基于数学深度学习的课堂教学案例与分析
——以《三角恒等变换》第一课时为例

山东师范大学数学与统计学院 傅海伦 陈 可 (邮编:250358)

山东省济南市历下区龙鼎实验学校 王 月 (邮编:250014)

深度学习是学生掌握知识、提高自身素养的关键,而如今教师更倾向于在有限时间内快速处理相关知识,从而加快教学进度,为的是能在短时间内让学生掌握更多的知识,从而应对数学考试的问题,但是很显然这一做法容易造成学生仅仅掌握表面的知识,很难去深入挖掘蕴含在数学知识内部深层的价值和意义,即学生记住的仅仅只是固定的数学公式和定理、数学问题解决方法的套路以及一系列形式化的内容,对于数学知识的推导过程、数学内在的逻辑性、严密性以及对于数学整体的系统性的了解不够深入,使学生处于所谓的“浅层学习”,而这种情况无疑会阻碍学生的发展,并难以调动学生学习的兴趣,更无法使学生深入系统地掌握数学知识、提高自身的综合素质.

1 对数学深度学习的认识

深度学习的概念源于人工神经网络的研究,后来“深度学习”被美国学者马顿和萨尔约通过《学习的本质区别:结果和过程》引入到教育学当中去,并阐述了深度学习以及浅层学习的相关概念,对教育产生了很重要的影响;同时布鲁姆所提及的教育目标分类学中,将教学目标分类成认知领域、情感领域和动作技能领域三大领域,其中在认知领域当中,又将教育目标分成了由低级到高级,由简单到复杂的六个水平,而这六个的层次便可以理解成由浅层学习向深层学习过渡的过程.

当前对深度学习的研究仍在持续和推进之中,深度学习的理论研究成果也越来越多地被借鉴与应用到学科教学之中.数学深度学习是在数学学习过程中,在教师的引领下,围绕着具有挑战性的数学学习主题,在理解学习的基础上,以洞察数学知识的本质联系为特征,以培养高阶思维能力、反思能力和实际问题解决能力为旨归的一种学习.相对于“浅层学习”,数学深度学习更多地去关注蕴含在数学知识之间有本质联系,包括知识之间的逻辑关系、相互影响和因果关系、数学价值以及数学思维、规律方法等方面的内容,同时深度学习强调学生的积极主动、探索发现.当知识内化到自身的知识结构体系中时,学生可以进行主动的知识迁移,从而更全面、更深层次地掌握知识,促进学生主动地、专注地、批判性地学习,并将所学知识迁移到新的情境中,去尝试解决新的问题.

借鉴深度学习的相关概念和性质,对于数学深度学习,可以从纵向和横向两个角度,从数学知识、方法和数学思维发展等方面进行全面的认识.

(1)数学知识难度上的纵向深入

纵向深入,即为深入探求所学数学知识的深层次知识,即教师拓展相应的知识,针对学生的知识储备以及相应数学能力,适当增加相关深层次的知识,从而拓展学生的视野,更好地提高学生的数学能力.

(2)数学思维层次上的纵深发展

有关数学的学习不能仅仅局限于现有的知识点和层次,更是数学思维的纵深发展,特别是高阶思维能力、质疑反思能力和实际问题解决能力.

(3)数学知识与方法之间的本质联系

数学知识不是支离破碎的,数学知识内部存在着无法割舍而又密切的联系,对于不同的数学知识和方法,可以通过迁移或者类比来进行比较,以此深刻体会数学知识与方法的意义与价值所在,促进学生数学知识与方法的横向迁移,从而更好地掌握相应的知识和数学思想方法.

(4)立足于单元整体的系统分析与综合

数学知识具有逻辑性、系统性;数学思维培养也具有整体性.要促进学生的数学深度学习,就必须要考虑到数学知识的系统性和数学思维的整体性.从单元整体的角度出发,将数学知识置于单元整体的网络中进行分析与综合,从而建立起数学知识的系统联系和思维结构.只有将数学知识之间建立起相应的网络结构,才能更好地洞察数学思维的本质和规律,提升数学学习的质量和水平.

因此,数学深度学习无疑是学生掌握数学知识、探究数学本质、掌握数学思想方法和提高数学能力的关键因素,值得重视和实践应用.当然,在数学深度学习的过程中,教师的引导作用无疑是至关重要的.

2 基于数学深度学习的课堂教学案例与分析

三角恒等变换教学设计

教材分析:

《三角恒等变换》处于高中数学人教A版必修一5.5一节,是在诱导公式一节之后对于三角函数公式的进一步深入,对学生的推理判断能力有着极大的引导作用.

学情分析:

在本章第一节已经利用单位圆探究了三角函数的相关概念,本节便以此为基础进一步利用单位圆来探究三角恒等变换,并且再一次利用诱导公式去探究其他形式的公式,即本节的起点学生在本节之前都有所接触,拥有一定基础,可以更好地帮助学生深入学习.

