有趣的计数问题

王晓梅

关于m个球队进行单循环比赛时总的比赛场数n的公式是七年级数学中有名的“单循环”比赛问题。每个球队都和其他球队赛一场，共赛(m－1)场，则m个球队总共赛m(m－1)场，但是每两个球队之间只需赛一场，上面的比赛场次重复计算一次，故总比赛场次是：n=m(m－1)／2。这个结果在七年级几何计数问题中有许多有趣的应用。

1计点的个数

例1三条直线相交最多有几个交点?四条直线相交最多有几个交点?

分析：把三条直线视为三支球队，因为两条直线相交只有一个交点，因此任意一点可看成任何两个球队进行的一场比赛，则三条直线相交最多有3×(3－1)／2＝3个交点，同理四条直线相交最多有4×(4－1)／2＝6个交点。

推广平面内n条直线相交最多有n(n－1)／2个交点。

2计线段的条数

例2在一条直线上画4个点，共有条线段。画2007个点共有______条线段。

分析：把A、B、C、D这四个点视为4支球队，任何两点间的线段看作任意两支球队进行的一场比赛，则图中线段的总条数为4×(4-1)／2=6；画2007个点时有2007×(2007-1)／2=4026042条线段。

推广一条直线上的n个点共可组成n(n-1)／2条线段。

3计直线的条数

例3有四个点，其中任意三点都不在同一条直线上，过其中每两个点画直线，可以画几条?

分析：把四个点视为4支球队，因为过两点有且只有一条直线，因此，过任意两点的直线可看成任意两支球队进行的一场比赛，则过四个点可画4×(4－1)／2＝6条直线。

推广平面内有n个点，每三个点都不在同一条直线上，过其中两点画直线，共可画出n(n－1)／2条。

4计角的个数

例4如图1共有______个角，如图2共有______个角(指0°～180°之间的角)。

分析：因为每两条射线组成唯一的一个角，所以任何两条射线组成的角，可以看成任意两支球队进行的一场比赛。

因此图1中射线组成的角的个数为4×(4-1)／2=6。

图2中射线组成的角的个数为50×(50-1)／2=1255。

推广如图3。过0点的n条射线可组成n(n-1)／2个角。

5计三角形的个数

例5图4中有几个三角形?

分析：把点B、D、E、C视为四支球队，任意两点和A点可组成唯一的一个三角形，因此任意两点和A点组成的三角形可以看成任意两支球队进行的一场比赛，所以图4中有

4×(4－1)／2＝6个三角形。

推广如图5，直线上A1、A2，…。An共n个点和直线外一点0，可组成n(n-1)／2个三角形。