素养视角下几何模型教学的思考
——由一道几何问题的师生探讨谈起

肖 霄

(重庆复旦中学,重庆 400010)

0 引言

数学是一门研究模式的科学.模型是模式的具体化,模型反映了对象之间隐藏的某种规律或关系,这些对象可以是图象,也可以是数字、抽象的关系,甚至是思维方式.几何模型,如“角平分线模型、四边形对角互补模型、角含半角模型、将军饮马模型”等广泛存在于“图形与几何”的相关内容中.

核心素养的核心不是单纯的知识技能,也不是单纯的兴趣、动机、态度,而是重视运用知识技能以及解决现实问题所必需的思考力、判断力与表达力及其人格品性[1].聚焦初中几何模型,核心素养意味着学生不仅要学习模型关联的规律、性质和关系,还应具备运用这些模型解决问题的能力.因此,在几何模型的实际教学中,这种凸显创造性思维的培养不再局限于“记忆型”的知识习得和重现,而必须是学习者调动主观能动性的“思考型”深度学习.但在素养理念已经深入中小学教学各个方面的今天,几何模型教学在实践中是否符合学生的认知、是否清晰地体现几何知识的整体结构、是否有利于学生借助几何模型学习构建完整的知识体系?近期和学生的一次探讨让笔者对以上问题有了进一步的思考.

1 问题呈现与师生探讨

例1在△ABC中,D在AB上,E在BC上,∠AED=∠ABC,点F在边AE上,EF=DE.

1)如图1,若CE=BD,求证:BE=CF;

图1

2)如图2,若CE=AD,点G在边DE上,∠EFG=∠EFC,求证:CF=2GF;

3)如图3,若CE=AD,EF=2,∠ABC=30°,当△CEF的周长最小时,请直接写出△BCF的面积.

这是笔者所在学校九年级一名学生向笔者求助的一道题目.这名学生告知笔者第1)小题已经顺利解决,但对第2)和第3)小题束手无策.在随后的交流中,笔者得知该题来源于中考复习后的练习.在询问其对这两道小题的看法时,这名学生告诉笔者,根据条件“∠EFG=∠EFC”以及“EF=DE,EF=2,∠ABC=30°”,可知这两道小题分别属于几何模型中的“角平分线”“定弦定角”模型,结合以往教学中教师对角平分线模型的问题条件和方法的总结,他想通过图4这样构造辅助线(即在FC上截取FH=FG,联结EH)寻找问题突破口(证明点H为FC的中点即可),但接下来证明点H为FC的中点有难度,只能转而求解第3)小题.看到条件中的“EF=DE,EF=2,∠ABC=30°”,他发现这是以往在圆相关章节学习中涉及的“定弦定角模型”问题,进一步分析可知点B在以DE为弦、半径为2的圆上,如图5所示.据此他认为这一小题是与圆相关的最值问题,但经过一番思考和尝试后,发现动点C的运动特征难以确定,问题求解就此停滞不前.

图4

图5

在进一步交流中笔者了解到这名学生对第2)小题有初步思路:由条件“∠AED=∠ABC”以及图形信息,知其符合“一线三等角模型”中角的关系特征.由此,他得到题目隐含的条件:∠BDE=∠AEC.笔者引导其考虑在“∠BDE=∠AEC,EF=DE,且CE=AD”的条件下,联想证明三角形全等的条件“SAS”,从而可利用如图6所示作辅助线的方法(延长DE至点N,使ND=DE,联结AN)对问题思路展开探寻.这名学生在思考后发现△ADN≌△CEF及△EGF∽△EAN,从而顺利解决了问题.同时,当笔者提示“点D为NE的中点,已证得AN=CF以及需要证明CF=2GF”时,这名学生提出是否可利用中位线加以考虑.得到笔者肯定后,他经过几番尝试后得到如图7所示作辅助线的第2种方法(取AE的中点M,联结DM).