教学目标:

(1)学生能掌握两角差的余弦公式,灵活运用两角差的余弦公式去解决相应的问题.

(2)学生能在推导两角差的余弦公式的过程中,体会到数与形之间的密切关系,由此提高自身的数形结合能力以及逻辑推理能力.

(3)学生可以通过两角差的余弦公式的学习进一步理解数学知识之间的密切联系,认识数学的价值,提高学习数学的兴趣.

教学重难点:

重点:掌握两角差的余弦公式,利用三角恒等变换解决问题

难点:两角差的余弦公式的推导

教学过程:

(1)课堂导入

师:同学们,大家在之前的学习中都学习了特殊角的正弦以及余弦值,那么cos60°以及cos30°分别等于多少?

师:那么我们如何用60°来表示出30°呢?

生:30°=60°-30°.

师:很好,那相应的就可以说cos30°=cos(60°-30°),那么大家利用他们各自的数值来看一下cos30°是否可以写成cos60°-cos30°吗?

生:不能.

师:也就是说cos30°≠cos60°-30°,那推到一般形式当中,cos(α-β)如何用α和β表示出来呢?

师:大家可以回想在刚开始学习三角函数时,我们是利用什么研究的?

生:利用单位圆.

师:那我们能不能继续利用单位圆来把相应的α、β以及α-β表示出来?

(2)新课讲授

师:在这个单位圆里,如何用三角函数表示相应的坐标呢?

生:P1(cos(α-β),sin(α-β));A1(cosα,sinα);P(cosβ,sinβ).

师:大家观察一下图1,α-β对应了图中那个角?

图1

图2

生:∠POA和∠P1OA1.

师:连接A1P1和AP,这两个线段又有什么关系,那又该如何用眯的坐标表示这两个线段之间的关系呢?

生:A1P1=AP,用两点之间的距离公式表示这两个线段相等.

师:没错,那么大家还记得两点之间的距离公式吗?

师:根据两点之间的距离公式,我们带入相应的坐标可以得到什么式子?

由前文可知，公式(36)关于q的一阶和二阶导数为公式(37)、(38).由于二阶导数小于零，若公式(37)等于零，必有最优订货量其解析解可通过公式(39)解得.

师:请大家对这个公式化简我们可以得到什么式子呢?

生:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

师:当α=β+2kπ时,带入这个式中是都还成立呢?

生:成立.

师:所以我们可以说,对于任意角α、β,都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,那么我们得到了对于任意角α、β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作C(α-β).

(3)拓展提升

师:大家还有没有其他的方法来证明差角的余弦公式吗?

生:想不到.

师:好,老师就在这里先向大家介绍一位人物:托勒密.托勒密是一位拥有很多头衔的人物,他是希腊的地理学家、占星家、天文学家,同时还他也是一位数学家,在众多领域做出了杰出贡献.他最著名的是提出了“托勒密体系”的模型,也就是他提出了地球是宇宙的中心,对于这一观点,现在看来是显然不成立的,但是在他提出之后的很多世纪,都被认为是正确的观点,直到哥白尼提出了日心说.他既然是一位数学家,在数学方面的确也做出了重要的贡献,例如他论证了四边形的特性,也就是有名的托勒密定理,而这也就是接下来需要向大家介绍并且需要借助的定理.

托勒密定理用文字语言来说就是:圆的内接凸四边形两对对边的乘积的和等于两条对角线的乘积.那么我们就可以借助三角函数以及托勒密定理在构造一个圆,AC为圆的直径(2R).

根据这个图,可以直接利用托勒密定理得出什么公式?

生:AD×BC+AB×CD=AC×BD.

师:现在就是要将这六条边用三角函数以及直径2R表示出来.请大家来表示一下AB、BC、AD、CD、AC.

生:AB=2Rcosα;BC=2Rsinα;AD=2Rsinβ;CD=2Rcosβ;AC=2R;但不知道BD如何用三角函数以及直径表示.

师:既然要用直径表示BD,是不是可以构造一个直角边是BD的直角三角形呢?这样可以连接DO并延长交于圆与点E,连接BE,则在△BDE中,∠BDE=α-β,接下来BD如何表示?

生:BD=2Rcos(α-β).

师:把这些边长代入到托勒密定理中,大家能得到什么式子?

生:2Rcos(α-β)2R=(2Rsinβ2Rsinα)+(2Rcosα2Rcosβ),经过化简就得到了两角差余弦公式:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

(4)例题巩固

师:到现在为止,我们利用了两种方法来证明两角差的余弦公式,其实还有其他的方法来证明这个公式,在未来学习到相关知识的时候,我们再利用新知识进一步证明,现在利用三个题目来体会一下两角差余弦公式的具体应用,并借此来巩固一下这个公式.

例1利用公式C(α-β)证明下列式子:

(2)cos(π-α)=-cosα.

例3试求15°的余弦和正弦值.

师:请大家先做一下第一题,给大家三分钟来完成.

