基于势函数的多车自动驾驶交互

黄兢诚

（香港中文大学，香港 999077）

一、简述

多车辆协同控制的研究始于20世纪70年代。主要研究内容是如何组织多车辆系统完成给定的任务。近年来，世界上许多研究机构都在这一方向上取得了一定的成果。研究重点主要在以下四个问题：共识、群集、群集控制和编队控制。

本文主要研究基于势函数的多车辆编队控制方法。目标是使多车辆系统达到：一是到达指定位置；二是避免车与车、车与障之间的碰撞。基于车辆的物理模型，构建合适的系统势函数，以使得系统最后能够收敛。使用Lyapunov理论验证了系统的稳定性，最后使用matlab进行了软件仿真。

二、势函数

（一）势函数介绍

势函数是在20世纪90年代提出的一种虚拟力场的方法，旨在构造一个人工势场，对场内的车辆或智能体进行控制。在场内，目标位置对车辆产生虚拟引力，引力方向从车辆指向目标位置，引力大小与车辆和目标之间的距离成正相关；障碍物或其他车辆对控制车辆产生虚拟斥力，斥力方向从障碍物指向控制车辆，斥力大小与障碍物和控制车辆之间的距离成反相关[1]。

图1 虚拟势场

（二）建模

对系统中每一个个体进行物理建模。本文使用一阶模型，输入为线速度和角速度，其状态空间方程为：

（三）连通性

部分多车辆系统包含一个主机，多个从机。各从机通过传感器感知到环境信息后，传递给主机，在主机内进行决策判断，最终下达控制指令给到各从机。也有一些系统是多主机系统，各自个体接收到周围个体信息后，自我决策。

实际系统中，常需要每一个个体之间都存在信息传递。受限于通信方式，存在约束是所有个体需要在一定的区域内行动，保持连接。这就是群集，确保系统的连通性。

如图2，考虑一个以r0为中心，以R0为半径的圆形。系统中所有车辆在移动中，必须时刻保持在这样的虚拟圆形区域内，以保证发送和接受信息的稳定性。

图2 连通区域

转换成数学模型即：

其中，di0是个体i和限制区域中心圆点r0的距离；rα是个体车辆的物理半径。由于限制区域的半径R0和个体车辆的物理半径rα是常量，使用R=R0-rα代替。

使用Ci0表示个体距离限制区域边缘的距离，简化后的模型即：

基于此，我们可以构造连通性边缘的斥力势函数为：

为了使得系统收敛，使用梯度构造目标坐标的引力势函数，结合上述斥力势函数，可得：

使用梯度函数的原因在于：1.当Ci0接近于0时，即控制个体i即将超出限制区域时，斥力bi0(ri)将会趋近于无穷，阻止其冲出；2，当个体i坐标接近目标坐标rid时，即到达指定区域，那么综合势函数ri0(ri)将会趋近于0，不再有任何方向的势力，使其可以收敛。

此外，式中的bi0(ri)的梯度表达式在此处给出：

为了确保得到一个可以使用Lyapunov理论的正定函数，对其采取平方：

（四）避撞

当系统中多个车辆在移动时，有必要对整个系统进行协调控制，避免车与车之间的碰撞[2]。

图3是个体i与个体j之间的物理距离示意图。为确保两者之间不发生碰撞，需要确保其质心之间的距离大于两者半径之和。此处以圆形代替真实的车辆尺寸，在实际中，可以以车辆表面任意两点连线中最长的距离，作为本文圆形模型的直径，即可达到一样的避撞效果。使用dij表示二者质心的距离，约束可以用数学模型表达为：

图3 避撞示意图

使用坐标表示，则有约束：

可以构造同样的斥力模型：

为使得系统能够收敛，定义势函数为：

最后将其平方，得到正定函数，同时乘以系数ρ：

该系数ρ是取决于二个个体间距离的权数参数，当超出一定距离，可以忽略该斥力；当距离太近时，权数增加到1，斥力充分发挥作用，避免碰撞；当距离由远及近或由近及远，斥力呈现出平稳的变化趋势。

（五）控制率

结合上述保持连通性和避撞的约束条件，整合出每个个体i完整的势函数方程：

为计算方便，将其归一化：

基于势函数，可以计算得到控制方向和大小。针对每个个体i给出控制率：

其中，ki和λi是控制参数的比例系数，而控制合力的方向，由势函数求偏导后给出。

该系统的稳定性在2.6小节中由Lyapunov理论证明。

（六）Lyapunov 证明

存在类Lyapunov函数Vi，基于此求导有：

引入梯度向量，可得：

将其带入Vi：

当个体i到达目标坐标时，即ζi=0，显然Vi值也为0。为避免存在某一点非目标坐标的其他坐标rγ使得广义梯度朝各向都是0，引入系数α∈[0,1]：

那么动态方程可以转化成：

其中β∈[0,1]，ui≥0。简化后得：

因此，当且仅当个体i到达目标坐标时，才会收敛到0，ui也同步收敛。

将目标坐标带入表达式，即ri→r0时，可表达为：

三、仿真

本文使用matlab进行了2次仿真。搭建的系统中一共设置了13个个体，分别有各自的初始坐标和目标坐标。在仿真开始后，它们将在势函数的作用下，朝着指定位置前进，同时保持连通性和避障。此外，在第15秒时，目标位置发生变化，系统需要即时调整，朝新坐标收敛。

（一）第一次仿真

记录过程的图组中清楚地显示，在前15秒中，各个体均可以成功到达设置的目标位置；但当15秒调整了目标位置后，存在2个个体无法正确收敛，而是停在了某一平衡点。

原因是出现了局部最小值[4]。在该点，个体在虚拟势场中受到的引力和斥力是平衡的，合力为0，所以控制率也为0，个体不再移动，达到平衡。而出现局部最小值的原因是避障势函数不合适，导致系统会存在多个平衡点。为解决这个问题，需要调整避障势函数。

（二）第二次仿真

在此次仿真中，所有个体均能收敛到目标位置，达到所有预期。

四、总结

本文主要阐述了基于势函数的多车辆编队控制方法。通过系统的物理模型，构建出合适的势函数，使得系统收敛到给定目标，且过程中保持连通性和没有碰撞发生。仿真结果表明，系统搭建成功。

事实上，势函数法存在很多问题，例如局部最小值和局部振荡，但其也有独特的优势，如安全可靠、响应快速、控制平滑[5]……关键点在于找到合适的势函数模型，才能够有一个稳定可靠的系统。