离中心站点8km）处斜率显著降低。即苏州轨道交通的站点具备分形和分形异化的特征。比较分形异化前后的分维，发现无论环带宽度为0.5km、1km 或2km，中心站8km 范围内的站点分维均接近1.60；而外围的站点分维则仅接近0.7。线路长度的分维特征与站点分维相似，如图3（b）所示，在市中心8km 范围内，不同环带宽度的线路长度分维分别为1.77、1.90 和1.84，而外围区域仅接近0.68。

图3 苏州轨道交通部分特征分维

图4 总结了苏州轨道交通不同范围、不同环带宽度下的站点与线路和客流分维水平。如图4所示，环带宽度为0.5km、1km和2km 时，在市中心8km 范围内，线路分枝分维分别是1.52、1.34 和1.49；而外围的线路分枝分维则退化至零，即不具备分维特性。对于客流分枝分维，发现其在中心站8km 范围内，环带宽度分别0.5km、1km 和2km 时，客流分枝分维分别为1.25、1.10和1.22，而外围的客流分枝分维则均退化为零。

图4 苏州轨道交通不同范围、不同环带宽度的分维水平

从图4 中可以看出，无论环带宽度是多少，苏州轨道交通的站点数、线路长度和进站与出站客流均表现出明显的分形和分形异化特征。说明苏州轨道交通存在一定的自相似性，而且外围区域相较于中心区域，设施与客流的分布密度显著降低。此外，参照文献中提出的最佳分维值1.70[8]，发现苏州轨道交通除了中心城区8km 范围内的线路长度外，其他分维均显著低于最佳值。说明苏州轨道交通尚存在较大的完善空间，特别是线路长度分枝分维和客流分枝分维远远低于理想值，更在外围区域完全退化为零，说明其网络连通性亟待强化。

2.2 自仿射分形结果与分维半径选择

图5 是不同环带宽度下，线路长度、站点分布密度的波谱标度双对数图，基本呈线性分布，其他属性指数如图6 所示。由此推算了在不同环带宽度下，上述属性的自仿射记录维数。环带宽度为0.5km、1km 和2km 时，站点密度自仿射记录维数DA为2.03、1.68 和1.76，线路长度的DA为1.77、1.66 和1.99，进站客流DA为1.96、1.52 和1.88，出站客流DA为2.13、1.52 和1.88。从图6 中可以看出，各属性的自仿射记录维数在1km 环带宽度下最小，即轨道交通网络结构的各向异性程度最小，最接近自相似分形。因此，推荐采取1km 环带宽度作为城市轨道交通分形的量测基准，从而规避轨道交通各向异性的影响，在轨道交通较高的自相似性下研究其分布特征。

图5 轨道交通线网的波谱标度指数（双对数图）

图6 轨道交通线网的自仿射记录维数

实际上，现有文献中最常用的环带宽度即为1km，但也存在其他环带宽度。上述方法与结论可为科学选择环带宽度提供理论依据。大部分城市均选取1km 环带宽度分析轨道交通的分形特征。例如，巴黎轨道交通采用1km 的环带宽度，发现线路长度分维始终为1.47，但站点分维在6km 范围处从2.00 异化至0.47[9]。但也有部分研究采用其他环带宽度。例如，北京将第一个环带宽度设定为2km、其他环带宽度为3km，发现市中心14km 范围内的线路长度、站点数、线路分枝、进站客流、出站客流和客流分枝的分维各为1.60、1.46、1.44、1.39、1.37 和1.20[10]。

3 结论与展望

（1）基于轨道交通的站点、线路与客流分维，分析不同环带宽度下，城市轨道交通的线网特征。以苏州轨道交通为例，从多个角度验证其具有分形特征，各项分维属性表明其网络结构尚存在较大的完善空间。线路长度分枝分维和客流分枝分维远远低于理想值，更在外围区域完全退化为零，说明其网络连通性亟待强化。

（2）采用波谱分析方法研究城市轨道交通网络在不同环带宽度下的各向异性水平。研究发现苏州轨道交通各属性的自仿射记录维数在1km 环带宽度下最小。推荐采取1km 环带宽度作为城市轨道交通分形的量测基准，可规避轨道交通各向异性的影响，在轨道交通网络较高的自相似性下研究其分布特征。

（3）随着城市轨道建设的推进，其站点与线路分维将逐渐提高，并引发客流的变化。研究计划将考虑轨道交通客流时空不确定的特点，探究轨道交通建设过程中客流分维的短时与长期变化特征，为进一步解析与优化轨道交通的利用效率与服务能力奠定基础。