例析初中数学教科书例题中跨学科问题
——以《数与代数》为例

内蒙古赤峰学院数学与计算机科学学院 王洋洋 (邮编:024000)

内蒙古民族数学教育研究所 李书海 (邮编:024000)

《义务教育数学课程标准(2022)》(以下简称“课标”)提出:立足学生核心素养发展,体现数学课程育人价值,并且设置“综合与实践”主题,旨在整合数学与其他学科间的知识,完成跨学科实践活动,感悟数学与生活,数学与其他学科的关联,发展学生学习能力、实践能力和创新意识[1],用数学学科视角回答跨学科问题,跨学科融合教学逐渐成为学者们研究的热点问题.

例题是数学学习过程中不可或缺的一部分,凝练着知识核心,具有代表性和典型性,对于学生新知识的理解与巩固、新技能的培养与提升都有非常大的作用.例题展示出了数学的解题思路,搭建了新知与旧知的桥梁,对于学生学习和探究以及思维能力的发展都起到积极的促进作用,因此必须要精心设计,满足学生的发展需求.

“课标”将初中数学学习的主要内容划分为数与代数、图形与几何、概率与统计、综合与实践[1]四个领域.总的来看,数与代数是其它几个领域学习的基础,其它几个领域的学习离不开数与代数的支撑.初中数与代数的内容广泛,几乎贯穿整个初中数学课程.因此在数与代数领域的例题中融入跨学科内容,既可以提高学生对于知识的运用能力,又可以帮助唤起学生的跨学科意识,感受学科之间的关联,培养学生学会用数学的思维思考跨学科问题,会用数学的语言表达跨学科问题的意识和能力.

1 概念界定

1.1 跨学科

最早对于“跨学科”一词进行使用的是心理学家伍德沃斯[3].而在基础教育阶段,跨学科的理念出现得较早一些,哈佛大学“零点项目”负责人博伊克斯·曼西利亚(Boix Mansilla)探讨了中小学跨学科学习实践,给出了学校跨学科学习的含义,即学校的跨学科是将两个或两个以上的学科在课程、认知和操作层面上联系起来,进而从不同的视角 ( 目标、学习对象、概念和观念、学习方法、技术能力等 ) 建立互补或合作联系、相互渗透或相互作用的实践[4].

我国 2022 年版“课标”中所倡导的跨学科主题学习,体现了义务教育阶段课程设计综合化和实践化的特点,超越学科与教科书的逻辑体系,通过跨学科概念将各种相互关联的学科勾连起来,基于真实任务情境进行问题解决,促进学生体会学科之间相互依赖的关系,培养他们的高阶思维和核心素养[3].对于数学教科书中的例题的内容来说,就是在题干的设计上使得两个或者多个学科的内容融合,在探索蕴含真实的情境中所蕴含的关系中,发现和提出问题,运用数学和其他学科的知识与方法分析和解决问题[1].

1.2 例题

例题是教科书中涵盖新知识并带有详细解答过程的数学问题,是数学样例的主要表现形式之一.例题一般由数学问题以及解答步骤构成,是对于数学原理以及概念的具体化表达.例题具有展示问题、描述解决过程、解释数学概念与规则、提高解决问题能力等多项复合功能[5].本文中的“数与代数部分的例题”,指的是“数与代数领域”中的例题.

2 问题的提出

“课标”提出,培养学生综合能力,提升学生核心素养.随着时代的发展,传统的教育模式下学科之间界限明显,知识之间关联不强,知识点相对零散,已经难满足当下教育发展新形势的要求,因此加深不同学科之间的联系是教育发展大势所趋,是符合新时代的育人要求的.

教科书是数学知识的重要载体,是学生进行学习的重要工具,学生大部分的知识都来源于教科书,教师所教授的内容也以教科书为依据,因此教科书内容的合理编制对于学生来说至关重要.同时,数学的学习离不开例题的练习,例题内容的设置直接会影响到学生的学习效果甚至是思维的发展,因此在例题部分精心设计、加强学科之间的关联同样非常有必要.

