经历数学抽象过程 提升数学建模素养

吴启虎

［摘  要］ 在新课改的推动下，数学建模得到了广泛的重视. 在数学建模教学中，教师可以通过创设有价值的问题启发学生去发现、去探索、去归纳，通过经历知识抽象和简化的过程让学生更好地理解数学、应用数学，感悟数学建模价值，落实数学建模素养.

［关键词］ 问题；过程；建模素养

数学模型其实质是为了达到某种目的而对部分现实问题做出的一个简单化、抽象化的处理，并形成可操作化的符号模型. 在此过程中，通过对实际问题的不断抽象与简化确定变量和参数，通过感悟其中蕴含的数学规律，建立起能够解决实际问题的数学表达式的模型. 在初中数学教学中，教师应将培养学生数学建模能力作为数学教学的一项基本任务，引导学生参与数学模型抽象和简化的过程，培养学生良好的建模思维，落实数学建模素养. 那么，在日常教学中，如何提升和落实学生的数学建模素养呢？笔者结合教学实践谈谈几点个人的粗浅认识，以供参考.

探尋本质，感悟数学建模

在数学教学中，教师应该从教学实际出发，精心设计突出知识本质的问题，让学生在问题的驱动下理解数学的本质，主动建构数学模型，提高学生的数学应用水平. 不过在实际教学中，部分教师为了“赶进度”，很少带领学生经历模型建构的过程，大多直接将现成的数学模型呈现给学生，让学生直接套用现有模型解决问题. 这样学生虽然能够通过“硬记”和“强化”熟记和运用模型，但由于自主发现、探索、总结归纳等过程的缺失，不利于学生分析和解决问题能力的提升，也不利于学生数学建模能力的培养. 基于此，教学中教师应以学生为出发点，以问题为导向，带领学生经历数学模型的建构过程，使学生通过亲身经历更好地获得数学感悟，进而提升数学教学品质.

案例1  “握手”问题的探索与应用

思考1：G5次列车从北京南始发，途经济南西、南京南、苏州北，终点站为上海虹桥. 为了满足不同旅客的购票需求，沿途各站需要准备多少种不同的单程票？

思考2：班级共有49人，彼此握手，共需要握手多少次？

思考3：某校七年级10个班举行篮球比赛，第一轮采用单循环赛制，那么第一轮共需进行多少场比赛？

设计意图  从学生熟悉的生活情境出发，引导学生通过解决实际问题提炼解决问题的方法，体会数学建模思想，加强数学建模意识.

思考4：小明在纸上点了n个点，任意连接两点画线段，则小明最多可以画多少条线段？

思考5：数一数，图1中共有几个三角形？

设计意图  从已有的数学经验出发，通过对图形问题的解决进一步感知数学模型，逐步形成对“握手”问题本质的理解，提高学生的数学思维品质.

数学建模是对生活实际问题的一种抽象和简化，在培养学生建模素养的过程中，教师应从生活实际出发，引导学生经历抽象和简化实际问题的过程，以此提高学生主动参与学习的积极性. 同时，在此过程中，教师要充分发挥其引导者的作用，通过多角度、多层次的探索，让学生掌握问题的本质，通过引导学生经历模型抽象的过程，培养学生的数学建模素养.

整体建构，落实数学建模

周知，数学知识之间是相互关联的. 在建构模型的过程中，教师要有意识地将相关知识串联起来，通过对比分析帮助学生深化知识理解、锻炼解题技能，进而感悟数学本质，落实数学建模素养.

案例2   “共顶点的特殊三角形”教学设计

问题1：如图2，△ABC和△CDE为等边三角形，且B，C，D三点共线，连接AD，BE，两线交于点H. AD和BE有怎样的数量关系？图2中有几对全等三角形？∠AHB的度数是否可求？

