切线
- 巧用函数的凹凸性，妙解一类曲线切线题
全国卷中，曲线的切线是高考的高频考点。笔者所在学校的最近一次数学测试中，有如下题目（多选题）：D.当a=2，b＞0 时，有且只有一条切线此题如果用常规解法设切线再去求解，无异于做一道解答题，耗时颇多，可不可以小题小做呢？笔者不禁联想到之前研究三次函数切线条数问题，希望从中得到启发.一、解法探究关于三次函数的切线条数问题，有如下结论：点P（x0，y0）为三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）所在平面上一点.设函数f（x）的图像在拐点处的切线为l
师道(教研) 2023年10期2023-11-10
- 椭圆切线方程的多向推导及应用
0230)椭圆的切线问题是高中数学中的重要知识,也是高考考查的重点内容,2022年天津卷第19题、2021年天津卷19题都考查了椭圆的切线.1 椭圆切线方程的探究a2(yT+y0)(yT-y0)=-b2(xT+x0)(xT-x0).利用割线逼近切线的思想,当点T无限趋近于点P时,割线PT可近似看作椭圆在点P处的切线,此时割线PT的斜率即为椭圆在点P处的切线斜率,这一过程可以用极限思想表达为由直线的点斜式得切线方程为证明设l:y=kx+m,联立椭圆方程并消去
数理化解题研究 2023年22期2023-08-30
- 对数平均不等式的六种新颖证明及其应用
在x= 0处公共切线, 以及当x∈(0,+∞) 时,y= shx为凸函数(因y′′= shx＞0),所以曲线y= shx在其切线y=x上方,即x＜shx(x＞0).y= thx为凹函数(因), 所以曲线y= thx在其切线y=x下方,即thx＜x(x＞0). 故(7)式得证.图1评析根据函数的凹凸性,利用曲线与切线的位置关系证明不等式,这是切线法证明不等式的思路.3. 在2022 年高考题中的应用
中学数学研究(广东) 2023年11期2023-08-05
- 利用导数的几何意义求切线方程
导数.本文将求解切线方程分为已知切点和未知切点两大类,介绍了解题步骤并展示了相关高考真题的解答过程,供读者参考.1 已知切点P(x0,y0),求y＝f(x)的切线方程已知切点P(x0,y0),欲求y＝f(x)的切线方程,可以用如下方法解题.第一步:利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求函数f(x)的导数;第二步:求切线的斜率f′(x0);第三步:写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).令x＝0,得,所以点M的坐标为,所以又因为x1＜0,所以的
高中数理化 2023年3期2023-03-13
- 灵活应用切线不等式速解导数综合题
学1 指数函数的切线不等式指数函数f(x)=ex的切线不等式为ex≥et(x-t)+et.若t=0，则ex≥x+1；若t=1，则ex≥ex.这些切线不等式在处理与导数有关的压轴问题时，可起到化繁为简之效.例1任意x∈(0,+∞)，不等式xex-3-x-lnx-a≥0恒成立，求实数a的取值范围.解析:不等式xex-3-x-lnx-a≥0可化为xex-3-x-lnx≥a.令函数f(x)=xex-3-x-lnx，则原不等式恒成立，即fmin(x)≥a.因为f(x
中学数学杂志 2023年1期2023-02-11
- 复合函数巧求导 精设结构妙成章
——对二次曲线切线方程原创性方法的论证
图12 关于圆的切线方程(1)过圆上一点的切线方程已知圆C方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，若P(x0，y0)在圆上，则过点P的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；若P(x0，y0)在圆外，过P作圆的两条切线PA，PB，则切点弦AB所在直线的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.图2如图2，P(x0，y0)为圆C上一点，过点P的切线为l，则CP⊥l.设直线l：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-
中学数学 2022年21期2022-12-04
- 复合函数巧求导 精设结构妙成章
——对二次曲线切线方程原创性方法的论证