跨学科教学在初中阶段的实施国内还处于探索阶段,并没有细化以及进一步落实.相关的研究现状为:一是中国和澳大利亚、日本、新加坡等国外初中数学教科书跨学科内容、设置理念及其比较研究[6-8]; 二是中国初中数学教材“跨学科”综合实践活动的比较研究[9];三是中国初中新手教师对数学教科书例题的认识及使用情况调查、教学与学习策略研究[10-14].

上述研究发现,关于初中教材(2012年审定)数与代数部分的例题中跨学科问题还没有系统分析和研究,这是有待深入研究的问题.

本文对于人教版初中教材(2012年审定)数与代数部分的例题中跨学科问题进行分析,并对教科书的编写以及教师对于教科书的使用提出相应的建议.

3 数与代数部分跨学科问题例题的分析

3.1 跨学科内容例题在教科书中的分布情况

“课标”中将初中(7～9)阶段划分为第四学段,该学段数与代数领域主要分为数与式、方程与不等式以及函数[2]三个主题.在这一部分中,共有例题155道,分布如下(表1)

表1 例题所属章节分布情况

可以发现,在155道例题中,涉及跨学科内容的例题共36道,占例题总数的23.23%,其中不等式与不等式组、一次函数以及反比例函数章节的例题中,涉及跨学科内容的例题占比较大,分别达到了42.86%、44.44%、50.00%,有理数和二次函数则相对较少,只有18.18%、20%.而整式的乘法与因式分解、二次根式和一元二次方程则为0%.例题共涉及九个学科门类,各个学科的占比如图1所示.我们可以发现其中经济学以及交通运输所占比重较大,分别达到了27.78%以及19.44%.环境工程学以及航空航天技术占比较少,仅为2.78%.整体来看,跨学科融合相关例题在所有例题当中占比并不是很大,涉及的学科门类并不广泛.

图1 例题内容学科来源分布情况

通过对于初中数学教科书例题分析发现(如表2),数与式主题中例题最多,函数次之,方程与不等式最少.但是涉及跨学科内容的例题所占比例函数主题最多,为38.71%,方程与不等式次之,占比为27.27%,数与式最少,只有17.65%.可以看出涉及跨学科内容的例题分布并不均衡,且不够深入.

表2 例题所属主题分布情况

3.2 跨学科内容例题在教科书中呈现的案例

案例1(七年级下册第九章不等式与不等式组第二节一元一次不等式例2)

去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到60%,如果明年(365天)这样的比值要超过70%、那么明年空气质量良好的天数比去年至少要增加多少?

该例题出自于七年级下册第九章第二节中,在这之前,学生学习了不等式的相关概念,为加强对知识的进一步理解和运用,本例题结合实际生活情境,将空气质量问题与数学结合,从跨学科实例中抽象出数学模型,引导学生在实际情境中运用不等式知识解决相关的问题.在本题中,主要将数学学科与化学(空气成分)和环境工程学相结合,一方面让学生初步认识用建立“数学模型化”的方法分析和解决具体问题,从而进一步提高学生学习数学兴趣,并通过例题体验和理解将具体问题转化为数学问题的过程和方法.另一方面可以引起学生们对于当前空气质量好与坏及其产生原因的思考,产生相关问题的好奇心,同时感受良好的空气对于人们日常生活的重要性,进而唤起学生的环保意识.

案例2(九年级下册第二十六章第二节真实问题与反比例函数例3)

小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m.

(1)动力F与动力臂I有怎样的函数关系?当动力臂为1.5 m时,撬动石头至少需要多大的力?

(2〉若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半,则动力臂I至少要加长多少?

这是一道结合情景解决反比例函数的问题,学生在本章第一节已经对于反比例函数有了初步了解,并且在八年级下册的物理课上,学生对于杠杆原理、阻力、阻力臂,动力、动力臂有了一定的了解,在此基础之上,学生就可以根据已有知识经验,找出数量关系,建立数学模型,进而解决实际问题.这道题将数学以及物理的学科知识进行融合,结合学生已有的数学以及物理知识解决了实际问题,一方面加深了学生对于数学知识的巩固和运用,另一方面还可以帮助学生构建完整的知识体系,体会学科间的密不可分性.