师:例1需要利用我们刚刚学习的两角差余弦公式,来证明我们前几节课所学习到的诱导公式,哪位同学愿意来分享一下自己的做题过程?

生:例1的两小问都可以直接利用刚刚学习的两角差余弦公式来证明:

师:很好,大家的解题步骤都和这位同学的一样吗?

生:一样.

师:很好,也就是说例1的两问可以直接利用我们的两角差余弦公式来进行,与此同时,还需要大家掌握一些特殊角的三角函数值进行证明.

师:接下来请大家看一下例2这个题目,给大家五分钟的时间来做一下.

师:有哪一位同学愿意说一下自己的做题思路?

师:大家的思路和这位同学一样吗?

生:一样.

师:很好,通过解这道题大家一定要明确α、β所在的象限情况,判断出正弦值和余弦值的正负,从而求出相应的正弦和余弦的数值,下面大家一起再看一下最后一题.

师:老师在巡视的过程中,发现很多同学都不知从何下手,老师提醒一下15°可以把它看作是那两个特殊角的差值呢?

生:45°和30°.

师:大家怎样先利用今天所学的两角差余弦公式求出15°的余弦值?求出了15°的余弦值,那么,它的正弦值怎样再利用之前学到公式求出来?好,大家继续解答这道题.

师:老师找一位同学讲解一下自己的做题步骤.

师:很好,大家一定要深刻理解到判断正弦值的正负之后再进行相应的计算,那么大家对这三道例题的安排有什么认识吗?

生:依次递进,层层深入,方法越来越灵活…….

师:第一道例题主要是为了让大家更好地掌握我们今天所学的两角差余弦公式,并且可以认识到该公式是可以推导出之前所学习的诱导公式的;那么第二题则是需要大家将该公式应用到较为复杂的情况当中,但是无论题目多么复杂在解决该类题目时,还是需要大家从公式入手,将α、β的正弦和余弦值求出来,在这里一定要明确正弦值和余弦的得正负情况;最后一题则是应用到了具体的数值当中,也就是说我们可以利用两角差余弦公式,来求出一些我们之前所无法求得的角度的值,也就是说两角差的余弦公式在具体的应用中也具有很重要的意义,希望大家可以很好地掌握这一公式.

(5)归纳总结

师:好,那么这节课的知识点就学到这里,下面谁愿意分享一下在这节课中收获到了什么?

生:这节课我学习到了两角差的余弦公式以及具体的应用,同时还学会了证明两角差余弦公式的两种不同的方法.

师:很好,还有同学有补充吗?

生:我学习到了在证明一个问题时要学会从不同角度来分析,例如在证明两角差余弦公式的时候,我们可以利用曾经利用过的单位圆的方法,也可以利用今天所学习的托勒密定理来证明.

师:很好,这两位同学说的都比较重要,这节课的中心内容就是两角差的余弦公式,并且我们还学习了证明这个公式的两种不同的方法,希望同学们在课下可以认真复习本节课的知识并完成本节课的练习册作业,有兴趣的同学可以继续探究一下如何利用本节课所学习的两角差余弦公式,来证明下节课我们将要学习的两角和余弦公式,以及两角和与差的正弦公式与正切公式.这节课就上到这里,同学们再见!

生:老师再见!

案例分析:

该课的教学设计是遵循了深度学习的相关理论.首先,从纵向来说,综合了数学思维的发展以及知识难度上的深度学习.在课堂的后部分向学生融入了托勒密以及托勒密定理,利用托勒密定理一方面可以引起学生对于数学的兴趣;另一方面可以引导学生利用托勒密定理对两角差余弦公式进行证明,实现了难度上的跨越,不再局限于课本上的单一证明方法,让学生学会从多方面考虑问题,拓展学生的思维.其次,从横向来说,一方面在知识之间,兼顾了新旧知识之间的关系,在一开始的证明方法中,利用了之前学生所接触的单位圆的方法,让学生可以由旧方法引入新知识,同时在例题的练习过程中让学生采用本节课新学的两角差余弦公式来证明曾经学习的诱导公式,在其它例题的解答过程中也利用到了第五章之前学的一些知识,很好地将知识连联系一起形成小网络,防止知识的破碎,有效地将知识系统整合,有利于学生的进一步学习.同时,由单位圆的证明方法转向托勒密定理的证明方法,可以使学生体验到不同的知识与方法之间存在的本质联系;另一方面,从单元整体角度上看,两角差的余弦公式是三角恒等变换的起始课,整个教学设计从单元整体的角度出发,在证明两角差余弦公式时,充分利用了单位圆以及托勒密定理进行证明,即在第一课时中让学生掌握相应的证明方法和公式的意义,同时布置了相应的思考作业,在后续的学习中,突破单一知识点和方法的学习,学生会发现将要学习的其他三角恒等变换公式不仅可以利用这两种证明方法,还可以利用两角差余弦公式进行证明,将单元整体的知识与方法有效地联系在了一起,从而可以帮助学生有效迁移,从而促进学生的深入学习.