基于问题驱动的高中数学微课设计
——以“二面角及其平面角”为例

朱 楠

衡阳师范学院 湖南衡阳 421000

1 概述

1.1 微课

《普通高中数学课程标准(2017年版)》的实施建议指出:教师要注重信息技术和数学课程的深度融合,提倡利用信息技术来呈现传统教学中难以达到的效果,加强数学教学与信息技术的结合[1]。微课是以微型录像为载体,以短片的形式,将各种知识导入课堂,具有简练、简洁、灵活、突破时空限制等特点。在“互联网+”教育时代,微课作为一种信息技术手段和重要的教学辅助资源,正在迅速对数学课程教育产生深刻的影响。在高中数学教学中,应用微课的教学方式降低了高中数学知识的学习难度,学生对于数学重难点的理解更透彻,为深入直观的学习数学奠定基础。因此,高中数学教师要充分发挥主导作用,充分发挥信息技术的优势,打造具有信息化和实用化的数学课堂,将数学知识应用到实际生活中。

1.2 问题驱动

问题是促进学科发展的原动力,数学也不例外。M.Kline曾指出:“每一个数学分支均是为攻克一类问题而发展起来的。”[2]数学教育家张奠宙教授曾提出了以问题驱动的新概念数学。[3]问题驱动是一种培养学生数学思维能力的重要教学模式,与数学课程改革要求相符合。具体来说,问题驱动教学指的是教师围绕备课所设计的问题来组织课堂活动,引导学生逐步深入的探究问题,提高学生分析和解决问题的能力,并借此提升学生的学习、表达、应用、创新等能力。如何把微课与问题驱动结合起来,更好地突出微课在高中数学教学中的作用,是高中数学教师思考的一个问题。因此,本研究采用问题驱动的教学方法对“二面角的平面角”进行微课设计。

2 教学分析

2.1 教材分析

“二面角及其平面角”是人教A版《数学》(必修2)第八章第6节第3课时内容,二面角及其平面角的概念是立体几何中的基础概念也是重要概念,二面角的概念完善了空间角的概念。

2.2 学情分析

在学习“二面角”之前,学生已经学习了两条直线的垂直定义、两条直线所成角的定义、直线与平面所成角的定义,以及异面直线所成的角的定义,至此,学生已经具备了一定的空间想象力和概括能力,因此可以从这些已经学过的角的定义出发进行类比教学。

2.3 教学目标

2.3.1 知识与技能

掌握“二面角”及“二面角的平面角”概念;能根据定义正确地作出二面角的平面角;会求简单的二面角的平面角的大小。

2.3.2 过程与方法

学生通过经历探究“二面角”及“二面角的平面角”概念的过程提高空间想象能力、动手能力,体会类比、转化和化归思想方法,感受数学魅力。

2.3.3 情感态度价值观

通过实际问题的引入,激发学生的求知欲。由简单到复杂的问题导入也可以培养学生问题意识和勤于动脑的学习习惯。学生在独立思考的基础上,积极交流感受二面角既来源于生活,也能解决生活中的实际问题,提高数学学习兴趣。

2.4 教学重点

(1)掌握二面角的大小计算。

(2)理解和掌握“二面角”及“二面角平面角”的概念。

2.5 教学难点

二面角的平面角概念。

2.6 教学方法

(1)启发式教学法:教师设计层层问题来引导学生获得“二面角”及“二面角平面角”的概念。

(2)探究式教学法:引导学生进行折纸活动,主动探究,培养学生动手能力和科学探究能力。

(3)直观式教学法:利用多媒体、实物视频、教具,化抽象为具体,突破难点。

2.7 教具

自制教具、自制多媒体教学课件、A4纸。

3 教学过程

3.1 问题驱动,引入情境

师:同学们,你们知道中国空间站是在哪个平面上绕地球旋转的吗?(播放空间站绕地球旋转的视频)其实空间站的轨道面与赤道面是不重合的。这里标黄色的为轨道面,它与标蓝色的赤道面可以抽象出两个相交的平面。

问题1:如何准确地描述两个平面相交的状态,想一想初中是借助什么来描述两直线相交的状态?