3.3 跨学科内容例题在教科书中分布的广度以及深度

在这些跨学科例题当中,共涉及9个学科门类,且大多是将数学与另外一个单一学科融合在一起,涉及两个学科门类级以上的学科共3道,在这部分例题中,学科间的交叉融合并不深入,仅仅将其作为解决数学问题的情境支撑,整体来看,在初中数与代数部分,跨学科融合的广度以及深度都有待提高.

4 教科书例题编写的建议

4.1 在例题设置的内容方面

人教版初中数学教科书关于数与代数部分涉及跨学科内容的例题在总例题中的占比并不多,而且可能受课本篇幅的限制,例题的内容都很简单,与其他学科虽然有一定的联系,但是并不深入,在学生学习的过程中,也很难同时注意到数学学科与其他学科知识的联系,也就很难达到发展学生思维的目的.以核心素养为导向,教科书中的例题编写不仅要设置跨学科的内容,也要注重背景的介绍以及适当的拓展,结合学生的认知规律和现有水平,设置相应的探究活动,引导学生创造性地理解学科间的关系,感受不同学科的美妙之处.

4.2 在例题设置的位置方面

初中阶段的数与代数部分,是学生理解数学符号,以及感悟数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力、推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体[1].

在数与式部分,要设置丰富的问题情境以及一些跨学科相关的探究活动,引导学生主动构建不同学科间的联系,这样既可以引发学生学习兴趣,让学生们主动思考和学习,也可以让学生感受到学科间的关联.在学生初步形成量感之后,对于数与式有了更深的认识,则可继续结合具体实例深入学习.对于函数以及方程专题来说,则应当编制不同类型的跨学科例题来理解数量关系以及变化规律,了解常量和变量变化的意义,加深与其他学科的联系,抽象出存在于其中的数学模型,探索不同的未知量之间的关系.增强学生知识的运用以及迁移能力.

4.3 在例题设置的广度以及深度方面

学生的学习具有整体性和一贯性,因此例题的内容设置也要呈现一定的系统性.人教版教科书跨学科问题例题中,涉及了九个一级学科门类,相对来说种类较少,且多为数学与一门其他学科的融合,是窄而浅的,只是简单设置情境,没有引发学生对于其他学科内容的深度思考,学生还是将注意力完全放在解决数学问题上,掌握公式、定理,机械化的解决数学问题,这样是没有办法进一步发展学生的创新创造能力的.因此数与代数部分例题的编写要加大数学与其他学科的联系,而不仅仅是将跨学科内容作为数学学习的一个背景,并且考虑将多个学科同时融入例题当中,提高数与代数跨学科问题例题的广度,当然,也不是涉及的学科门类越多越好,也要考虑到是否合适,使学生以超学科的态度进行学习和探究,才能更好的提升学生的核心素养.

4.4 在例题设置的类型方面

除了重视数学与其他学科的交叉融合之外,现代教育对于数学文化融入数学教学也日益重视,通过对于数学学科与一些人文学科的融合,比如数学文化以及数学史,使得学生可以在这当中感悟数学家们锲而不舍的探究精神,产生对于数学家们的崇拜之情,并在这个过程中感受到数学的高峰并不是不可攀登,进而培养学生们的探索精神以及学好数学的信心.因此,在例题的编写部分,也要充分重视数学文化内容的渗透对于学生数学学习的重要作用,将数学文化的内容融入到例题的编写中去,使例题更加鲜活,更加生动,引导学生感受到数学的文化美.

4.5 教师对于教材的使用

教师是教学的实践者,应该不断的更新自己的教育理念,意识到学科融合是教育发展的大势所趋,并将其渗透到教学的全过程当中去.因此,教师应当深入研读教科书,有意识引导学生深入挖掘例题中的跨学科知识,拓宽学生的知识面,培养学生的跨学科意识.对于例题中跨学科内容有些欠缺的部分,教师需要针对所讲授的内容适当进行拓展,引导学生在更加丰富的情境中解决数学问题.在这个过程中,培养学生跨学科的应用意识和实践能力,提高学生核心素养.