没有极限概念，如何理解导数的几何意义

董海涛

安徽省阜阳市第三中学 (236006)

导数是微积分的核心内容之一，由于它是研究现代科学技术必不可少的工具，也是研究函数性质的有效方法，同时它也是高等数学的内容，所以在历次教材改革中，变动既频繁又较大，既体现了编者对它割舍不下的情怀又充满了不知如何安排的迷茫.本文就北师大版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》(以下简称“新课程教材”)中对这部分内容的安排，提出教学中的困惑，并结合实践，提出对策，供大家参考.

1.新课程教材安排ビ朐人教版《全日制普通高级中学教科书数学选修Ⅱ》(以下简称“旧课程教材”)相比，新 课程教材在教学内容、教学要求上都有很大变化，其中与本文讨论有关的是导数概念的引入，不讲极限概念，而是注重通过实际背景创设丰富的情境，不惜篇幅引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从本质上认识和理解导数概念，在给出导数定义后，又给出了三个具体例子，加深对导数的实际意义的认识，这些都是旧课程教材所没有呈现的.

教材的具体安排是：§1《变化的快慢与变化率》，用了两个实例分析和两个例题，帮助学生实现“平均变化率”到“瞬时变化率”的质的飞跃，为导数概念的引入做好扎实的铺垫.§2《导数的概念及其几何意义》，由于有了上一节大量生动的背景实例，至此，抽象出导数定义已是水到渠成.实际教学中，学生对“…在数学中，称瞬时变化率即为函数y=f(x)在x0点的导数”是欣然接受的， 相对旧课程教材，导数定义的给出无疑是成功的，但我们的困惑是下列问题.

2.没有极限的概念，如何理解导数的几何意义バ驴纬探滩脑凇2中，专门安排了§2.2《导数的几何意义》，教材在描述性地给出了“曲线的切线”定义后，紧接着就是“该切线的斜率就是函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0)”.学生的困惑是：f′(x0)不是函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率吗?它反映的不是割线AB在点x0处的变化快慢吗?它怎么又是y=f(x)在点x0的切线斜率了呢?教师困惑的是：(1)本想弱化形式化的定义，降低学生理解导数的难度，但教材在导数定义后，又“通常用符号ゝ′(x0)表示，记作f′(x0)=┆玪im獂→x0f(x)- f(x0)x-x0=┆玪im△x→0f(x0+△x)-f(x0)△x”，这里还是出现了形式化的定义.(2)极限定义能回避得了吗?导数定义中无法回避，这是不争的事实，新课程教材在§3《计算导数》中，不仅出现了极限的符号，而且出现了极限的运算，与其在这里让老师费尽口舌给一头雾水的学生解释半天(事实上学生仍无法理解)，既偏离了主题又没有效果，不如干脆增加一节“极限的定义”.

3.我们的对策ノ沂∈2006年秋季进入新课改的，首轮教学中我们循规蹈矩地按教材进行教学，结果学生只能是生吞活剥地记下结论，由于不理解导数的几何意义，在实际应用中，只能是照搬模仿，根本谈不上灵活二字.在2007年开始的二轮教学中，我们对新课程教材作了大胆的尝试，收到了理想的效果，具体地在两处做了调整.

3.1 增加一节极限的定义ピ谘⌒2-2§2《变化率与导数》的§1《变化的快慢与变化率》之前，增加一节，课题是《极限的定义》，课时为一节课，主要介绍极限符号的引入和使用，初步渗透极限思想，具体内容是：首先，通过列举实例，给出“数列极限”的描述性定义：一般地，设{a璶}是一个无穷数列，如果当n趋向于无穷大时，a璶无限地趋向于一个常数a，则称a是数列{a璶}的极限.然后给出形式化的符号表示：即“当n→∞时，a璶→a”记作“┆玪im猲→∞a璶=a”.