教师引导学生思考:在平面上两条直线相交于一点,会把平面分成四个区域,任意一个区域都可以用两条射线所构成的角表示。说清角的大小就可以说明两条直线相交的状态了。

问题2:想一想,在初中,“角”是如何定义的?

教师引导学生得到角的静态定义:具有公共点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的两条边。

3.2 问题驱动,导入概念

问题3:类比尝试给“二面角”下定义。

教师引导学生思考:回到空间中,两平面相交于一条直线,把空间也分成了四个部分。类比两直线相交,只要说清楚一部分的大小,就可以表示两平面相交的状态。

教师引导学生通过图形、表格等形式将平面几何中“角”的概念与二面角做对比,引出与二面角有关的概念:半平面、二面角的棱、二面角的面以及二面角的表示方法。

角与二面角的对比表

生:尝试归纳二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。把构成二面角的元素顺次用符号写出来,就可以得到二面角的符号表示。

[设计意图]通过平面几何中“角”与立体几何中的“二面角”作类比,使学生温故而知新,符合学生的认知规律。通过动画等抽象知识具体化,便于学生对知识的理解,培养学生分析问题的能力。

3.3 问题驱动,探究角大小

教师活动:演示书本翻开的过程,打开门的过程,展示二面角连续变化的过程。

问题4:根据角的研究经验,在定义二面角的概念之后,你认为接下来应该做什么?

生:应该测量角的大小了。

问题5:生活中我们常说“把书翻开些”“把门开大些”是指哪个角开大些?二面角的大小具体应该怎样度量?

问题6:类比之前我们所学过的“异面直线所成的角”和“直线和平面所成的角”,想想这些角是如何度量的?

生:我们可以将这个二面角转化成平面角。

师:转化成平面角进行测量的思路是正确的。我们在求异面直线的夹角时是通过平移,在一条直线上找一点,过该点做另一条直线的平行线,这两条相交直线所成的角即为所求。那对于直线和平面的夹角,我们可以先将它们的交点记为点a。在直线上另取一点b,作点b到平面的投影b1,过这两点作直线,这两条直线的夹角就可以度量线面角的大小了。

生:哦,我明白了。要度量二面角的大小需要找到它的平面角。

师:没错,我们要把复杂的空间问题化归为简单的平面问题。可以类比之前所学,运用转化的思想方法,将空间角的度量转化为平面角度量。

[设计意图]通过问题串引发学生对二面角的平面角定义合理性的思考。这个过程能让学生逐步体会到数学定义不是凭空产生的,感受到数学的严谨性。

3.4 问题驱动,找二面角的平面角

问题7:请大家翻动书页,思考用哪两条边所成的角来度量这个二面角呢?从直观上看又是什么呢?

生:我们将书页翻转,从直观上猜测度量书页的边缘所夹角的度数可以得到这个二面角的大小。

师:那顺着大家的思路,我们一起来观察,当书合上时,边缘所构成的夹角也是0°。当书摊开时,边缘所构成的夹角也是平角。得出结论,书的边缘所构成的角大小正好和我们认知中的二面角大小一致。

问题8:那是不是所有的边缘构成的角都有这样的性质呢?

教师引导学生进行折纸活动来观察解决问题8。

师:我们先把纸斜折,此时构成了两种边缘的夹角。将二面角摊平,两个半平面在同一平面上,而边缘构成的角不是平角。另一种情况,将这张纸折合,二面角的两个半平面重合了,而边缘所构成的角不是0°。通过折纸活动,发现折纸结果与我们的猜测不相符,产生了认知冲突:页面边缘所夹角的大小不一定反映二面角大小。

生:那为什么在前面书本的例子中书本边缘所构成的角就能表示二面角的大小呢?

问题9:大家一起观察在书本翻折的例子中,这个平面角的顶点落在什么位置?角的射线落在什么位置?角的两边与棱有什么关系?