问题2：如图3，△ABC和△CDE为等边三角形，且B，C，D三点不共线. 连接AD，BE，两线交于点H. 问AD与BE存在怎样的数量关系？此时∠AHB是多少度？

问题3：分析问题1和问题2不难发现，问题2就是问题1中的△ABC绕点C顺时针旋转了一定的角度，此时AD=BE，∠AHB=60°. 如果继续旋转，你有什么发现？

问题4：如图4，△ABC和△CDE为等边三角形，连接AD，BE，AD与BE是否相等？若延长DA和EB使之交于一点H，此时∠AHB是否仍为60°呢？

问题5：结合以上问题，你能得到什么结论？

问题6：如图5，若△ABC和△CDE为等腰直角三角形，以上结论还成立么？如果是其他特殊三角形又会如何呢？

从以上教学安排来看，教师首先从等边三角形出发，通过寻找三角形全等的模型得到相关结论，为后面的一般性探究打下坚实的基础. 在以上教学过程中，教师合理应用变式，让学生在变化的过程中逐渐抽象出不变的本质，由此得到相关结论，建构起相关的数学模型. 教师通过整体连贯的问题带领学生经历由简单到复杂，由特殊到一般的探究过程，让学生感受到数学探索的乐趣，激发学生数学学习的热情. 另外，整个教学过程关注学生发展，重视学生发散思维能力的锻炼. 学生通过亲身经历结论抽象的过程有效地培养了数学建模素养.

逐层递进，掌握数学建模

数学建模能力的培养是一个长期且复杂的过程，教学中要尽量少一些照抄照搬，切实从学生学情出发，通过典型例题的开发与利用帮助学生积累建模经验. 在日常教学中，教师首先应该从典型特例出发，通过对典型特例的剖析让学生总结归纳解题经验，形成解题策略，从而为类似问题的解决提供方法保障；其次，要通过创设合理的问题情境让学生关注模型和基本图形发现、积累和运用的过程，重视培养学生的模型意识，让学生通过模型的运用感悟数学建模的价值，提高学生主动建构数学模型的积极性；最后，要相信学生、尊重学生，充分考虑学生的思维习惯、学习能力，从全员的角度出发，通过由浅入深、层层递进的问题启发学生思考，激励学生探究，从而让学生的思维得到发展，能力得到提升，促进全体、全面发展的教学目标的落实.

案例3  “直角三角形中的折叠问题”教学设计

问题1：如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6. 把Rt△ABC沿AD翻折，使得AC与AB边上的点E重合，求AD的长.

问题2：如图7，把Rt△ABC沿BD翻折，使得BC与BA边上的点E重合，求BD的长.

歸纳总结：以上两个问题都是将三角形的直角边向斜边折叠，折叠后形成多个直角三角形，合理应用对应边相等的条件及勾股定理，可求出任一线段的长度.

问题3：如图8，把Rt△ABC沿CD翻折，使AC与BC边上的点E重合，如何求CD的长？

归纳总结：该题折法与前两题不同，是将三角形的一条直角边向另一条直角边折叠. 折叠后，直角被平分为两个45°角，过点D向两条直角边作垂线可以构建一个正方形模型，然后利用勾股定理即可解决问题.

问题4：如图9，把Rt△ABC沿某直线翻折，使点A与点B重合，如何求折痕DE的长？

问题5：若再换两个定点，使点A与点C或点B与点C重合，又该如何求折痕的长？

问题6：把Rt△ABC沿某条直线翻折，使顶点A与BC边的中点F重合，或者使顶点C与AB边的中点F重合，又或者使顶点B与AC边的中点F重合，此时又该如何求折痕的长？

结合前面的探究经验，教师鼓励学生通过小组合作的方式探寻折叠不经过某一顶点时该如何求解，并通过对比分析进行总结归纳，逐渐建构解决相应问题的模型，由此深化对数学建模的理解. 在以上探究活动中，教师从特殊的、简单的问题出发，引导学生通过经历一般化的过程提炼解决问题的方法，培养学生的模型意识.

其实，在日常教学中，教师要善于引入一些专项练习，让学生通过对比分析探寻解决一类题的方法. 同时通过有效的对比启发学生提出有价值的问题，让学生在问题的探索和解决过程中主动探寻其中蕴含的规律，进而通过对规律的总结、归纳及运用来提高学生的数学建模意识，让学生掌握数学建模的方法，落实数学核心素养.

总之，建立数学模型为问题的解决带来了极大的便利，它是提高学生解题效率的法宝. 在实际教学中，教师要预留机会让学生经历思考、探索、操作、归纳等过程，使学生通过亲身经历熟练掌握数学模型，从而为数学应用能力的提升打下坚实的基础.