图12 关于圆的切线方程(1)过圆上一点的切线方程已知圆C方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，若P(x0，y0)在圆上，则过点P的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；若P(x0，y0)在圆外，过P作圆的两条切线PA，PB，则切点弦AB所在直线的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.图2如图2，P(x0，y0)为圆C上一点，过点P的切线为l，则CP⊥l.设直线l：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-
中学数学杂志 2022年21期2022-11-22
- 函数的凹凸性与切线的条数探究*
,可以发现曲线的切线问题是高考中的一个高频考点,例如,2020年I卷第6 题,II卷理科第5题,III卷第10 题;2021年I卷第7 题,II卷第11 题,甲卷理科第13 题,乙卷理科第21 题;2022年I卷第10,11,14,15 题,II卷第14 题,乙卷理科第21 题等.其中一类过点且与函数相切的直线条数问题,在求解时往往需要以导数为工具来研究函数的性质与图象特征,有较强的综合性,是培养学生直观想象,逻辑推理,数学运算,数学抽象等数学核心素养的良
中学数学研究(广东) 2022年19期2022-11-03
- 切线放缩法在不等式中的应用*
f(x0)) 处切线y=f′(x0)(x-x0)+f(x0)进行放缩. 即当函数y=f(x) 的图象在区间[a,b] 下凹(f′′(x)＞0) 时, 有f(x) ≥f′(x0)(x-x0)+f(x0); 当函数y=f(x) 的图象在区间[a,b] 上凸(f′′(x)＜0) 时, 则f(x) ≤f′(x0)(x-x0)+f(x0). 这种思想可以实现以直代曲,化超越函数为一次函数,在中学数学有着广泛的应用.一、利用指数函数切线放缩指数函数y= ex在x= 0
中学数学研究(广东) 2022年13期2022-08-29
- 高考中曲线切线问题的解法探究
两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_________.解析：∵ y=（x+a）ex，∴ y′=（x+1+a）ex，点评：本题考查了曲线的切线问题其实质是导数的几何意义，其常规思路为：先设出切点横坐标x0，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于x0的方程，根据此方程应有两个不同的实数根（此处可作两条切线等价转化方程有两解），求得a的取值范围.针对此题我们来进一步探究求曲线y=f（x）的切线方程的类型及方法：1. 求切线方程的方法：一点一
广东教育·高中 2022年10期2022-05-30
- 过抛物线外任意一点作切线的方法
曲线上任意一点作切线的方法.本文从中受到启发，先证明切线与过抛物线顶点且垂直于对称轴的直线的交点有一特殊性质，然后利用这一性质，给出过抛物线外任意一点作切线的方法，并予以证明.一、先证明一个与抛物线有关的命题命题1过抛物线y2=2px外一点P(x0,y0)，作抛物线的切线l，l与y轴相交于点M，则过M且与l垂直的直线必过抛物线的焦点.证明先求过点P的切线方程.如图1，设切点T(x1,y1)，方程y2=2px(p ＞0) 两边对x求导，2yy′=2p，即:y
中学数学研究(广东) 2020年19期2020-11-12
- 函数图像切线问题“大盘点”
就是曲线在该点处切线的斜率.用导数的几何意义研究曲线切线的有关问题是导数最基本的应用，也是近年高考的一个热点.本文以2019年的高考试题为例进行剖析，力求揭示此类试题的考查形式，探索它们的求解策略.题型一:求切线方程例1 (2019年全国Ⅰ卷理科13题)曲线y=3(x2+x)ex在点(0，0)处的切线方程为．解：∵y′=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex，∴曲线在点(0,0)处切线的斜率k=3，∴切线方程为y=3x.例2 (2
中学数学研究(江西) 2020年10期2020-11-04
- 圆锥曲线的切线问题研究
要】 圆锥曲线的切线问题是高中阶段学生学习理解圆锥曲线的一个难点，以圆锥曲线的切线性质为背景的题目频频出现，引起广大教师和考生的广泛关注。如何正确作出切线，计算出切线方程已经成为高三学生应考的一个必备知识。【关键词】 圆锥曲线;切线过圆锥曲线上一点作切线，并求其切线方程，是学生在学习圆锥曲线知识的过程中一个头疼的问题。学生在代入过程中容易犯错，同时计算过程也容易出错。针对圆锥曲线的切线问题，需要總结出规律，以便学生在高考中能轻松应对，提高解决圆锥曲线的题型