然后，将数列极限的初步认识正迁移到“函数极限”，仍然通过实例列举，只介绍“当x→x0时，函数f(x)的极限”，并给出形式化的符号表示“当x→x0时f(x)→a，记作┆玪im獂→x0ゝ(x)=a”，以实现数列极限的顺应和同化.这里不介绍“当x→∞时，函数f(x)的极限”，也不介绍“函数的左、右极限”，以免增加学生理解上的困难，更主要的是避免冲淡主题——我们这里只是介绍极限的形式化表示和极限思想，并不涉及极限的完整定义.事实上，在旧课程教材选修Ⅱ中，学生对“x→x0时，函数f(x)的极限”的理解要比“函数的左、右极限”容易得多.

最后，为了加深对极限符号的认识，我们设计了一组练习：

1、请用语言描述下列极限符号的含义(有的教师根据班级学生情况，要求学生探究符合要求的数列{a璶}或函数f(x)的解析式)：

(1)┆玪im猲→∞a璶=1;(2)┆玪im獂→1f(x)=-2;

(3)┆玪im獂→0f(x)=13;(4)┆玪im獂→-1f(x)=4.

2、正三棱锥S-ABC相邻两个侧面所成的二面角为α，则α的取值范围是().

A.(0，π) B.(π6,π)

C.(π3,π)D.(π3,π2)

3.2 调整一段叙述ビ辛思限的符号表示，在§1 节例1和例2中，均可以用极限符号表示“小球在t=5s时刻的瞬时速度”和“合金棒在x=2处的线密度”了，而且将§2.2《导数的几何意义》的叙述调整为：

函数y=f(x)在区间［x0,x0+△x］的平均变化率为△y△x，如图2-3所示，它是过A(x0,f(x0))和B(x0+△x,f(x0+△x))两点的直线的斜率，直线AB称为曲线y=f(x)在A处的一条割线.

如图2-4所示，设函数y=f(x)的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当点B(x0+△x,f(x0+△x))沿着曲线逐渐向点A(x0,f(x0))靠近时，割线AB将绕着点A逐渐移动，当点B沿着曲线无限接近点A(即△x→0)时，割线AB也无限地逼近一个极限位置——直线AC，直线AC和曲线y=f(x)在点A处给我们“相切”的感觉，称直线AC为曲线y=f(x)在点A处的切线.

由于割线AB和切线AC都过点A，所以割线AB无限地趋近切线AC也即是k〢B无限地趋近k〢C.将上述变化过程表示如下：

当△x→0时，k〢B→k〢C，由极限的定义，

即k〢C=┆玪im△x→0k〢B=┆玪im△x→0△y△x

=┆玪im△x→0f(x0+△x)-f(x0)△x=f′(x0).

所以函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0)就是曲线在点A(x0,y0)处的切线斜率，这就是导数的几何意义.

4.几点反思(1)何谓“适度”的形式化?“数学教学不能只限于形式的表达，要强调对数学本质的认识.否则会将生动活泼的数学思想活动淹没在形式化的海洋里”，“强调本质，注重适度的形式化”(新课标十大基本理念之一)无疑是十分正确的.但“形式化是数学的基本特征之一，在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求”.具体地，导数定义能离开形式化的表达吗?离开形式化的表达，只能让学生死记导数的几何意义，这与新课标理念背道而弛吧.事实上，高二学生理解极限、导数的形式化表达并没有什

么障碍.

(2)增加一节极限的定义，是否增加了课时?新课标实施的阵地在课堂，增加一节极限定义，是增加了一个课时，看看以高考为目的的普通高中的课时安排吧，有几个学校的数学课时是每周四节?搞理论可以走得极端一些，但实践还是以尊重客观实际的好，以我校两个年级的实际教学效果看，增加一节极限定义，无疑是必要的.

(3)新课标要求实践于一线的广大教师，不仅是教材的执行者，还应是教材完善的参与者和建议者，教材是实现课程目标、实施课堂教学的重要资源，既然是资源就可以开发、利用，一线教师完全可以教学实际与需要，对教材做出合理的整合.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)［M］.北京：人民教育出版社.2003，4.

［2］严士健、王尚志.普通高中课程标准实验教科书•数学(选修2-2)［M］.北京：北京师范大学出版社.2008，6.