图6

随后,笔者询问在图4这样的方法受阻后,是否就认为这里“角平分线模型”不可行,这名学生表示由于题目条件以及以往所学经验积累,并未联想到其他办法.但当笔者询问当图4这样的思路难有突破时,是否尝试过图8(延长FG至点H,使FH=FC,联结EH)这样的思路,出乎意料的是该学生告知笔者在模型及其习题学习中基本只遇到采取图4或者向角两边作垂线的角平分线问题,对图8这样的角平分线结构比较陌生.在对如图8所示结构进行相应学习后,笔者引导其通过“导角”得到∠BAE=∠DEH,明确原问题转化为证明点G为FH中点后,结合问题条件和类比以往所学的中点证明方法,这名学生自主探究后发现如图9所示的第3种方法(过点F作EH的平行线交ED的延长线于点Q).

图8

针对第3)小题,笔者提示学生考虑△CEF的周长受点C位置的影响,但由∠ABC=30°以及CE=AD,实际上点C的位置受点A的影响.有了前面探究活动的铺垫,这名学生由第2)小题中△ADN≌△CEF,以及动点A在定直线EF上,发现原问题不是他认为的“定弦定角模型”,而是“将军饮马模型”,从而找到了问题的突破口,如图10所示(类比如图6所示的方法,作点N关于EF的对称点N1,联结DN1交EF于点A1).

从师生探讨中分析这名学生思路受阻的成因,虽然几何模型的相关学习使其能迅速识别题目隐含的模型,进而调动记忆中该模型的相关认知结构以便对问题展开求解,但这也容易造成思维定式,使其难于结合问题条件识别模型的适切性,在运用模型探寻思路受阻时,无法准确判断是条件挖掘、整合不够,还是对模型本身隐藏的规律和关系认识有所偏颇或不足.但归根结底,主要原因在于目前的几何模型教学存在不合理现象:部分课堂教学只是教授模型的成立条件、运用方法,对模型的本质及其方法由来和知识间的关联讲解不深入,数学思想的体现和渗透的力度不够;对几何模型在“图形与几何”内容中的意义,特别是在推动核心素养发展方面的作用认识不到位,加之部分教师认为学生在几何模型的学习和运用主要是如图11所示的认知过程,忽略了绝大多数学生面对几何模型问题,特别是如第3)小题这样的涉及运动变化的几何最值问题时,由于图形变化产生的抽象性和不确定性,使得模型的深层建构难以一蹴而就,需要经历反复、多次的螺旋上升的过程,如图12所示.

图11

图12

因此,亟须对几何模型教学的内容和方式进行把握与创新,注意与信息技术的有机结合,才能从根本上促进几何模型教学朝着有利方向转变.

2 教学思考

在《义务教育数学课程标准(2022年版)》中,“图形与几何”作为4个课程内容之一,主要研究几何图形的位置关系和数量关系[2].几何模型用简洁、直观,甚至较少的位置和数量条件高度概括了图形中边、角隐含的某些规律或性质,能够为学生的素养提升提供帮助.但无论学习何种几何模型,模型本身只是一个载体,教师应着力于借助几何模型这个载体,思考如何引导学生掌握研究几何图形的一般思路和基本方法,从几何模型的学习活动中积累必要的经验,发展相应的核心素养.综合前文的论述和分析,笔者认为初中几何模型教学应聚焦以下3个方面.

2.1 整体把握几何模型,注重模型与核心素养的联系

几何模型是落实“图形与几何”课程内容目标、发展学生相应核心素养的载体.因此,一方面,教师要对几何模型涉及的内容整体分析,包括模型的产生与来源、与之相关的知识结构和联系以及模型本身在整个课程中的价值和意义.此外,还应特别注意将教师对几何模型的教学意图清晰地向学生展示,引起其重视.这里尤为重要的是教学中要强化学生对模型的理解,提炼出贯穿模型背后的知识及方法的本质.以例1中“角平分线模型”为例,模型的几种结构如图13所示,其方法本质是在已有一边一角(角平分线)对应相等的条件下,根据三角形全等判定条件“SAS”或“AAS”进行相应的图形构造与补充.厘清模型方法的由来方能确立适合学生认知基础的几何模型学习主题,也才能在某一模型主题统整下帮助学生建构起脉络清晰的知识体系,形成逻辑性较强的知识结构.