数学大世界·中旬刊 2020年1期2020-03-11
- 圆锥曲线的切线问题研究
圆锥曲线上一点作切线，并求其切线方程，是学生在学习圆锥曲线知识的过程中一个头疼的问题。学生在代入过程中容易犯错，同时计算过程也容易出错。针对圆锥曲线的切线问题，需要总结出规律，以便学生在高考中能轻松应对，提高解决圆锥曲线的题型的能力。一、椭圆的切线问题过椭圆上一定点作椭圆的切线方程与过椭圆外的一点作椭圆的两条切线的切线弦。1.过椭圆上的一点作椭圆的切线解：当切线的斜率存在时，设过点P(x0,y0)的切线方程为y=kx+m，代入椭圆方程得（b2+a2k2)x
数学大世界 2020年2期2020-03-07
- 高考题怎样改编（三）
——导数篇
点（0，0）处的切线方程为________.二、思维延伸本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，切点处的导数值为切线的斜率，能求吗？改编1 已知曲线y=（x2+ax+1）ex在点（0，f（0））处的切线y=kx+b过点（1，-1），则a+b的值为_______.本题利用待定系数法求解a，b，k的值，但也有仅仅找出制约关系.如果曲线上两点处的两条切线存在某种位置关系的条件，也可以改编为取值范围问题.改编2 已知a，b为常数，若函数f（x）=asinx+
新世纪智能(数学备考) 2019年11期2019-12-24
- 利用切线法解不等式问题
】本文介绍了利用切线法解不等式问题的各种类型和相应的求解方法，包括一些特定情况下的使用.【关键词】切线法;解不等式在处理某些函数不等式的问题时，常常通过函数在某点处的切线来近似代替曲线，利用切线将曲线放缩成直线解决，这种办法易学好懂，操作方便，本文就切线法在解不等式问题方面做些研究.一、切线法的适用类型引例已知a，b，c≥0，a+b+c=1，记T=4a+1+4b+1+4c+1，求证：T≤21.分析我们试图通过放缩将根号去掉，并且化为一次式，观察式子的特点，
数学学习与研究 2019年16期2019-10-18
- 巧用导数的几何意义解题
f（x0））处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率是f’（x0）。本文论述了求曲线切线问题“在点”与“过点”的区别、解析几何中的最值问题、两曲线交点处的切线以及公共切线问题、導数几何意义的综合应用等五个方面。
高考·上 2019年4期2019-09-10
- 考题中常见的切线问题
的过程中常遇到与切线有关的问题，有求函数图象的切线方程，也有求圆锥曲线的切线方程.在指导学生解答2018年全国卷Ⅲ文科第21题的过程中，除了遇到求函数图象的切线方程之外，还发现了利用曲线切线不等式的解题方法，此解法既为解决函数与导数的综合考题开辟了新的解题途径，也实现了复杂的解题过程简单化.由于切线问题以各种形式频繁出现于高考试题之中，所以深入钻研高考试题中常见的切线问题是十分必要的.一.高考对切线问题的考查为了掌握高考对切线问题的考查力度和考查形式，笔者
教学考试(高考数学) 2019年4期2019-08-03
- 关于抛物线切线方程的研究
（x0，y0）的切线方程为x0·xa2+y0·yb2=1，过中心在原点的双曲线x2a2-y2b2=1上一點P（x0，y0）的切线方程是x0·xa2-y0·yb2=1，而过抛物线y2=2px上一点P（x0，y0）的切线方程为y0y=p（x+x0）.过椭圆、双曲线上的点P（x0，y0）的切线方程含x的项中的x2分别被改写成x0·x，y2改写成y0·y.而抛物线的切线方程中含y的项中的y2被改写成y0·y，x却被改写成了（x+x0），为什么？
数学学习与研究 2019年10期2019-07-02
- 妙用切线法证明条件不等式
12n在x=处的切线方程y=ax+b，然后再证明（fx）≤ax+b（或（fx）≥ax+b）恒成立，再相加以获得原不等式的证明.这一方法称为切线法，其几何意义是函数（fx）的图像总在切线y=ax+b的上方或下方，如何利用切线法证明不等式呢？下面通过课本习题来举例说明.例1 （选修4-5第41页第2题）已知a，b，c，d∈R+，且a+b+c+d=1，求证a2+b2+c2+d2≥.证明：构造函数（fx）=x2，x∈（0，1］，则f（′x）=2x.
