与双曲线直径相关的一组优美性质

吴赛瑛

最近，笔者借助几何画板，对双曲线的直径进行了探究，得到了与双曲线直径相关的一组优美性质，叙述如下与大家共勉.

性质1 如图1所示，AB为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的任一直径，l是双曲线在点A处的切线，若AB与l的斜率都存在，则AB所在直线斜率与l的斜率之积为b2a2.

证明：设点A的坐标为(a玸ecθ,b玹anθ)，则直线AB的斜率为k〢B=b玸inθa.可得l的方程为x玸ecθa-y玹anθb=1，从而可知l的斜率为k璴=玸ecθa•b玹anθ=ba玸inθ.故有k璴•k〢B=ba玸inθ•b玸inθa=b2a2.

性质2 如图2所示，AB为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的任一直径，点P是双曲线上异于A和B的任一点，若AP与BP斜率都存在，则AP与BP斜率之积为b2a2.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”