图13

另一方面,几何模型的教学要注意引导学生类比不同几何模型之间研究方法的异同,深刻感悟方法间的一致性和可迁移性,在此基础上明晰模型概念、原理及其运用条件,由此建构起有效的认知结构,从而学会用整体的、发展的、联系的数学眼光思考和分析问题,养成良好的思维习惯,在此过程中与之对应的核心素养才能得到发展.

教师要根据“图形与几何”板块的内容主线,明晰教学中涉及的几何模型是否与之契合,从而准确挖掘模型中的核心素养要素,进而厘清这些要素在模型概念、原理和性质的习得以及运用阶段达到何种要求和发展水平,便于准确把握该阶段需要关注的核心素养,使模型无论从内容还是从学习要求上都能与核心素养的目标紧密联系在一起.

2.2 创新几何模型教学方式,注重引导学生探究

几何模型是一类具有高度概括性和抽象性的内容,必然要经历螺旋上升的学习过程,这就需要学生深度参与学习,也只有这样才能实现对模型深层次地建构,由此发展创新意识和实践能力,还要求教师在几何模型教学时注重引导学生探究式地展开对模型的学习.在几何模型的学习中,学生的动手操作和自主探究对促进他们理解和运用数学思想、发现模型隐含的规律或关系都有不可替代的作用.例如,上文中,学生在笔者引导下,完善对角平分线模型的认识后,独立结合问题条件进行探究并发现第3种方法,在顺利解决问题获得良好的数学学习体验的同时,对角平分线模型也有了更完整的认识,充分感受到“转化”这一数学思想在问题分析、求解过程中的重要性,同时更深刻地认识到模型运用离不开对问题条件的深度挖掘和有机整合.此外,几何模型的教学要通过设置层层递进、适合各认知基础的学生参与的问题解决活动.例如,在第3)小题的实际教学中可先设问求△CEF周长的最小值,在此基础上再安排求△BCF的面积,同时还可类比△CEF周长最小(即求CE+CF的最小值)问题,将其改变为求|CE-CF|的最大值,借助一系列问题变式调动各认知水平层级的学生主动参与到模型的探究学习中,尝试将几何模型蕴含的规律、性质和重要结论自主探究并建构出来,体会到几何模型学习的乐趣,增强学习的信心.

几何模型教学的关键在于教师要着力促进学生自主探究、学会探究,以学生的核心素养发展为教学目标,思考如何根据不同模型内容、不同学习要求选择包括现代教育信息技术在内的何种教学模式更为适当,推动几何模型教学的师生共进,教学相长.

2.3 重视信息技术的运用,促进信息技术与几何模型教学的深度融合

现代信息技术的跨越式发展促使课堂教学模式发生了很大的变化,针对几何模型教学而言,更需要重视现代信息技术的运用.几何模型的突出特点是其本质不变,但问题情境多样,特别是以几何最值为代表的各种几何模型.在这类模型的问题教学中,利用信息技术让图形“动”起来,将抽象的、不易准确把握的图形变化过程直观、形象地展示给学生,这样做不仅可以切实提升课堂教学的有效性,还能培养学生相应的几何直观和空间观念等核心素养.例如,师生探讨第3)小题,当学生根据条件“EF=DE,EF=2,∠ABC=30°”,认为这是“定弦定角模型”问题时,笔者并未第一时间指出其思考的不足之处,而是首先肯定其准确识别出这里有“定弦定角模型”,随后借助几何画板软件,让其观察点B在圆上运动时点A和点C的位置,如图14～16所示.

图14

图17

信息技术与几何模型教学的深度融合使学生得以充分调动多种感官投入问题的探究活动,消弭由于图形变化导致难以分析而产生的畏难情绪,从而有利于学生在图形变化中发现数量和位置关系的“变”与“不变”,引导其正确地进行模型识别,为后续准确挖掘图形隐含的性质,进而顺利解决问题搭好“脚手架”,促进几何直观、空间观念等核心素养的发展.

几何模型的教学需要教师在内容的整体把握、教学模式的改进与创新,以及现代信息技术的深度融合下促进学生积极自主探究,积累必要的经验,深入体会直观验证和演绎推理在几何模型学习中的重要作用,逐步落实几何直观、空间观念以及推理能力等核心素养目标,在不断探索几何模型规律、性质的过程中感悟数学特有的人文韵味.