一组优美连乘三角恒等式的统一证明

北京师范大学贵阳附属中学(550081) 李鸿昌

在数学竞赛或者强基计划试题中,连乘三角恒等式因其结构简洁、优美而深受命题老师的青睐. 文[1]证明了12 个优美的连乘三角恒等式, 但对有些恒等式的证明有点复杂,而且没有指出各恒等式之间的联系. 笔者经过探究获得一个定理,然后利用该定理即可得到一组优美连乘三角恒等式的统一证明,同时也显然得到了各恒等式之间的联系. 最后给出恒等式的应用.

1. 定理及其证明

定理设n≥2,n∈N∗,则

下面证明定理. 令

从而

2. 一组优美的连乘三角恒等式

3. 优美连乘三角恒等式的统一证明

设n≥2,n ∈N∗,用2n或2n+1 去替换定理中的n,就可以导出三角恒等式.

证明(1)用2n替换定理中的n,得

注意到,上式左边前后对应因子的指数之和为2n,且其间必有因子所以上式即

(2) 用2n+1 替换定理中的n,得

注意到, 上式左边前后对应因子的指数之和为2n+1, 且所以上式即

3）燃油。原油集输大站加热炉燃油量消耗由2007年的7648 t降至2017年的378 t，2016年数据为1072 t，同比减少燃油694 t，累计减少原油50 698 t，按采油三厂2017年吨油操作费1098元计算，减少燃油费用5567万元。

用2n+1 替换定理中的n,并利用恒等式(1)和(2),得

(5) 由恒等式(2)和(4)可得

4. 应用

例1求sin 3◦sin 6◦···sin 87◦的值.

解由恒等式(1)知,

例2求cos 12◦cos 24◦···cos 84◦的值.

解由恒等式(4)知,

例3求的值.

解由恒等式(2)知,

例4求的值.

解由恒等式(3)知,

例5求的值.

解由证明提及的结论知,

例6求tan 20◦tan 40◦tan 60◦tan 80◦的值.

解由恒等式(5)知,

例7的值为( )

解选D.由恒等式(4)知,