中学数学杂志 2018年17期2018-09-15
- 例析用导数求切线方程的几种类型
)用导数求曲线的切线方程的方法为：设P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的一点，则以P为切点的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0)．当曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))的切线平行于y轴(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为x=x0．下面例析几种常见的类型及解法.类型一：已知切点，求曲线的切线方程题目中点明切点，只需求出切线的斜率,并代入点斜式方程即可．A.x-y-2=0 B.x+y-2=0C.x+4y-5=0 D.x-4y-5=0分析
数理化解题研究 2018年4期2018-05-09
- 圆锥曲线中与切线长相关的一组等式
武圆锥曲线中与切线长相关的一组等式江苏省常州高级中学 (213003)陈 武文[1]把圆的切线长公式推广到有心圆锥曲线中.文[2]对于双曲线的情形作出了更正与证明.从公式中感受数学对称美、简洁美的同时，我们也自然地提出两个问题：有心圆锥曲线中是否还存在与切线长相关的其他等式；抛物线中是否也存在与切线长相关的等式.经过探究，笔者得到以下一组与切线长相关的优美等式.图1椭圆也有类似的性质，证明方法与性质1类似，不再另证.图2注:圆本质上是椭圆的一种退化形式(
中学数学研究(江西) 2017年12期2018-01-03
- 高考题中的圆锥曲线切线作法探究
来，涉及圆锥曲线切线的试题很多，主要是求切线方程、研究切线的性质、切线的应用等几类问题。探究圆锥曲线的切线作法有利于理解圆锥曲线的本质属性，迅速发现解题思路，提高分析问题、解决问题的能力。以下举3例说明。endprint
新高考·高三数学 2017年4期2017-07-10
- 浅谈初中数学圆的切线证明方法
明一条直线是圆的切线呢？我们先回归到切线的判定定理中，切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。这就给我们指明，要证明圆的切线，必须满足两个条件：1.直线要经过半径的外端；2.这条半径要与直线垂直。抓住这两个条件，就可以解决圆的切线问题，我们在平时的教学中，把这两点归纳起来：有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径。下面我就通过举例来进行说明。1.有公共点，连半径，证垂直当圆和直线有明确的公共点时，连接该点与圆心，证明直线
卫星电视与宽带多媒体 2017年11期2017-06-20
- 圆上一点的切线方程
阶段求圆上一点的切线方程一般的步骤是：（1）先求圆心和切点的斜率；（2）再用点斜式直线方程求出圆上一点的切线方程。这种方法很实用但是好多学生不注意总结，将点斜式的直线方程转变成了我们的一般式直线方程，错过了将这一结论推广的机会，也在以后的解题过程中给自己带来了很大的计算量。关键字：切线；图像平移；切点；椭圆上切线中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）12-0282-01下面我就从基础理解、提高理解、迁移理解三个方
读与写·上旬刊 2016年12期2017-03-21
- 导数视角下曲线切线的求解及应用——以解析几何为例说明
焱导数视角下曲线切线的求解及应用——以解析几何为例说明筅江苏省宜兴市和桥高级中学戴栋焱众所周知，解析几何中直线与圆锥曲线位置关系是高考数学的重要内容之一.纵观近几年的各省、市的高考试题，直线与圆曲线相切问题经常映入我们的眼帘，对于此类问题的求解关键是切线方程的引入.本文从导数的视角来引入解析几何中曲线的切线.一、圆的切线方程过圆x2+y2=r2上的点（x0，y0）的切线方程：对x求导得2yy′=-2x，所以切线的斜率为k=y′=-y0≠0时），所以切线方程
中学数学杂志 2016年13期2016-11-25
- 论高中导数几何意义问题的盲点与误区
觉与误解。曲线的切线问题，是研究曲线性质的重要方面，也是高考常考内容。一部分人对曲线切线的内涵与性质往往把握不够准确，对解决这类问题的方法不明晰，从而对该问题产生感官和求解方法论的错误。一、混淆“在一点处的切线”与“过一点的切线”“在一点处的切线”是指以该点为切点的切线，该点一定在曲线上，切线只有一条。直接由在该点的导数值确定切线斜率，进而求出此切线方程。而“过一点的切线”，该点不一定是切点。只有确定了切点，才能利用导数法求斜率，再求切线方程，切线可能不唯
学校教育研究 2016年22期2016-07-09
- 论高中导数几何意义问题的盲点与误区
觉与误解。曲线的切线问题，是研究曲线性质的重要方面，也是高考常考内容。一部分人对曲线切线的内涵与性质往往把握不够准确，对解决这类问题的方法不明晰，从而对该问题产生感官和求解方法论的错误。一、混淆“在一点处的切线”与“过一点的切线”“在一点处的切线”是指以该点为切点的切线，该点一定在曲线上，切线只有一条。直接由在该点的导数值确定切线斜率，进而求出此切线方程。而“过一点的切线”，该点不一定是切点。只有确定了切点，才能利用导数法求斜率，再求切线方程，切线可能不唯
