方程与函数在数学教学中的几点思考

王旭升

摘 要:方程和函数的教学在中小学的数学课程中一直占据着非常重要的地位,它不仅就这一阶段的学习来说有着基础性的重要功能与广泛的实际应用,而且对于学生的后继学习也有着举足轻重的作用。本文理清方程与函数的概念,提出在这部分教学过程中引入循序渐进、注重实际、挖掘内涵等手段,并把传统教学方法和现代教育技术相结合来达到提高教学效果的目的。

关键词:方程 函数 教学

方程与函数的思想是指在解决某些数学问题时构造适当的方程和函数,把问题转化为研究辅助函数与辅助方程性质的思想。另外,方程与函数的概念,反映了客观世界运动和变化的一些规律,因此它的教学思想可以培养学生数学思维的意识和方法以及解决实际问题的能力。

学生对函数的理解与认识深深扎根于对数学内部函数本身各种抽象性质的理解之中,同时比较关注知识的形式化,教材内容理论性与技巧性强,较为完整地表现出知识的整体结构,对具体函数的研究挖掘较深。针对以上不足,为适应现代素质教育的要求,本文将我在教学过程中用到的一些方法与大家进行交流和探讨。

一、重视方程和函数概念的提前渗透,循序渐进,逐步提高

采用螺旋式上升的方法,注重数学的背景知识,及早渗透,关注函数与其他数学知识的联系,推迟或淡化函数的形式化表现。要求学生认识理解数值函数的定义:n→n+a与n→n×a以及它的近似解,并要求对方程的含义有深刻了解,对未知数不用字母表示,只要求认识类似10.5+()=23.6或24×()=480的方程,并用图表来描述情景。

九年制义务教育阶段的数学课程是紧密围绕“数”“量”“形”和“关系”四条主线来设置的。在由“关系”组成的内容中,从四年级就开始接触函数关系的初步概念,要求了解两个量变化的关系,用表、折线、图来表示两个数量变化的情况,用式子简洁地表示数量关系。到了初一,要求从事物现象中,取出伴随变化的两个量,研究它们的关系,明确它们的特征,理解包括变化和对应、坐标的意义以及用数表、图象、解析式表示的各种函数关系。初二要求理解一次函数的特征,并提高应用函数的能力,初三主要研究二次函数的变化特点与变化率。高中阶段研究二次函数的一般形式、各种常用的初等函数以及微积分初步,作为函数教学的深入与延伸。

二、强调与现实世界的联系,注重实际应用,培养学生数学思维和解决问题的能力

重视教学与现实世界的联系,这是大多数国家数学课程和教材的共同特点。瑞典的课程标准认为“数学课的根本目的是使所有学生获得解决他们日常生活中遇到的数学问题的能力”。法国的教学大纲也指出:“教学更重要的是学生应该运用所学的知识解决自己在实践中遇到的问题。”德国的数学教学计划中,要求使学生“有能力在其他学科和日常生活中解决数学问题”。在小学的应用题教学中,除了要求引进开放性问题,还强调贴近学生生活。初中的方程教学中应该结合物理学中的混合、运动问题,地理学中的降水量、温度问题,交通教育中的路程、过河问题。学习函数:x→ax+b时,要求联系物理中的霍克定律、经济学中的利息、外汇换算、化学中的定量计算、信息学中的图表等。

美国五~八年级课程标准的中心议题是研究模式与函数,重点是函数的探索,这种研究和探索,要求学生认识、描绘以及概括模式,并且建立数学模型来论断通过观察模式所展示出的真实世界中的现象。

三、注重挖掘方程与函数概念的内涵,渗透数学思想以及问题解决的策略

许多国家把函数思想作为贯穿中小学数学的一个重要内容。在小学阶段,函数作为数的运算出现,例如,两个数的和看成是一个数与两个数的对应;在代数中,函数表示在运动下的一个点集到它的象集的变换,比如,对称、平移和旋转等;在概率中,函数表示事件发生与可能性之间的关系。抓住函数的本质是一种规则或法则,因此,同一个函数可用多种方法表示。

另外,通过方程问题的教学,引导学生学习和掌握问题解决的策略,也是我们在数学教育中应该考虑的问题。

四、充分利用现代教育技术,发挥计算器和计算机的功能

现代教育技术的利用,特别是功能较强的计算器的使用,使大量繁琐、重复的操练得到了简化,从而大大提高了教学的效率。另外,求方程的许多技巧以及函数中求定义域和值域一类的问题也大大淡化,取而代之的是增加了方程的数值计算和函数图象的有关内容。

比如,由于计算器与计算机的广泛使用,引起了教学内容的变革。在解方程的方法中,引入了“迭代法”“尝试改进法”,而二次方程的求根公式相对放在较后的位置。函数教学中,通过在计算器或计算机上生成各种常用初等函数的图象,对比作出理解和解释,大大提高了教学效果。在高中数学课程中增加用计算机求解线性方程组的迭代法。作为一般的一元方程的近似解法,介绍“牛顿法”和“二分法”。这些变化可以用几何的变换来描述,由此提供了几何与代数的另一个联系。

总之,方程与函数的思想方法是中学数学中十分重要的一种思想和方法,也是高考中考查的重点。因此,我们要重视和学会运用这一方法去分析问题、转化问题和解决问题,强化方程与函数的思想方法的应用意识和基本训练,以适应高考新的变化和要求以及培养新世纪高素质人才的需求。

参考文献:

1.泽菲,梁肇军.中国与英国初中数学课程比较[J].外国教育研究.1998.1

2.马忠林.比较数学教育学[M].沈阳:辽宁教育出版社,1995.8

3.黄辉,段训国.用函数观点研究方程[J].中学数学研究.2006.6

4.丁勇.谈谈函数与方程的思想方法[J].数理化学习高中版.2006.8

作者单位:甘肃兰州西北师范大学教育学院