生:点在棱上,线在面内,与棱垂直。

师:总结得很好,二面角的平面角必须满足这三个条件(1)角的顶点在棱上;(2)角的两边分别在两个面内;(3)角的两边都要垂直于二面角的棱。所以在数学中二面角的平面角是这样定义的:在二面角α-α-β的棱上任取一点O,在α内过O点作OA⊥α,在β内过O作OB⊥α,射线OA和OB组成∠AOB,我们把这样的角叫二面角的平面角。

问题10:我们继续思考二面角的平面角的取值范围是什么呢?

生:书页既然可以在0°～180°之间转动,那么二面角的平面角的范围应该就是0°～180°。

师:那如果书页翻折到超过180°呢?

生:那这两个半平面所成的角可以看成是另一个方向小于180°的角,所以范围仍然为0°～180°之间。

师:思考得很全面,二面角可以用它的平面角来度量,对于任意一个二面角的平面角,度数都在0°～180°之间。那么二面角的度数范围也就是[0°,180°],写成弧度就是[0,π]

3.5 问题驱动,证明二面角平面角顶点的任意性

问题11:我们继续思考,异面直线所成的角的顶点是任取的,那二面角的平面角的顶点在棱上也是任取的吗?(展示建筑工人用直角三角板测量墙角的视频)

生:我发现在生活中,建筑工人为了要证明两个墙面是垂直的,通常用直角三角板在墙面不同位置进行测量,直角边与墙面都是紧密贴合的,就说明角度都是相同的。

问题12:如何用数学的方法来证明二面角的平面角的顶点在棱上也是任取的?

生:我们之前学习过等角定理可以证明二面角的平面角的顶点在棱上也是任取的。

问题13:如何用等角定理来证明?

生:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,就说这两个角相等。所以我们可以证出二面角的平面角的大小和它的顶点在棱上的位置无关。

师:回答得非常准确。最后,我们来总结一下吧。为了描述两个平面相交的状态,我们学习了二面角。它是由两个半平面夹着一条直线组成的。在两个半平面中各做一条垂直于棱的射线形成的角就叫做二面角的平面角,它的大小就是二面角的大小。

[设计意图]培养学生类比的思想方法,并且联系生活实际,从生活中观察数学,并用等角定理证明二面角的平面角的大小与点O在棱上的位置无关,为后面从复杂几何体中准确找平面角做好理论铺垫。

3.6 学以致用

(1)概念辨析题:判断图中哪个平面角是正确的?

(1)

(2)

(3)

(4)

(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,找出二面角D1-AB-D的平面角,并求出大小。

[设计意图]设计课中练习题,是教师掌握学生课堂学习效果与质量的重要环节,反馈题围绕本节课的学习内容,让学生独立思考,检查学生是否理解二面角平面角的定义,检查学生从几何中分离出二面角;检查学生对二面角的平面角的定义的掌握情况。

4 反思小结

这一节课是从卫星轨道绕地球旋转开展的,同时结合生活中的开门与翻书等生活实例。学生从本节课中体会到数学来源于生活,也服务于生活,提高对二面角的感知和认识,激发了数学学习的兴趣。此外,教师以学生的认知结构、最近发展区为前提进行问题驱动式教学,所设置的问题需要对大部分学生而言具有一定的挑战性,但不至于过难、过偏,以免让学生丧失解决问题的兴趣,打击学生的学习热情。再者,问题的设置也要有逻辑性,一步步引领学生探究和思考,运用类比的方式,让学生根据已有的学习经验来经历二面角的概念形成过程,提高学生直观想象、逻辑推理和数学抽象的数学核心素养的发展。第四,二面角的平面角研究比较复杂,运用问题驱动,引导学生类比异面直线所成角和线面角的解决方式,由繁到易,培养学生转化与化归的思想方法。第五,本节课注重发挥学生的主体作用,在探究二面角的平面角过程中,先让学生直观感受二面角平面角的位置,进行大胆猜测,再组织折纸活动进行验证,鼓励学生探究和交流反馈,使学生成为课堂的主体,提高学生的学习效果。