换元法在解方程中应用的四个原则

郑钰

【摘  要】  换元法又叫辅助元素法或者变量代换法，它在解方程中有着广泛的应用.利用换元法解方程，应遵循整体性原则、简洁性原则、等价性原则和统一性原则，以简化问题，达到快速解题的目的.

【关键词】  初中數学；换元法；解方程

数学解题时，我们常常把某个式子看成一个整体，用一个变量去替换它，从而简化问题，达到快速解题的目的，这种方法叫换元法.换元法又叫辅助元素法或者变量代换法，它在解方程中有着广泛的应用，它可以化高次方程为低次方程、化分式方程为整式方程、化无理方程为有理方程、化超越方程为一般方程.那么，利用换元法解方程，我们应该遵循哪些基本原则呢？笔者以为，应遵循整体性原则、简洁性原则、等价性原则和统一性原则，下文举例说明.

1  整体性原则

利用换元法解方程时，通常把方程中多处出现的相同式子当作一个整体，设为一个新的未知数，让问题中隐蔽的条件显现出来，从而使复杂的关系变得简单.这就是整体性原则，也是换元法的本质所在.

例1  解下列方程：①；②.

解析  ①由原方程得，.

令，则原方程即为，

解得.

当时，

；

当时，，

.

故原方程的根式：，.

②原方程即为.

令，

则，

故原方程变为.

解之得，

当时，，无解.

当时，，两边平方并整理得，

解得.

经检验，都满足原方程，所以原方程的根是.

点评  本例两个方程需适当变形，才能找到换元的部分.方程①经过换元，把高次方程化为二次方程；方程②换元后，把无理方程化为整式方程.

2  简洁性原则

换元的目的，是为了解题的简洁.换元法解方程中的简洁性原则主要指选择简洁代换，换元后方程显得较为简洁，从而容易求解.这也是数学中简洁美的体现.

例2  解方程：（4x2－9）2＋（4x2－9）（9x2－4）＋（9x2－4）2＝（13x2－13）2．

解析  注意到 （4x2－9）＋（9x2－4）＝13x2－13，

设m＝4x2－9，n＝9x2－4．

则原方程可化为m2＋mn＋n2＝（m＋n）2，即mn＝0，

则有（4x2－9）（9x2－4）＝0，

解得x＝±，±．

点评  用换元法解方程，有时引入的新变量可以不止一个，如本题中引入了m，n．引进新变量的目的是将原方程简化，而当引进两个元时，还需揭示它们之间的内在联系.

3  统一性原则

对于有些方程，往往不可直接换元，应对其变形，通过变形，才能找到可以换元的部分，有时它们虽然不尽相同，但可以用新元加以“统一”，从而使原方程得以简化.

例3  解方程：.

解析  直接因式分解比较困难，容易发现该方程是倒数方程（与首尾等距离的项的系数相等）．又因为x＝0不是方程的根，所以两边同时除以x2，得2（x2+）+3（x+）－16=0.

解  设x+=y，则x2+=y2－2.

原方程化为2y2+3y－20=0，

解得y=－4；或y=.

由y=－4得x=－2+；或x=－2－.

由y=2.5得x=2；或x=.

所以原方程的解为－2+，－2－，2，.

点评  本题看似无法用换元法来解，经过变形并配方后，用x+=y换元，使原方程的未知数统一成新元y的形式，从而使原问题顺利获解.

4  等价性原则

换元法固然可以使方程变得简洁，但必须在等价变形的基础上，不可因为换元使原方程产生增根，或者失根.忽视等价性是换元法解题中易出现的错误，应特别引起注意.

例4  解方程.

解析  若令，则，

则原方程可变为，

即，

解得.

由，解得，

由，得.

点评  上述解法正确吗？不对！因为它忽视了新元的取值范围，从而把原方程的解的范围扩大了，违反了等价性原则.其实需注意，就可得到解得才是解.

5  结语

俗话说，没有规矩不成方圆.由上看出，利用换元法解方程应遵循以上四个原则，进而实现简化问题，达到快速解题的目的.

参考文献：

[1]林正坤.换元法在解方程中的应用[J].语数外学习（初中版），2022（11）：19-20.

[2]黄世海.换元法在解方程中的应用[J].初中数学教与学，2022（12）：48-49+39.

[3]洪联平.换元法解题九例[J].中学生数学，2021（24）：15-16.

[4]董良.换元法在数学解题中的应用[J].课程教材教学研究（中教研究），2021（Z1）：39-42.