卫星电视与宽带多媒体 2016年22期2016-06-29
- 关于三次函数图象切线问题的探讨
关于三次函数图象切线问题的探讨韩尚石（延吉市教师进修学校，吉林延吉13000）近年来，三次函数图象的切线问题在高考中时常出现，一些考生感到束手无策。本文利用高等数学知识，探讨了三次函数过定点的切线问题，以期为学生解决此类问题提供新的方法、新的思路。三次函数图像；切线问题；高等数学；方法；思路过一点作三次函数图象切线的问题，在历年高考试题当中频频出现。如2009年江西省文科第12题，2004年天津市理科第20题，2004年重庆市文科第15题等。这类问题对于一
延边教育学院学报 2015年1期2015-10-22
- 圆的切线证明技巧
张挺雄圆的切线是九年级数学中的一个重要内容，是在中考中常考的一个知识点。而相当一部分学生在证明一条直线是圆的切线时，有的无从下手，有的证明过程不完整。下面就圆的切线证明归纳总结如下：一、掌握切线的判定方法，理解切线的概念与特征1.根据定义，即和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。2.到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。3.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。理解上面的概念，必须抓住两点：①直线经过半径的外端；②直线垂直于这条半
新课程学习·中 2015年4期2015-06-11
- 圆的切线学习“一卡通”
义入手，理解圆的切线的概念与特征1.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.理解这个概念，必须抓住两点：（1）直线经过半径的外端点；（2）直线垂直于这条半径.这两个条件缺一不可.2.切线的特征endprint一、从定义入手，理解圆的切线的概念与特征1.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.理解这个概念，必须抓住两点：（1）直线经过半径的外端点；（2）直线垂直于这条半径.这两个条件缺一不可.2.切线的特征endprint一、从定义入手，
学生之友·最作文 2014年6期2014-07-24
- 双曲线切线的一组优美性质
［1］给出了椭圆切线的几个有关性质，笔者思考：椭圆和双曲线同为圆锥曲线，既然椭圆有这样的性质，双曲线应该也有相同的性质，或者有类似的性质.经过笔者的探究，发现答案是肯定的.现在将双曲线切线的若干性质叙述如下.性质1 双曲线的任意一条切线平分该切点与两焦点连线段所夹的角.图1所以PT平分∠F1PF2.若点P（x0，y0）在双曲线的左支，同理可证.即双曲线的任意一条切线平分该切点与两焦点连线段所夹的角.性质2 自双曲线外任一点引双曲线的两条切线，则该点与一个焦
中学数学杂志 2013年13期2013-07-25
- 对一个数学问题的探究
x2,y2),则切线MQ,NQ的方程分别为x1x+y1y=a2,x2x+y2y=a2.由点Q在切线MQ,NQ上得x1x0+y1y0=a2;x2x0+y2y0=a2，因此直线MN的方程为x0x+y0y=a2,即(1)设P(x′,y′)，则椭圆在点P处的切线MN的方程为比较式(1)，式(2),得x0=x′，所以PQ⊥x轴.2 结论拓广经过上述探究,可得到如下性质.若将结论作引申拓广，则可得：证明设Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2)，则切线MQ
中学教研(数学) 2010年5期2010-11-22
- 如何正确理解圆锥曲线的“切线”的定义
就“什么是曲线的切线？”的观点不一致。有人认为：“从初中圆的知识切线可知，当直线与曲线有一个公共点时，直线叫做曲线过该点的切线。”也有人说：“直线是否是曲线过该点的切线与直线和曲线的交点个数无关。”还有许多人无从判断，说不清道不明。下面就这一点，谈一谈我个人的观点。首先，切线这一概念是在初中三年级几何的圆中第一次学习，当一条直线与圆只有一个公共点时，我们就说这条直线是圆的一条切线。同时我们在高中计算与圆的切线有关问题时，方法之一就是用圆和直线的方程建立方程
现代教育信息 2009年2期2009-06-03
- 导数学习中的几个误区
曲线一定在该点处切线的同一侧．错因分析：学生比较熟悉圆、椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的切线，这些曲线在某一点处附近的曲线确实都在该点处切线的同一侧，学生往往通过类比．认为误区一的结论是正确的，这种先入为主的错误认识影响了对切线概念的正确理解．解析：由曲线在某一点处的切线的定义可知，曲线在某一点处的切线是通过该点的割线的极限位置，切线既可以位于切点处曲线的一侧，也可以穿过切点处的曲线．比如y=x3在原点处的切线为x轴，它穿过原点处的曲线．误区二函数在某一点
中学理科·综合版 2008年5期2008-08-05