圆锥曲线的又一统一性质

郭旭炯

圆锥曲线的很多性质都和其焦点有关，在此我们不妨称准线和对称轴交点为准点；以焦点在x轴上的圆锥曲线为例，定义点(±m,0)、(±a2m,0)为类焦点、类准点，本文试图对它们之间的联系作些思考.

定理1 已知圆锥曲线C的焦点为F，A为其对应准点，过点F的直线交圆锥曲线C于P、Q两点，R为圆锥曲线C上异于P、Q的点，则直线RQ过准点A的充要条件是P、R关于x轴对称.

证明：不妨以焦点在x轴上的椭圆：x2a2+y2b2=1(a>b>0)为例，设焦点F(c,0)，对应准点A(a2c,0).

若把上述性质中的焦点换成类焦点，则可以把性质推广到更一般的情形.

定理2 已知圆锥曲线C的类焦点F′，A′为其对应类准点，过点F′的直线交圆锥曲线C于P、Q两点，R为圆锥曲线C上异于P、Q的点，则直线RQ过类准点A′的充要条件是P、R关于x轴对称.

略证：不妨以焦点在x轴上的椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)为例，设类焦点F′(m,0)，对应类准点A′(a2m,0)，则上述证明过程中以m代c即证.

参考文献

［1］陈天雄.一道高考解析几何试题的引申及推广.数学通报，2002年第6期.

［2］苏立标.椭圆的“类准线”的性质初探.中学数学教学2007年第3期.