调和Ricci流下热方程的梯度估计及应用

赵润柯, 桂 湘, 方守文

(扬州大学数学科学学院, 江苏 扬州 225002)

流形上热方程的梯度估计是非常重要的几何分析工具之一. 从梯度估计出发能得到解的估计和Harnack不等式. Li和Yau[1]最早利用抛物型方程的极值原理, 在Ricci曲率有下界的完备流形上证明了热方程正解的梯度估计, 故又称之为Li-Yau型微分Harnack不等式. 继Peralman证明了庞卡莱猜想后, 热方程梯度估计的研究备受关注. Zhang等[2]证明了紧致黎曼流形在积分Ricci曲率条件下热方程正解的梯度估计和热核的高斯型上界; Yan等[3]研究了紧致和完备黎曼流形在Ricci曲率非负条件下双重非线性热方程正解的一类梯度估计; Wang[4]在Bakry-Émery曲率有下界的流形上得到了一类加权p-拉普拉斯热方程的梯度估计; Dung等[5-6]先后在完备非紧致黎曼流形和带紧致边界的光滑度量测度空间上研究了热方程的梯度估计; Yang等[7]得到Ricci流下一类非线性抛物方程的局部梯度估计; Zhang[8]研究了黎曼流形的度量满足Ricci流时其微分形式反向热方程解的梯度估计; Cheng等[9-10]研究了芬斯勒流形上度量满足Ricci流时一些热方程正解的梯度估计; 笔者在前期工作中[11]证明了度量满足广义Ricci流时带势能的热方程正解的一些梯度估计, 并得到广义Ricci流下相应的F泛函和W泛函的单调性. Ricci流与热方程耦合形成广义Ricci流, 其研究结果与广义相对论中的爱因斯坦真空方程静态解的存在性问题相关. 调和Ricci流则是由Ricci流与调和映射热流耦合得到, 它不仅有类似Ricci流和广义Ricci流的性质, 而且奇点较Ricci流少……