不等式恒成立问题解法的举例探究

裴玉玲

【摘  要】  不等式恒成立问题的破解策略较多，常用的有分离参数、分类讨论、数形结合三大方法.具体求解时，需要把握问题特点、根据问题类型来确定解法.本文具体探究三大解法，并结合实例分析.

【关键词】  高中数学；不等式；解题技巧

不等式恒成立问题在高考或模考中十分常见，问题常见两种类型：一是在全集R上恒成立；二是在给定区间上恒成立.问题解析有多种解法，可以采用分离参数、分类讨论、数形结合等方法来简化运算，降低思维难度.下面结合实例具体探究.

解法1  分离参数

分离参数破解不等式恒成立，适用于解含有参数的不等式问题.解析时变形不等式，可先将参数分离，再构造函数，利用函数性质来求解，如函数的单调性、值域等，解析函数单调性可借助导函数.

例1  已知函数，.当时，求使不等式恒成立的最大整数k的值.

思路分析   本题目为含参不等式恒成立问题，含有参数k，解析其取值时可以采用参数分离的方法，将不等式参变分离，后续构造函数，确定其单调性，求其值域，进而推导k的取值范围.

解  由恒成立，

可得，

所以.

由于时恒成立.

可设，

对应导函数为.

令，

则.

因为，则，在上单调递增.

而，，

所以存在，使得，

即.

所以当时，，此时函数单调递减；

当时，，

此时函数单调递增.

所以在处有极小值（也是最小值），

则.

又有恒成立，即，所以k的最大整数值为3.

评析  上述在求解不等式恒成立问题时，采用了分离参数的方法，即变形不等式，进行参变分离.过程中分为两步：第一步，变形不等式，参变分离；第二步，构造函数，分析函数性质，确定其最小值，进而推导k的取值.

解法2  分类讨论

分类讨论破解不等式恒成立，即设定标准，分别讨论不等式成立的情形，将问题转化为单一的不等式成立问题.如讨论参数的取值，讨论函数变量的定义域等.

例2  已知函数.若对任意实数，都有恒成立，则实数a的取值范围是       .

思路分析  本题目为不等式恒成立求参数取值问题，可以采用分类讨论的方法，讨论参数a的取值，再逐一确定结论.

解  对任意实数，均有，需要分类讨论参数a的取值.

情形1  当时，，

不满足对任意实数， 恒成立；

情形2  当时，，

令，

则 .

所以函数单调递减，

由于，

.

所以存在唯一零点，

使得，.

故当时，，单调递增；

当 时，，单调递减.

所以

.

令，，

故，在定义域内是单调增函数，

由于，所以的解集为，

则，

即实数a的取值范围是.

评析  上述求解不等式恒成立问题时，采用了分类讨论的方法.分别讨论参数a的取值范围，将问题转化为单区间变化的不等式问题，后续借助构造函数，借助函数性质来推导参数取值.

解法3  数形结合

數形结合破解不等式恒成立，即结合函数图象来分析函数的单调性、值域，进而推导结论.数形结合求解时，需要解析问题，将不等式恒成立问题转化为

例3  设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是      .

思路分析  本题目为不等式恒成立求取值问题，m为定义域的端点值，题干设定了函数的变换规律，即，可采用数形结合的方法，绘制函数的图象，结合图象分析取值，再确定m的取值范围.

解  因为，

则.分析可知，有如下结论：

当时，

有；

当时，，

；

当时，

，

.

根据上述结论，可绘制如图1所示图象，即函数在每个变化周期上，其值逐步减小.

则当时，由，

解得，，

若对任意，都有，

则，

即m的取值范围是.

评析  上述求解不等式恒成立问题时，采用了数形结合的方法，解析问题转化为分析函数值域问题，确定其图象变化规律，然后绘图图象，结合图象构建方程，确定m的取值范围.数形结合是直观分析问题的一种方法，有助于降低思维难度.

结语

总之，上述结合实例具体探究了破解不等式恒成立问题的三大策略，参数分离、分类讨论方法可有效用于含参不等式问题中，是处理参数、简化过程的重要方法.而数形结合则可用于值域性不等式问题中，可借助图象来辅助分析.探究学习时要注意总结方法，结合实例强化学习.